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第05讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式
题型01一元二次不等式（含参）
【典例1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 .
【典例2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)求不等式的解集．
【变式1】（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式.
【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）已知关于的不等式.
(1)若该不等式的解集为，求和的值；
(2)若，求该不等式的解集.
题型02由一元二次不等式的解确定参数
【典例1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式.
(1)若不等式的解集是或，求的值；
(2)若不等式的解集是，求的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．的最小值为
【变式3】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知一元二次不等式的解集为，求的值.
题型03一元二次方程根的分布问题
【典例1】（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·山东·期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围.
【变式2】（2024高二下·浙江·学业考试）已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【变式3】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
题型08与基本不等式有关的恒成立问题
【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【变式3】（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 .
题型09不等式与实际问题的关联
【典例1】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
题型10函数与方程的思想
【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，且实数，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ．
【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
题型11分类讨论思想
【典例1】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数
(1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由；
(2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.
【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知命题：“”是真命题
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设关于x的不等式的解集为A，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
题型12化归与转化的思想
【典例1】（多选）（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【变式1】（多选）（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．521世纪教育网(www.21cnjy.com)
第05讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式
题型01一元二次不等式（含参）
【典例1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 .
【答案】或，
【分析】分、、三种情况讨论，当时得到，即可求出的取值范围.
【详解】①当时，解得，不符合题意；
故，关于的不等式，即，
②当时，不等式即，解得或，
即它的解集为或，，不满足题意；
③当时，不等式即，
由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，，
由题意，即，解得或，
则实数的取值范围为或，.
故答案为：或，
【典例2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解.
（2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解.
【详解】（1）∵ 恒成立，
∴ 对恒成立，
故，化简得，解得，
故实数的取值范围.
（2），即；
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为.
【变式1】（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)
(3)解集见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可；
（2）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解；
（3）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以方程的两根分别为，
根据韦达定理可知，，解得；
（2）不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，所以，
即，解得，所以实数a的取值范围为；
（3）即，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）已知关于的不等式.
(1)若该不等式的解集为，求和的值；
(2)若，求该不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由二次不等式的解得二次方程的根，利用韦达定理建立方程求解即可；
（2）分类讨论解一元二次不等式即可.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以二次方程的根为，
由韦达定理可得，解得；
（2）若，则不等式为，即，
令，得，当，即时，；
当，即时，无解；当，即时，.
综上：时，解集为；时，解集为；时，解集为.
题型02由一元二次不等式的解确定参数
【典例1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为是方程的两个实根，再直接代入方程得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为不等式的解集为，
所以是方程的两个实根，
所以，解得，
所以.
故选：C.
【典例2】（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式.
(1)若不等式的解集是或，求的值；
(2)若不等式的解集是，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由一元二次不等式的性质可知方程的两根为，再由韦达定理可解.
（2）由二次函数的性质可得关于的不等式组，解出即可.
【详解】（1）由题意可知方程的两个根分别为，
由韦达定理可知，解得，经检验满足题设.
（2）若不等式的解集是，即恒成立，则满足，解得.
【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，，和是方程的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解．
【详解】因为不等式的解集是，
所以，和是方程的根，
所以，即，，则．
故选：D．
【变式2】（多选）（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．的最小值为
【答案】BC
【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断.
【详解】根据题意，关于的不等式的解集为，
所以的两根为，
则，解得，
所以，即A错误，B正确；
且为，解得或，
所以的解集为，C正确；
，
所以的最大值为，D错误.
故选：BC
【变式3】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知一元二次不等式的解集为，求的值.
【答案】
【分析】依题意关于的一元二次方程的两根为、且，利用韦达定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为一元二次不等式的解集为，
所以关于的一元二次方程的两根为、且，
所以，解得，所以.
题型03一元二次方程根的分布问题
【典例1】（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解.
【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根，
当时，方程，
当方程有二个负根时，则有，
当方程有一个负根一个正根时，则有，
综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有，
即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是.
故选：D.
【典例2】（23-24高一上·山东·期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，和1是方程的两个实数根，结合韦达定理可求a,b的值；
（2）由于二次函数的图象开口向上，所以可将“一根大于1，一根小于1”转化为，即a的范围可求.
【详解】（1）由题意可知，和1是方程的两个实数根，
所以，
解得.
（2）当时，，因为函数的图象开口向上，且的根一根大于1，一根小于1，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围是.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可.
【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，
则有，
故选：A
【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围.
(1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小；
(2)至少有一个正根.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则由题意可得，求解即可得答案；
（2）采用正难则反的原则再进行分类讨论即可.
【详解】（1）设，
则由题意可得，解得.
（2）关于x的方程无实数根时，，
解得，
关于x的方程有两个负实数根时，
，解得，
所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时，
可得关于x的方程至少有一个正实数根，则.
题型04一元二次不等式的恒成立（有解）问题
【典例1】（23-24高一上·河北·阶段练习）若命题“”为假命题，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得命题“”是真命题，则在上恒成立，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意知命题“”是真命题．
因为，所以．
当时，函数的最大值为6，
则的最小值为，所以，即的最大值为．
故选：A.
【典例2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数．
(1)若对于恒成立，求的取值范围；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先转化为对于恒成立，再求的最小值,即得m的取值范围.
（2）题设条件可以转化为对于恒成立,将分别代入不等式,即可求出的范围.
【详解】（1）由题意得，在恒成立，
即在恒成立，
∵对一切实数恒成立，
∴在恒成立，
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴在上的最小值为，∴.
故的取值范围为.
（2）对于恒成立,
对于恒成立,
,
解得,
故的取值范围为.
【变式1】（23-24高一上·安徽合肥·期中）命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原命题的否定为真命题，由二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围.
【详解】由题意，原命题的否定“，”为真命题，
令，则当时，，
故，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D
【变式2】（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分和两种情况讨论即可得解.
【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求；
②当时，题意等价于，即，解得，
综上可知.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】
根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.
【详解】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故答案为：
【变式4】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】
根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】，
设，
，该二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，，
要想关于的不等式在区间内有解，
只需，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
题型05“1”的代换转化为基本不等式求最值
【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：C．
【典例2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可.
【详解】因为且，所以
，当且仅当时取等号．
因为不等式恒成立，
所以，解得．
故答案为：.
【变式1】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为
【答案】6
【分析】先把已知变形为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值.
【详解】由得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：6.
【变式2】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得.
【详解】
因为两个正实数 满足，则，
故
，当且仅当时取等号，
因不等式恒成立，则，故.
故答案为：.
【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）已知实数，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.
【详解】由，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为为.
故答案为：.
题型06基本不等式（条件最值问题）
【典例1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解.
【详解】因为正实数x，y满足，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
【典例2】（多选）（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设正实数，，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对于A项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于C项，运用完全平方式将其转化成关于的二次函数，通过其图象单调性即得；对于D项，通分后将其化成关于的分式函数，求其值域即得.
【详解】对于A项，由可得：，
因，故，将其代入可得：
当且仅当时等号成立，故A项正确；
对于B项，由可得，
因，故得：，则，
当且仅当时等号成立，故B项错误；
对于C项，由，
设，由上分析知，，
则在上单调递增，故，即C项错误；
对于D项，由，
由上分析知，则，
故，即，故D项正确.
故选：AD.
【变式1】（多选）（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A．的最小值为3 B．的最小值为6
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】因为，
令，则，解得，即，
则，其中所有不等式等号成立均当且，所以A错误，B正确；
对两边同除以可得，由，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，所以C正确；
由可得，
则，
当且仅当即时，等号成立，故D正确.
故选：BCD．
【变式2】（2024高二下·浙江·学业考试）已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为正实数，满足，
即，令，，则且，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
【变式3】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
题型08与基本不等式有关的恒成立问题
【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.
【详解】因为正实数、满足，
即，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
因为正实数、满足，且恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B．
【典例2】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.
【详解】因为即且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，
即，解得，故的取值范围为.
故选：A
【变式1】（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案．
【详解】因为不等式恒成立，
则，
因为，，由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故，
所以，即，解得，
则实数的取值范围是．
故选：B．
【变式2】（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
【变式3】（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】因为，所以将转化为然后与相乘然后运用基本不等式求解.
【详解】因为,所以
.
当且仅当时，即时等号成立,
所以.
故答案为：.
题型09不等式与实际问题的关联
【典例1】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据杠杆原理可得，，进而可根据基本不等式求解.
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，则有，，即 ，，
所以，，
又因为，所以.
故选：A
【典例2】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元
【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题可知
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在时取最小值，
于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元．
【变式1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.
【详解】由题意，得，
即，∴，
解得.又每枚的最低售价为15元，∴.
故选：B.
【变式2】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间.
【答案】
【分析】根据题意求得关系式，令，得到，即可求解.
【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，
因为，所以，
令，得，即，解得，，
所以停留的时间为.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？
【答案】51~59
【分析】依据题意列出不等关系，解不等式再根据实际意义即可求出需生产51~59辆摩托车.
【详解】根据题意可知，
转化为不等式，即可得，
解得；
所以应该生产51~59辆摩托车.
故答案为：51~59
【变式4】（23-24高一上·四川成都·期中）石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ABD
题型11分类讨论思想
【典例1】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数
(1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由；
(2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在
(2)
【分析】（1）设在恒成立，可得时不满足，当时，结合二次函数的开口方向、判别式可得答案；
（2）由题意可设在上恒成立，分、、讨论，结合一元二次不等式恒成立可得答案．
【详解】（1）设在恒成立，
显然当，即时不满足在上恒成立；
当时，
，
综上，存在使得的解集为；
（2）由题意可设在上恒成立，
②当，即时，，符合题意；
③当，即时，，
又“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，即包含于，
∴，∴；
综上，实数a的取值范围为．
题型12化归与转化的思想
【典例1】（多选）（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确.
故选：AB.
【典例2】（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b满足，，
所以，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以不等式恒成立，只需即可.
故答案为：
【变式1】（多选）（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】令，，因为，，所以，，
则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
则，
当且仅当时取等号，即时取等号，
因为不等式恒成立，
所以，则.
故选：AB
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