资源简介

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分课时教学设计
第一课时《 3.1.1平方根与算术平方根 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课旨在让学生理解平方根和算术平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，并培养学生的数学核心素养 。本节课的内容与学生的日常生活紧密相连，通过实际例子引入平方根的概念，让学生感受数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。教材注重引导学生通过观察、思考、动手操作等方式，积极参与学习活动，提高学生的动手操作能力和思维能力 。
学习者分析 学生在七年级已经系统学习过有理数及其运算，对乘方运算也有一定了解。八年级学生具备了一定的观察归纳能力和合作交流能力，但抽象与概括能力相对较弱，对平方根和算术平方根的概念及其符号表达可能会感到困难。因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、思考、动手操作等方式，积极参与学习活动，帮助学生逐步理解和掌握平方根和算术平方根的概念及其求法，同时培养学生的逻辑推理能力和数学应用能力 。
教学目标 1.了解平方根和算术平方根的概念及其性质。 2.会用根号表示一个非负数的平方根及算术平方根。 3.通过学习平方根和算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。 4.体验到数学与生活息息相关，增加学习数学的兴趣与信心。
教学重点 理解平方根与算术平方根的概念。 掌握平方根与算术平方根的表示法。
教学难点 灵活应用平方根的概念解决实际问题，特别是求出非负数的算术平方根。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2， 刚好用去正方形的地垫 30 块． 你能算出每块地垫的边长是多少吗？ 每块正方形地垫的面积是: 10.8 ÷ 30 ＝ 0.36（m2） 可求一个小正方形的边长: 边长 × 边长 = 0.36 边长 2 = 0.36 0.6 2 = 0.36 边长 = 0.6 因此面积为 0.36m2的正方形地垫的边长是 0.6m．学生活动1： 学生根据问题给出的数据回答问题活动意图说明： 利用实际问题，引出课题《平方根和算术平方根》。环节二：新知讲解教师活动2： 一、平方根定义及性质 思考： 1.4的平方根是多少？ 2 2 = 4 2.除了 2 以外， 还有其他的数吗？ （-2） 2 = 4 -2也是 4 的一个平方根. 3.除了 2和 -2 以外，4的平方根还有其他的数吗？ 由于边长不等于2的正方形，其面积不等于4 所以4的平方根有且只有两个 2与-2. 性质：如果r 是正数 a 的一个平方根, 那么 a 的平方根有且只有两个:r与-r 我们把正数 a的正平方根叫作 a的算术平方根,记作.读作 “根号a”. 表示方法：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 正数a的负平方根记作-，读作“负根号a”； 正数a的平方根记作±，读作“正负根号a”。 1.零的平方根是多少？ 02=0 零的平方根就是0本身 把0 的平方根也叫作 0的算术平方根，记作√0，即=0 2.负数有平方根吗？ 负数没有平方根 学生活动2： 根据问题学生进行小组讨论，老师下台巡视，讨论时间为3分钟，讨论完后由学生代表发言，进行多元化评价，老师总结。 活动意图说明： 在本环节通过小组讨论可提高学生合作探究能力以及分析问题、解决问题的能力，加深类比的思想。环节三：新知讲解教师活动3： 二、开平方 求4的平方根的过程叫作什么？ 求一个非负数的平方根的运算， 叫作开平方 开平方与平方互为逆运算学生活动3： 学生自主探究开平方的定义，并尝试解答，教师总结给出正确答案。活动意图说明： 学生通过自主探究可提高独立思考问题的能力。环节四：典例精析教师活动4： 例1：分别求下列各数的平方根： 36，，1.21 解 由于 62＝ 36， 因此 36的平方根是 6与-6， 即± = ±6. 由于 （）2＝ ， 因此 的平方根是 与-， 即± = ±. 由于1.12＝1.21， 因此1.21的平方根是 1.1与-1.1， 即± = ±1.1. 例2：分别求下列各数的算术平方根： 100，，0.49 解 由于 102＝ 100， 因此 = 10. 由于 （）2＝ ， 因此 =. 由于 0.72＝ 0.49， 因此 = 0.7. 正数的算术平方根只有一个学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 3.1.1平方根和算术平方根 平方根与 算术平方根
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.9的平方根是(　C　) A.-3　 B.3　 C.±3　 D.81 2.下列各数没有平方根的是(A　　) A.-22　 B.(-2)2　C.-(-2)　D.|-2| 3.若一个正数的两个平方根分别为2-a与3a+6,则这个正数为(　D　) A.2 　B.-4　 C.6　 D.36 选做题： 4.的算术平方根是_____. 5.的平方根是___±___. 【综合拓展类作业】 6.根据平方根的定义求下列各式中x的值. （1）(2x+1)2=81; （2）(x-1)2-49=0; 解：（1）∵(2x+1)2=81, ∴2x+1=9或2x+1=-9, ∴x=4或x=-5. （2）∵(x-1)2-49=0, ∴(x-1)2=49, ∴x-1=±7,∴x=8或x=-6.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法不正确的是( C ) A.0的平方根是0 B.1的算术平方根是1 C.-1的平方根是-1 D.-2是4的平方根 2.16的算术平方根是( B ) A.-4 B.4 C. D.±4 3.的平方根等于___±3___. 选做题： 4.若a是(-4)2的平方根,b的一个平方根是2,则代数式a+b的值为( C ) A.8 B.0 C.8或0 D.4或-4 【综合拓展类作业】 5.已知2a-1的一个平方根是3,3a+b-1的一个平方根是-4,求a+2b的平方根. 解：∵2a-1的一个平方根为3,3a+b-1的一个平方根为-4, ∴2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2, ∴a+2b=5+4=9, ∴a+2b的平方根为±3.
教学反思 在本节课中，我明确设定了让学生掌握平方根和算术平方根的基本概念、性质及求解方法的教学目标。通过课堂讲授、例题解析和练习巩固，大部分学生能够理解平方根作为解方程的一种工具，并准确区分算术平方根（非负的那个平方根）与普通平方根的区别。然而，也发现部分学生在理解平方根的非负性和算术平方根的特定性时存在困难，这需要在后续教学中加强。通过课堂测试和学生作业情况，我初步评估了本节课的教学效果。虽然大部分学生能够达到预期的学习目标，但仍有一部分学生存在理解上的困难。这促使我反思教学方法的适用性和针对性，以及是否需要调整教学节奏和难度。
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第三章 实数
3.1.1平方根与算术平方根的除法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.了解平方根和算术平方根的概念及其性质。
2.会用根号表示一个非负数的平方根及算术平方根。
3.通过学习平方根和算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。
4.体验到数学与生活息息相关，增加学习数学的兴趣与信心。
02
新知导入
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2， 刚好用去正方形的地垫 30 块． 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
每块正方形地垫的面积是:
10.8 ÷ 30 ＝ 0.36（m2）
可求一个小正方形的边长:
边长 × 边长 = 0.36
边长 2 = 0.36
0.6 2 = 0.36
边长 = 0.6
因此面积为 0.36m2的正方形地垫的边长是 0.6m．
03
新知讲解
一、平方根定义及性质
思考：1.导入中中的0.6和0.36有什么关系？
0.6 2 = 0.36
2.有这样关系的数叫做什么？
定义：如果有一个数 r， 使得 r2＝a， 那么我们把 r 叫作 a 的一个平方根， 也叫作二次方根．
若 r2＝a， 则 r 是 a 的一个平方根.
如：0.6是0.36的平方根
03
新知讲解
一、平方根定义及性质
思考：1.4的平方根是多少？
2 2 = 4
2.除了 2 以外， 还有其他的数吗？
（-2） 2 = 4
-2也是 4 的一个平方根.
3.除了 2和 -2 以外，4的平方根还有其他的数吗？
由于边长不等于2的正方形，其面积不等于4
所以4的平方根有且只有两个 2与-2.
03
新知讲解
一、平方根定义及性质
性质：如果r 是正数 a 的一个平方根, 那么 a 的平方根有且只有两个:r与-r
我们把正数 a的正平方根叫作 a的算术平方根,记作.读作 “根号a”.
表示方法：正数a的算术平方根记作读作“根号a”；
正数a的负平方根记作-，读作“负根号a”；
正数a的平方根记作，读作“正负根号a”。
03
新知讲解
一、平方根定义及性质
1.零的平方根是多少？
02=0
零的平方根就是0本身
把0 的平方根也叫作 0的算术平方根，记作，即=0
2.负数有平方根吗？
负数没有平方根
03
新知讲解
二、开平方
求4的平方根的过程叫作什么？
求一个非负数的平方根的运算， 叫作开平方
开平方与平方互为逆运算
03
新知讲解
二、开平方
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
1
4
9
开平方
04
典例分析
例1：分别求下列各数的平方根：
36，，1.21
解 由于 62＝ 36， 因此 36的平方根是 6与-6， 即± = ±6.
由于 （）2＝ ， 因此 的平方根是 与-， 即± = ±.
由于1.12＝1.21， 因此1.21的平方根是 1.1与-1.1， 即± = ±1.1.
04
典例分析
例2：分别求下列各数的算术平方根：
100，，0.49
解 由于 102＝ 100， 因此 = 10.
由于 （）2＝ ， 因此 =.
由于 0.72＝ 0.49， 因此 = 0.7.
正数的算术平方根只有一个
05
课堂练习
1.9的平方根是(　　)
A.-3　 B.3　 C.±3　 D.81
2.下列各数没有平方根的是(　　)
A.-22　 B.(-2)2　C.-(-2)　D.|-2|
3.若一个正数的两个平方根分别为2-a与3a+6,则这个正数为(　　)
A.2 　B.-4　 C.6　 D.36
C
A
【知识技能类作业】必做题：
D
05
课堂练习
4.的算术平方根是_____.
5.的平方根是______.
【知识技能类作业】选做题：
±
05
课堂练习
6.根据平方根的定义求下列各式中x的值.
（1）(2x+1)2=81; （2）(x-1)2-49=0;
解：（1）∵(2x+1)2=81,
∴2x+1=9或2x+1=-9,
∴x=4或x=-5.
（2）∵(x-1)2-49=0,
∴(x-1)2=49,
∴x-1=±7,∴x=8或x=-6.
【综合拓展类作业】
06
课堂小结
平方根与算术平方根
1.平方根定义及性质：
定义：若 r2＝a， 则 r 是 a 的一个平方根.
性质：如果r 是正数 a 的一个平方根, 那么 a 的平方根有且只有两个:r与-r
2.开平方
求一个非负数的平方根的运算， 叫作开平方
07
作业布置
1.下列说法不正确的是( )
A.0的平方根是0 B.1的算术平方根是1
C.-1的平方根是-1 D.-2是4的平方根
2.16的算术平方根是( )
A.-4 B.4 C. D.±4
3.的平方根等于______.
C
B
【知识技能类作业】必做题：
±3
07
作业布置
4.若a是(-4)2的平方根,b的一个平方根是2,则代数式a+b的值为( )
A.8 B.0 C.8或0 D.4或-4
【知识技能类作业】选做题：
C
07
作业布置
5.已知2a-1的一个平方根是3,3a+b-1的一个平方根是-4,求a+2b的平方根.
解：∵2a-1的一个平方根为3,3a+b-1的一个平方根为-4,
∴2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2,
∴a+2b=5+4=9,
∴a+2b的平方根为±3.
【综合拓展类作业】
08
板书设计
平方根与算术平方根
平方根的定义及性质
开平方
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 湘教版 册、章 第三章
课标要求 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。⑧了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有—一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和干以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
学情分析 知识基础 ：学生已掌握有理数的概念和运算，为实数的学习奠定了基础。 认知阶段 ：对于实数，尤其是无理数的概念，学生处于初级阶段，理解尚不深入。 能力特点 ：学生具备较强的逻辑思维能力，但在解决实际问题时能力有待提升。 学习态度 ：普遍具有探究精神和合作意识，但部分学生存在学习主动性不足、课堂参与度不高的问题。 学习习惯 ：学生间存在差异，部分善于自主学习和总结规律，而另一部分更依赖教师引导。了解这些学情特点有助于教师采取针对性的教学策略，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
单元目标 （一）教学目标①掌握立方根、平方根、算术平方根的概念及求法 ；②理解无理数和实数的定义，能对实数进行分类，并了解实数与数轴上的点一一对应的关系 ；③通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索立方根、平方根、无理数的性质，培养逻辑思维能力和创新思维能力 ；④通过实例引入，培养学生独立思考和解决问题的能力 ；⑤激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力 ；⑥让学生体验到数学与生活息息相关，是有用的、有价值的数学 。（二）教学重点、难点重点：①实数的定义与性质 ：理解实数的概念，掌握实数的性质； ②实数的运算 ：掌握实数加、减、乘、除、乘方等运算规则。难点：①实数在数学中的应用 ：特别是解决实际问题时，如何有效地运用实数的概念和性质； ②平方根和立方根的实际应用 ：学会求一个正实数的平方根和立方根，并能够运用它们解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1平方根23.2立方根13.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1平方根1.了解平方根和算术平方根的概念及其性质。2.会用根号表示一个非负数的平方根及算术平方根。3.理解无理数概念 ：经历无理数的探讨过程，概括出无理数的概念，并能准确区别有理数和无理数 。4.掌握计算器求平方根 ：学会使用计算器求一个正数的算术平方根及其近似值，掌握计算方法，发展数感和估算能力 。学生理解并掌握平方根的定义及性质；会用计算器求平方根。活动一：通过例题合作总结平方根、算术平方根、无理数的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器计算无理数。3.2立方根1.了解立方根的概念，理解立方根的性质。2.理解开立方与立方是一对互逆运算，会用立方根的概念求某些数的立方根，并能用根号给出表示。3.通过对具体问题的分析，体验互逆运算的辩证思想，感受立方根在现实世界中的客观存在。4.了解数学知识源于生活、服务生活，从而增强学习数学的兴趣 。学学生理解并掌握立方根的定义及性质；会用计算器求开立方；理解开立方和立方互为逆运算。活动一：通过例题合作总结立方根的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器开立方。3.3实数1.要求学生了解无理数、实数的概念和实数的分类，能够准确地将实数进行分类。2.了解实数范围内相反数和绝对值的意义，学会求一个实数的相反数和绝对值，以及利用数轴知识比较实数的大小 。3.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 。4.通过实际操作和例题练习，熟练运用实数运算规则，提高解决问题的能力 。学生理解实数的分类（按定义分、按正负性分），并能区分哪些是有理数、哪些是无理数；掌握实数的运算和大小比较。活动一：学生通过问题探究实数的概念和分类；活动二：学生利用有理数的运算知道实数的运算和大小比较。
《实数》单元教学设计
活动一：（合作完成）根据问题合作探究平方根与算术平方根的定义和性质。
活动二：（独立完成）通过问题认识开平方、平方和开平方互为逆运算。
3.1.1平方根与算术平方根
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究无理数的定义。
3.1.2无理数
活动二：（独立完成）通过问题总结归纳近似数、近似值。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究立方根的定义和表达方式。
活动二：（合作完成）通过问题总结归纳开立方和立方互为逆运算。
3.2立方根
实数
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的分类。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的性质。
。
3.3.1实数的分类及性质
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的运算。
。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的大小比较。
。
3.3.2实数的运算
活动三：利用所学知识完成例题
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