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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 4.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 6.了解相似三角形判定定理的证明。 7.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第三章《图形的相似》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.本章内容主要围绕图形的相似性质、相似三角形的判定与性质、位似图形以及相似图形在现实生活中的应用等方面展开。本章注重知识的连贯性和系统性，将相似图形的概念与全等图形、比例线段等知识相联系，形成完整的知识体系。同时本章还强调数学与生活的联系，通过实际问题的引入和解决，让学生感受到数学的应用价值。
学情分析 学生在进入《图形的相似》这一章节之前，已经学习了图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等相关知识，具备了一定的几何基础和逻辑思维能力。然而，相似图形与全等图形在概念上存在本质区别，学生需要克服思维定势，理解“形状相同但大小不一定相同”的图形即为相似图形。 一、学生基础： 1.学生对图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等概念已有一定了解。 2.学生具备初步的几何直觉和逻辑推理能力。 二、学习难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 三、学习兴趣： 1.学生对与现实生活紧密相关的数学问题通常表现出较高的兴趣。 2.通过动手实验和探究活动，可以激发学生的学习兴趣和积极性。
单元目标 （一）教学目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。 4.了解相似多边形和相似比。 5.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 6.学会判断两个图形是否相似。 7.掌握相似三角形的判定与性质。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 10.能够运用相似图形的知识解决实际问题。通过观察、操作、猜想、验证等实践活动，培养学生的几何思维能力和图形变换能力。 11.引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.相似图形的定义和性质。 2.相似三角形的判定与性质。 3.相似图形在现实生活中的应用。 教学难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 3.培养学生的几何直觉和逻辑推理能力，使其能够自主探索和发现图形的相似性质。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1比例线段23.2平行线分线段成比例13.3相似图形13.4相似三角形的判定与性质63.5相似三角形的应用13.6位似2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1比例的基本性质1.回顾小学所学的比例的定义。 2.学生能够理解比例的基本定义。 3.掌握比例的基本性质。 4.并能运用这些性质解决简单的实际问题。能够运用比例的基本性质及推论解决问题。任务一：回顾小学所学的比例的定义。 任务二：探究并掌握比例的基本性质。 任务三：例题精讲，理解比例的基本性质的推论。 任务四：习题检测。3.1.2成比例线段1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。1.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手测量，探究成比例线段。 任务三：求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 任务四：习题检测。3.2平行线分线段成比例1.理解并掌握平行线分线段成比例的定理及其推论。 2.能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：观察图象，推论证明平行线分线段成比例的定理。 任务三：运用定理解决实际问题。 任务四：习题检测。3.3相似图形1.让学生掌握相似图形的定义和性质，理解相似比的概念，学会运用相似性质解决实际问题。 2.探究并理解相似三角形的概念和性质用相似性质解决实际问题。任务一：情境导入，利用几何直观 任务二：理解相似图形的性质 任务三：探究相似三角形的概念和性质 任务四：习题检测.3.4.1相似三角形的判定（1）1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。 2.理解并掌握相似三角形的判定定理一。 3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。任务一：回顾相似图形、相似三角形的定义和性质。 任务二：经历相似三角形的判定定理一的证明过程。 任务三：利用平行线判定三角形相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（2）1.理解并掌握利用两角相等判定三角形相似的定理。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（3）1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（4）1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，并能熟练运用该定理判定两个三角形是否相似。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（1）1.使学生掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。学生能够熟练运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：经历相似三角形的性质定理的条件过程 任务三：运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（2）1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。 2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。任务一：回顾相似三角形的性质。 任务二：探究相似三角形面积比与相似比之间的关系。 任务三：运用这一性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.5相似三角形的应用1.进一步巩固相似三角形的性质和判定方法。 2.能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：相似三角形的应用。 任务三：运用相似三角形的知识解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（1）1.学生能够理解和掌握位似图形的概念、性质和画法。 2.学生能够利用位似图形的性质解决实际问题。能够利用位似图形的性质解决实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解位似图形的概念、性质和画法。 任务三：利用位似图形的性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（2）1.理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 2.掌握位似图形在坐标系中对应点坐标的变化规律。 3.能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 4.引导学生经历位似图形性质的探索过程，培养他们的探究能力和问题解决能力。能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 任务三：利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务四：习题检测。
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（湘教版）九年级
上
3.4.2相似三角形的性质（1）
图形的相似
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.学生能够掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。
3.培养学生的学习兴趣和求知欲，以及严谨治学的态度。
新知导入
三边成比例的两个三角形相似.
利用三边判定：
∵ ==
∴ △ABC∽△
新知导入
相似三角形有什么性质？
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例.
新知讲解
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高， 那么=吗？
动脑筋
新知讲解
解：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′.
又∠AHB=∠A′H′B′=90°，
∴△ABH∽△A′B′H′.
∴=．
相似三角形对应高的比等于相似比.
解：∵ AB∥PQ，
∴ △CAB∽△CPQ.
过点C作CD⊥PQ，垂足为点 D. 设 CD 交AB 的延长线于点 E，
∴CE⊥AB，DE=40 m.
由 “相似三角形对应高的比等于相似比” 可得， = = .
典例精析
例9
如图，AB∥PQ，AB=100m，PQ=120 m. 点 P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上．若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离.
续：
又AB=100 m，PQ=120 m，DE=40 m，
∴ CD=240 m.
答： 点 C 到直线 PQ 的距离为 240 m.
典例精析
例9
如图，AB∥PQ，AB=100m，PQ=120 m. 点 P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上．若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离.
典例精析
例10
如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT， A′ T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线.求证：=.
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ，
∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
又 AT， A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
∴ ∠BAT=∠BAC=∠B′A′C′=∠B′A′T′，
∴ △ABT∽△A′B′T′，
∴ = .
典例精析
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
新知讲解
已知△ABC∽△A′B′C′ ，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线， 则 = 成立吗？ 由此你能得出什么结论？
议一议
新知讲解
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = , ∠B=∠B′.
∵ AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，
∴BD=BC， B′D′=B′C′
∴ = = = .
又∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴ = ．
新知讲解
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是( )
A.2∶3 B.4∶9 C.16∶81 D.∶
2.如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,点M,N分别是BC,EF的中点,则AM∶DN=　 　.
A
1:2
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD= .
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.如图,已知点D,E分别是AB,AC边上的点,且△ADE∽△ABC,相似比为1∶3, AG⊥BC交DE于点F.则AF∶AG=( )
A.1∶3
B.3∶1
C.1∶9
D.9∶1
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5. △ABC的三边长分别为3,4,5,与它相似的△DEF的最小边长为6,则△DEF最长边上的中线长为( )
A.4 B.5 C. 6 D.7
6.如图,在△ABC中点D,E分别在AB,AC上,AF平分∠BAC交DE于点G若AE=3,EC=1,AD=2,BD=4.则AC:AF 等于( )
A.2:5
B.1:2
C.1:3
D.3:5
B
B
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长.
解：∵ △ABC∽△DEF ，
∴ = = =2,
∴DN= = =3.
课堂总结
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
板书设计
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
3.4.2相似三角形的性质（1）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图3所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则点P到AB的距离是　　　　.
21m
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图，在△ABC中,D,E分别是△ABC的AB,AC边.上的点，DE//BC,CF,EG分别是△ABC与AADE的中线.已知AD : DB=4 : 3,EG=4 cm,则CF的长为　 　．
7
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.如图，、分别是、上的点，且，、分别是、的中点．若，，，则的值为　 　．
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，△ABC∽△A B C ，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A D ，B E 分别是△A B C 的高和中线，且AD＝4，A D ＝3，BE＝6，求B E 的长．
解：∵△ABC∽△ A B C ，
∴ = = = ，
= = = ，
∴ = =，
∴ B E = .
Thanks!
2
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分课时教学设计
第一课时《3.4.2相似三角形的性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 相似三角形的性质是对平面几何中两个封闭图形关系研究的进一步深入，是在学生已经掌握了相似三角形的定义及判定方法后，对相似三角形特性的进一步探究。这些性质不仅是解决与相似三角形有关问题的重要依据，也是研究相似多边形性质的基础，对前后各部分知识起到纽带的作用。它是全等三角形性质的拓展，体现了数学中从特殊到一般的认知规律。
学习者分析 学生在学习本节内容之前，已经了解了三角形相似的概念，掌握了相似三角形的判定方法，对相似比也有了一定的认识。通过前面的学习，学生已经具备了识别三角形全等的知识，这为他们通过类比学习相似三角形的性质提供了基础。然而，学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，可能还需要进一步提高分析问题和解决问题的能力。
教学目标 1.学生能够掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。 3.培养学生的学习兴趣和求知欲，以及严谨治学的态度。
教学重点 相似三角形的性质及其应用。
教学难点 相似三角形性质的探索过程以及综合应用相似三角形的性质与判定解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 三边成比例的两个三角形相似. 利用三边判定： ∵ == ∴ △ABC∽△ 教师提问：相似三角形有什么性质？ 相似三角形的对应角相等， 对应边成比例.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高， 那么=吗？ 教师讲授： 解： ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′. 又∠AHB=∠A′H′B′=90°， ∴△ABH∽△A′B′H′. ∴=． 教师讲授：相似三角形对应高的比等于相似比.学生活动2： 学生认真思考，尝试运用已学知识解决问题 认真听讲 学生认真听讲，理解相似三角形对应高的比等于相似比活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精析教师活动3： 例9如图，AB∥PQ，AB=100m，PQ=120 m. 点 P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上．若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离. 解：∵ AB∥PQ， ∴ △CAB∽△CPQ. 过点C作CD⊥PQ，垂足为点 D. 设 CD 交AB 的延长线于点 E， ∴CE⊥AB，DE=40 m. 由 “相似三角形对应高的比等于相似比” 可得， ==. 又AB=100 m，PQ=120 m，DE=40 m， ∴ CD=240 m. 答：点C到直线PQ的距离为240 m. 例10如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT， A′ T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线.求证：=. 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ， ∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′. 又 AT， A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， ∴ ∠BAT=∠BAC=∠B′A′C′=∠B′A′T′， ∴ △ABT∽△A′B′T′， ∴ = . 教师讲授：相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 议一议 已知△ABC∽△A′B′C′ ，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线， 则=成立吗？ 由此你能得出什么结论？ 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴== , ∠B=∠B′. ∵ AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线， ∴BD=BC， B′D′=B′C′ ∴== = . 又∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. ∴ =． 教师讲授：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真听讲，理解相似三角形对应的角平分线的比等于相似比 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真听讲，理解相似三角形对应边上的中线的比等于相似比活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是( ) A.2∶3 B.4∶9 C.16∶81 D.∶ 2.如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,点M,N分别是BC,EF的中点,则AM∶DN=　 　. 3.在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD= . 选做题： 4.如图,已知点D,E分别是AB,AC边上的点,且△ADE∽△ABC,相似比为1∶3,AG⊥BC交DE于点F.则AF∶AG= ( ) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1 5.△ABC的三边长分别为3,4,5,与它相似的△DEF的最小边长为6,则△DEF最长边上的中线长为( ) A.4 B.5 C. 6 D.7 6.如图,在△ABC中点D,E分别在AB,AC上,AF平分∠BAC交DE于点G若AE=3, EC=1,AD=2,BD=4.则AC:AF 等于（ ） A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.3:5 【综合拓展类作业】 已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB= 2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则点P到AB的距离是　　　　. 2.如图，在△ABC中,D,E分别是△ABC的AB,AC边.上的点，DE//BC,CF,EG分别是△ABC与AADE的中线.已知AD : DB=4 : 3,EG=4 cm,则CF的长为　 　． 3.如图，、分别是、上的点，且，、分别是、的中点．若，，，则的值为　 　． 【综合拓展类作业】 如图，△ABC∽△ABC，AD，BE分别是△ABC的高和中线，AD，BE分别是△ABC的高和中线，且AD＝4，AD＝3，BE＝6，求BE的长．
教学反思 本次教学的亮点在于我注重了知识的连贯性和系统性，通过引导学生回顾已学知识（如相似三角形的判定），逐步推导出新的性质定理，使学生能够更好地理解和掌握新知识。同时，我也注重了培养学生的数学思维和解决问题的能力，通过设计一些具有挑战性的题目，激发学生的求知欲和探索欲。然而，在教学过程中也存在一些不足。例如，在安排课堂时间方面，我有时过于注重知识的传授而忽视了学生的消化和吸收过程；在引导学生合作学习时，我也发现部分学生参与度不高，缺乏必要的沟通和协作能力。针对这些不足，我将在今后的教学中不断改进和完善教学策略和方法，以提高教学效果和学生的学习体验。
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