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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定3
学习目标
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．
【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明
老师告诉你
证明一条相等等于两条线段的和的方法-----截长法、补短法
截长法的基本思路就是在长线段上截取一段，使之等于其中一段，再证明剩下的线段等于另一短线段。
补短法的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段。
知识点拨
知识点1 判定三角形全等的方法---角边角 （ASA）
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
【新知导学】
例1-1．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A=∠D，测得AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE=100m,BF=30m,求池塘FC的长．
【对应导练】
1．小明利用一根长2m的竹竿来测量垂直于地面的路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP=2m,并测得∠APB=77°，然后把竖直的竹竿CD（CD=2m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD=13°，此时测得BD=8.5m.请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．
2．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC．求证：△ABC≌△DFE．
3．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠C=40°，求∠B的度数；
（2）若AD平分∠BDE，求证：△ABC≌△ADE．
知识点2 判定三角形全等的方法---角角边 （AAS）
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
【新知导学】
例2-1．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由．
【对应导练】
1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE．
2．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠E，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．
3．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS=PS．求证：△MNS≌△SQP．
知识点3判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【新知导学】
例3-1．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是____________（不添加任何辅助线）．
【对应导练】
1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC=EF，∠B=∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 _____（写出一个即可）．
2．如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，请添加一个条件：_____，使△ABC≌△FED．
3．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；④∠ABC=∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
题型训练
1.利用角边角进行证明与计算
1.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC求证：AC=DF．
2 .如图，AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：CE=DE．
2.利用角角边进行证明或计算
3 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
4 .(1)如图1，在等腰直角 ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于，求证：；
如图2，在等腰直角 ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E ,AD=2.5cm，DF=2.7cm，求BE的长
(3)如图3，在平面直角坐标系中，A（-1,0），C（1,3）， ABC为等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=BC，求点B坐标．
截长补短法证明一条相等等于两条线段的和
5．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H.
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由.
6．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线.
求证：.
(1)解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接.(如图2)
小洁的证明思路：延长至点E，使，连接.(如图3)
请你任意选择一种思路完成证明.
(2)问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明.
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，在与中，点F在BC上，AB交EF于点D.，，，，则( )
A. B. C. D.
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
3．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( )
A. B. C. D.
4．如图，点E在AB上，点F在上，，，与BF相交点D，连接AD，则图中全等三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5．如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去.
A. B. C. D.和
6．的6个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是( )
A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙
7．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，，则的长度为( )
A.10 B.6 C.5 D.4.5
8．如图，点O在AD上，，，，，，则OC的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定的是_____（只填序号）.
10．如图，在中，点D在AB边上，E是AC边的中点，，CF与DE的延长线交于点F，若，，则BD的长为_______.
11．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，______°.
12．如图，已知，要用“”说明，则需添加的一个条件是_____.
13．如图，已知，E为DF的中点，若，，则________cm.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，在中，，，于点E，且.求证：.
.
15．（8分）如图，与交于点O，，.求证：.
16．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由.
17（8分）．如图，已知，，，求证：.
18．（8分）如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
19．（8分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN.
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN.（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明.（2）绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答.
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定3
学习目标
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．
【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明
老师告诉你
证明一条相等等于两条线段的和的方法-----截长法、补短法
截长法的基本思路就是在长线段上截取一段，使之等于其中一段，再证明剩下的线段等于另一短线段。
补短法的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段。
知识点拨
知识点1 判定三角形全等的方法---角边角 （ASA）
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
【新知导学】
例1-1．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A=∠D，测得AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE=100m,BF=30m,求池塘FC的长．
【解析】（1）先由平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，再利用ASA证明△ABC≌△DEF即可；
（2）利用全等三角形的性质证明BF=EC，再结合已知条件即可得到答案．
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌DEF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=100m,BF=30m,
∴FC=100-30-30=40m.
答：FC的长是40m.
【对应导练】
1．小明利用一根长2m的竹竿来测量垂直于地面的路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP=2m,并测得∠APB=77°，然后把竖直的竹竿CD（CD=2m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD=13°，此时测得BD=8.5m.请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．
【解析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB-PB求出即可．
解：∵∠CPD=13°，∠APB=77°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=77°．
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA）．
∴DP=AB．
∵BD=8.5m,BP=2m,
∴DP=BD-BP=6.5m,即AB=6.5m.
答：路灯AB的高度是6.5m.
2．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC．求证：△ABC≌△DFE．
【解析】首先求出BC=EF，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等．
解：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC △DFE（ASA）．
3．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠C=40°，求∠B的度数；
（2）若AD平分∠BDE，求证：△ABC≌△ADE．
【解析】（1）由AD=AB，得∠B=∠ADB．由AE∥BC，得∠EAC=∠C，那么∠C+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠ADB=∠DAE．由∠BAD=∠CAE，得∠BAC=∠DAE，那么∠B=∠BAC．已知∠C=40°，根据三角形内角和定理求得∠B=70°．
（2）欲证AE=AC，可证△ABC≌△ADE．由AD平分∠BDE，得∠BDA=∠ADE，那么∠B=∠ADE．由∠BAD=∠CAE，得∠BAC=∠DAE，从而推断出△ABC≌△ADE．
（1）解：∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB．
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C．
又∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD=∠C．
∵∠BDA=∠C+∠DAC，
∴∠BDA=∠BAD+∠DAC=∠BAC．
又∵∠B=∠BDA，
∴∠B=∠BAC．
∵∠C=40°，
∴∠B+∠BAC=180°-∠C=140°．
∴2∠B=140°．
∴∠B=70°．
（2）证明：由（1）得：∠B=∠ADB．
∵AD平分∠BDE，
∴∠BDA=∠ADE．
∴∠B=∠ADE．
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．
∴∠BAC=∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
知识点2 判定三角形全等的方法---角角边 （AAS）
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
【新知导学】
例2-1．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由．
【解析】根据三角形的外角性质得出∠ADC=∠B+∠1，求出∠ADC=∠3+∠ADE，求出∠B=∠ADE，再根据全等三角形的判定定理AAS推出全等即可．
解：△ABC和△ADE全等，
理由是：∵∠ADC=∠B+∠1=∠3+∠ADE，
又∵∠1=∠3，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
即△ABC和△ADE全等．
【对应导练】
1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE．
【解析】根据等角对等边可得AB=AC，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可解答．
证明：∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
2．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠E，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．
【解析】首先利用等式的性质求出BC=EF，进而利用全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等．
证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
3．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS=PS．求证：△MNS≌△SQP．
【解析】首先求出∠M=∠PSQ，进而利用AAS证明△MNS≌△SQP．
解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN=∠MSN+∠PSQ，
∴∠M=∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
，
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
知识点3判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【新知导学】
例3-1．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是____________（不添加任何辅助线）．
【答案】∠A=∠D（答案不唯一）．
【解析】先说明∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，再结合BC=EC运用AAS即可证明△ABC≌△DEC．
解：添加条件：∠A=∠D；
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA即∠ACB=∠DCE
在△ABC和△DEC中
∠A=∠D ，∠ACB=∠DCE，BC=EC
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
故答案为：∠A=∠D（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理；掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
【对应导练】
1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC=EF，∠B=∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 _____（写出一个即可）．
【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE
【解析】根据“SAS”或“AAS”或“ASA”添加条件．
解：∵BC=EF，∠B=∠DEF．
∴当添加AB=DE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
当添加∠A=∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF；
当添加∠ACB=∠DFE时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
故答案为：AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE．
2．如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，请添加一个条件：_____，使△ABC≌△FED．
【答案】AB=FE或∠B=∠E或∠ACB=∠FDE或DE∥BC
【解析】根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
解：∵AD=FC，
∴AC=FD，
∵∠A=∠F，
∴添加AB=FE，利用SAS得出△ABC≌△FED，
添加∠B=∠E，利用AAS得出△ABC≌△FED，
添加∠ACB=∠FDE，利用ASA得出△ABC≌△FED，
添加DE∥BC，得出∠EDF=∠BCA，利用ASA得出△ABC≌△FED，
故答案为：AB=FE或∠B=∠E或∠ACB=∠FDE或DE∥BC．
3．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；④∠ABC=∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【解析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
二、题型训练
1.利用角边角进行证明与计算
1.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC求证：AC=DF．
【答案】见解析
【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2 .如图，AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：CE=DE．
【答案】证明见解析
【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证．
【详解】证明：在上截取，连接．
∵，分别平分和，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
2.利用角角边进行证明或计算
3 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
【分析】证△ABE≌△ACD，推出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，证△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质推出即可．
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BDO和△CEO中
∴△BDO≌△CEO （AAS），
∴OB＝OC．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
4 .(1)如图1，在等腰直角 ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于，求证：；
如图2，在等腰直角 ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E ,AD=2.5cm，DF=2.7cm，求BE的长
(3)如图3，在平面直角坐标系中，A（-1,0），C（1,3）， ABC为等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=BC，求点B坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意知，由，，可得，进而结论得证；
（2）同理（1）证明，则，，根据计算求解的值即可；
（3）如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于，由（1）可得，则，，进而可求点坐标．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的长为；
（3）解：如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于，
由（1）可得，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等．
截长补短法证明一条相等等于两条线段的和
5．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H.
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由.
答案：（1）
（2）证明见解析
（3）存在，
解析：（1）证明：，
，
又、分别平分、，
，
.
（2），，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
.
（3）存在..
理由：连接，，
，，
，，，
，
，
，
，
，
.
6．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线.
求证：.
(1)解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接.(如图2)
小洁的证明思路：延长至点E，使，连接.(如图3)
请你任意选择一种思路完成证明.
(2)问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明.
答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)小敏的证明思路：如图2，在上截取，连接.
是的平分线，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
.
小洁的证明思路：如图3，延长至点E，使，连接，则，
，
.
，
，
，
是的平分线，
.
，，，
，
，
.
(2)如图在的延长线上取一点E，使，连接，
平分，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，在与中，点F在BC上，AB交EF于点D.，，，，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，.在与中，，，.，，，.
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在和中
，，
当时，满足，可证明，故选项A符合题意；
当时，满足，可证明，故选项B符合题意；
当时，满足，不能证明，故选项C不符合题意；
当时，满足，可证明，故选项D符合题意；
故选：C.
3．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、在和中
，
，故本选项不符合题意；
B、，，不能推，故本选项符合题意；
C、在和中
，
，故本选项不符合题意；
D、在和中
，
，故本选项不符合题意；
故选：B.
4．如图，点E在AB上，点F在上，，，与BF相交点D，连接AD，则图中全等三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
答案：D
解析：，，，，，，.又，，，.，，，.又，，，由上可得，图中全等三角形共有4对.
5．如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去.
A. B. C. D.和
答案：C
解析：A、第块,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法；
B、第块,仅保留了原三角形的一部分边,所以该块不行；
C、第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,所以符合判定,符合题意；
D、由上分析,和不符合题意；
故选：C.
6．的6个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是( )
A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙
答案：D
解析：甲的边a，c的夹角和的边a，c的夹角不对应，故甲三角形与不全等；
甲的边a，c的夹角和的边a，c的夹角对应为，故可利用“边角边”证明乙三角形与全等；
丙的角，和边a与的角和边a对应，故可利用“角角边”证明丙三角形与全等，
甲、乙、丙三个三角形中和全等的是乙和丙，
故选：D.
7．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，，则的长度为( )
A.10 B.6 C.5 D.4.5
答案：C
解析： ，，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
；
故选：C.
8．如图，点O在AD上，，，，，，则OC的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案：C
解析：，
，
，，
，
，，
，，
.
故选：C.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定的是_____（只填序号）.
答案：②
解析：已知，且,
若添加①，则可由判定；
若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定；
若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定.
故答案为②..
10．如图，在中，点D在AB边上，E是AC边的中点，，CF与DE的延长线交于点F，若，，则BD的长为_______.
答案：1
解析：，
，，
是AC的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
故答案为：1.
11．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，______°.
答案：180
解析：，，，
，
，
.
故答案是：180.
12．如图，已知，要用“”说明，则需添加的一个条件是_____.
答案：
解析：添加条件.
在和中，，
，
故答案为：.
13．如图，已知，E为DF的中点，若，，则________cm.
答案：6
解析：，
，，
在和中
，
，
，
.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，在中，，，于点E，且.求证：.
答案：见解析
解析：证明：，，
，
，
，
在和中，
，
.
15．（8分）如图，与交于点O，，.求证：.
答案：见解析
解析：在和中，
，
，
16．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由.
答案：（1），理由见解析
（2），理由见解析
解析：（1）结论：.
理由：，
，
E是CD的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）结论：.
理由：由（1）知，
，，
，
，
即，
，
，
.
17（8分）．如图，已知，，，求证：.
答案：见解析
解析：，
.
即，
在和中，
，
.
.
18．（8分）如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1），
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
.
19．（8分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN.
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN.（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明.（2）绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答.
答案：（1），证明见解析
（2），证明见解析
解析：（1），
证明：延长CB到E，使，连接DE，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
（2），
证明：在CB截取，连接DE，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
.
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