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第四章 整式的加减
4.1.1 单项式
1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念。
2.会用单项式表示简单的数量关系。
3.经历单项式概念的形成过程,从中体会抽象的数学思想,提高观察、分析、归纳、概括能力。
问题:港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥。一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h,在海底隧道 和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h。汽车在主桥上行驶th的路程是多少千米?
路程=速度×时间
92×t=92t
观察:我们来看92t和上一章中遇到过的一些代数式
a2,0.9p,a2h,
这些代数式有什么共同特点?
字母与字母的积
数与字母的积
92t,a2,0.9p,a2h,
这些代数式都是数或字母的积,像这样的代数式叫作单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式.
如:-6,x都是单项式。
-3x2y3
单项式
的系数
概念
2+3=5是这个单项式的次数
概念
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
说一说单项式92t,a2,0.9p,a2h的系数和次数分别是多少?
92t的系数是92,次数是1
a2的系数是1,次数是2
0.9p的系数是0.9,次数是1
a2h的系数是,次数是3
一次单项式
二次单项式
一次单项式
三次单项式
对于一个非零的数,规定它的次数为0.
思考:a 和-a 的系数和次数分别是什么?由此得出什么结论?
a 的系数是1,次数是1;
-a 的系数是-1,次数是1.
结论:单项式的系数包括它前面的性质符号.单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写, “-1”的符号“-”不能省略.
分析:用单项式的定义进行判断.
(3)的分母中含字母a;(6)是数和字母的和.
解:单项式有(1)(2)(4)(5)(7)(8).
例1:下列式子中,单项式有哪些?
(1)-3; (2) x2y; (3) ; (4) ;
(5)- ab2; (6) ; (7)n2; (8)π+2.
判定单项式时需要注意的地方:
1
单独的一个数或一个字母也是单项式.
2
单项式中不能含有加、减运算.
3
单项式的分母中不能含有字母.
例2:用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
(1)若三角形的一条边长为a,这条边上的高为h,则这个三角形的面积________ .
(2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则这个长方 体包装盒的体积为________cm3.
(3)有理数n的相反数是________.
解:(1)ah,它的系数是 ,次数是2
(2)xyz,它的系数是1,次数是3
(3) -n,它的系数是-1,次数是1
(4)《北京2022年冬奥会———冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会 冰上运动发行的邮票.邮票1套共5枚,价格为6元,其中一种版式为一张10枚 (2套),如图所示.某中学举行冬奥会有奖问答活动,买了m张这种版式的邮票作为奖品,共花费________元.
解:(4),
它的系数是,次数是1
(5)《中华人民共和国国旗法》规定,国旗旗面为红色长方形,其长与高之比为3∶2,有五种通用尺度 (尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为acm, 则这种尺度的国旗旗面的面积为________cm2.
解:(5)a2,它的系数是,次数是2
【知识技能类作业】必做题:
1.下列式子中单项式的个数是( )
2a,xy2,-,,-x,(a+1),,3000.
A.4 B.5 C.6 D.7
C
【知识技能类作业】必做题:
2.下列说法正确的是__________.(只填写序号)
① 不是单项式; ②0不是单项式;
③ 是单项式; ④ 不是单项式.
①③④
【知识技能类作业】必做题:
单项式 2a2 1.2h xy2 t2
系数 2 1.2 1 1
次数 2 1 3 2 2
3.填表:
【知识技能类作业】选做题:
4.若(m-2)x2yn是关于 x,y 的一个五次单项式,求m,n应满足的条件?
解:∵(m-2)x2yn是关于x,y 的五次单项式
∴m-2≠0 且 2+n=5
∴m≠2 ,n=3
【综合拓展类作业】
5.填空,并指出单项式的系数与次数:
(1)全校学生总数是x,其中女生占总数48%,则女生人数是_______,男生人数是_______;
(2)一辆长途汽车从杨柳村出发,3h后到达距出发地s km的溪河镇,这辆长途汽车的平均速度是____km/h;
(3)产量由m kg增长10%,就达到_______kg.
0.48x
0.52x
1.1m
单项式
次数
定义
系数
由数或字母的积组成的式子叫做单项式
数字因数,包括性质符号
各个字母的指数和
【知识技能类作业】必做题:
1.下列各代数式中,单项式的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
【知识技能类作业】必做题:
D
2.已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是( )
A.-2xy2 B.3x2 C.2xy3 D.2x3
【知识技能类作业】必做题:
3.单项式-的系数和次数分别是( )
A.-1,5 B.-,3
C.-,3 D.-,5
B
【知识技能类作业】选做题:
4.如果单项式-am-1b2的次数是5,则m=____.
4
【综合拓展类作业】
5.观察下列单项式的特点:
x2y,-x2y2, x2y3,-x2y4,….
(1)请照此规律写出第8个单项式,它是几次单项式
(2)试猜想第n个单项式是什么 它的系数和次数分别为多少
解:(1)-x2y8,它是10次单项式
(2)①当n为奇数时为x2yn,系数为,次数为(n+2);
②当n为偶数时为-x2yn,系数为-,次数为(n+2)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《4.1.1 单项式》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课的主要内容是单项式,是在学生已有的字母表示数以及有理数运算的基础上展开的。单项式既是对前面所学知识的深化和发展,也是学习本章其他内容的直接基础,也是以后学习整式乘除、分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础,同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。“整式”一节是“整式的加减”一章的起始课,整式是代数式中最基本的式子,而单项式又是整式中最基础的知识,具有承上启下的作用。
学习者分析 本课标志着对整式研究的起步,这一阶段的知识涉及从具体数字向抽象表达式的转变,对学生而言可能较为抽象,与他们的认知水平及思维习惯存在一定距离,因此在学习过程中可能会遭遇一些挑战。尤其是面对结构较为复杂的单项式,学生在辨识其系数和次数时往往容易出错。为了凸显本课重点,攻克学习难点,教学过程中应当增强直观性,向学生提供丰富的感性材料,重视对单项式结构的深入分析,并通过练习来加深理解和巩固认识。
教学目标 1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念。 2.会用单项式表示简单的数量关系。 3.经历单项式概念的形成过程,从中体会抽象的数学思想,提高观察、分析、归纳、概括能力。
教学重点 单项式的有关概念。
教学难点 负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一:学习目标教师活动1: 师出示学习目标: 1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念。 2.会用单项式表示简单的数量关系。 3.经历单项式概念的形成过程,从中体会抽象的数学思想,提高观察、分析、归纳、概括能力。学生活动1: 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明: 明确本节课的学习目标,使教师的教和学生的学有效结合在一起,激发学生的学习动力,提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二:新知导入教师活动2: 问题:港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥。一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h,在海底隧道 和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h。汽车在主桥上行驶th的路程是多少千米? 预设:路程=速度×时间 92×t=92t学生活动2: 学生积极回答教师出示的问题活动意图说明: 复习用字母表示数,用含字母的式子表示数量关系,为单项式的学习做好准备环节三:新知讲解教师活动3: 观察:我们来看92t和上一章中遇到过的一些代数式 a2,0.9p,a2h, 这些代数式有什么共同特点? 预设:数与字母的积或字母与字母的积 归纳:这些代数式都是数或字母的积,像这样的代数式叫作单项式。 单独的一个数或一个字母也是单项式. 如:-6,x都是单项式。 讲解: 单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说一说:单项式92t,a2,0.9p,a2h的系数和次数分别是多少? 解:92t的系数是92,次数是1,一次单项式 a2的系数是1,次数是2,二次单项式 0.9p的系数是0.9,次数是1,一次单项式 a2h的系数是,次数是3,三次单项式 指出:对于一个非零的数,规定它的次数为0. 思考:a 和-a 的系数和次数分别是什么?由此得出什么结论? 解:a 的系数是1,次数是1; -a 的系数是-1,次数是1. 结论:单项式的系数包括它前面的性质符号.单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写, “-1”的符号“-”不能省略. 例1:下列式子中,单项式有哪些? (1)-3;(2) x2y;(3) ;(4) ; (5)- ab2;(6) ;(7)n2;(8)π+2. 分析:用单项式的定义进行判断. (3)的分母中含字母a;(6)是数和字母的和. 解:单项式有(1)(2)(4)(5)(7)(8). 归纳:判定单项式时需要注意的地方: 1.单独的一个数或一个字母也是单项式. 2.单项式中不能含有加、减运算. 3.单项式的分母中不能含有字母. 例2:用单项式填空,并指出它们的系数和次数. (1)若三角形的一条边长为a,这条边上的高为h,则这个三角形的面积________ . (2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则这个长方 体包装盒的体积为________cm3. (3)有理数n的相反数是________. (4)《北京2022年冬奥会———冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会 冰上运动发行的邮票.邮票1套共5枚,价格为6元,其中一种版式为一张10枚 (2套),如图所示.某中学举行冬奥会有奖问答活动,买了m张这种版式的邮票作为奖品,共花费________元. (5)《中华人民共和国国旗法》规定,国旗旗面为红色长方形,其长与高之比为3∶2,有五种通用尺度 (尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为acm, 则这种尺度的国旗旗面的面积为________cm2. 解:(1)ah,它的系数是 ,次数是2 (2)xyz,它的系数是1,次数是3 (3) -n,它的系数是-1,次数是1 (4),它的系数是,次数是1 (5)a2,它的系数是,次数是2学生活动3: 学生根据教师提出的问题认真思考,结合教材并小组讨论、交流后,班内汇报,然后听老师的点评和讲解 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题.活动意图说明: 通过实例引导学生理解单项式的概念及单项式的系数和次数,并能说出一个单项式的系数和次数环节四:课堂小结教师活动4: 问题:本节课你都学习到了哪些知识? 教师通过学生的回答,进行归纳 学生活动4: 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明: 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识,将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系,完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题:4.1.1 单项式一、单项式 二、单项式的系数和次数教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题: 1.下列式子中单项式的个数是( ) 2a,xy2,-,,-x,(a+1),,3000. A.4 B.5 C.6 D.7 答案:C 2.下列说法正确的是__________.(只填写序号) ① 不是单项式; ②0不是单项式; ③ 是单项式; ④ 不是单项式. 答案:①③④ 3.填表: 单项式系数次数
答案:第1行:2;-1.2;1;-1;;第2行:2;1;3;2;2 选做题: 4.若(m-2)x2yn是关于 x,y 的一个五次单项式,求m,n应满足的条件? 解:∵(m-2)x2yn是关于x,y 的五次单项式 ∴m-2≠0 且 2+n=5 ∴m≠2 ,n=3 【综合拓展类作业】 5.填空,并指出单项式的系数与次数: (1)全校学生总数是x,其中女生占总数48%,则女生人数是_____,男生人数是_____; 答案:0.48x,0.52x (2)一辆长途汽车从杨柳村出发,3h后到达距出发地s km的溪河镇,这辆长途汽车的平均速度是____km/h; 答案: (3)产量由m kg增长10%,就达到_______kg. 答案:1.1m
作业设计 【知识技能类作业】 必做题: 1.下列各代数式中,单项式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案:C 2.已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是( ) A.-2xy2 B.3x2 C.2xy3 D.2x3 答案:D 3.单项式-的系数和次数分别是( ) A.-1,5 B.-,3 C.-,3 D.-,5 答案:B 选做题: 4.如果单项式-am-1b2的次数是5,则m=____. 答案:4 【综合拓展类作业】 5.观察下列单项式的特点: x2y,-x2y2, x2y3,-x2y4,…. (1)请照此规律写出第8个单项式,它是几次单项式 (2)试猜想第n个单项式是什么 它的系数和次数分别为多少 解:(1)-x2y8,它是10次单项式 (2)①当n为奇数时为x2yn,系数为,次数为(n+2); ②当n为偶数时为-x2yn,系数为-,次数为(n+2)
教学反思 本节课的重点是利用实际问题的情境来引入和讲解单项式的概念,强调理论与实践的结合。通过具体问题的分析,引导学生掌握单项式的定义及其系数和次数等相关知识。在例题和练习中,聚焦于学生理解上可能出现的易混淆点及判断失误的地方,进行针对性的强化与指导,从而加深学生对单项式系数和次数的理解。
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