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第三章 实数
3. 4 实数的运算
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1. 掌握实数的运算法则和运算顺序；
2. 学会用计算器进行近似计算；
3. 应用实数解决实际问题。
02
新知导入
一个物体自由下落时，它 所经过的距离h(米)和时间 (t秒)之间的关系可以用t＝来估计。
03
新知讲解
实数运算的顺序是：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。
若遇到括号，则先进行括号里的运算。
数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。
03
新知讲解
注意：
含根号的无理数运算，只有被开方数相同且开同次方的数才能相加减。
03
新知讲解
例1 计算：2×(3＋)＋4－2×。
解：2×(3＋)＋4－2×
＝2×3＋2×＋4－2×
＝6＋4＋2×－2×
＝10。
03
新知讲解
我们同样可以用计算器进行实数的运算。
近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。
03
新知讲解
例2 用计算器计算：
(1)－(精确到0.001)；
解：(1)按键顺序为：
－＝0.915495942≈0.915。
03
新知讲解
例2 用计算器计算：
(2)3π－2×(4＋)(精确到0.01).
解：(2)按键顺序为：
3π－2×(4＋3)＝－2.039323654≈－2.04。
03
新知讲解
做一做
用计算器计算：
(1)；
(2)(精确到0.001)；
(3)＋(精确到0.01)；
(4)3×－×π(精确到0.1)。
知识点：用计算器求数的开方:熟知计算器上各个键的功能和基本应用，在计算器上输入需要开方的数，再按下对应的按键“√”，计算出被开方后的数。
03
新知讲解
解:
(1)1.1
(2) ≈1.260
(3)＋≈10.66
(4)3×－×π≈12.0
03
新知讲解
例3 俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面 h 千米的高处时，能看到的最远距离约为 d＝112× 千米。位于上海中心大厦第118层的“上海之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)。
解：d＝112× ＝112× ≈82.8(千米)。
答：最多大约能看到82.8千米远。
03
新知讲解
拓展：
正数a的算术平方根与被开方数a的变化规律
当被开方数a的小数点向左或向右移动两位时，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动一位。当a扩大到原来的100倍(或缩小到原来的)时，a的算术平方根相应地扩大到原来的10倍(或缩小到原来的).
04
课堂练习
【例1】计算：×________。
6 【解析】×1.2×5=6.
故答案为6.
04
课堂练习
【例2】在算式(-) (-)的 中填上运算符号，使结果最大，则这个运算符号是( )
A.加号 B.C.乘号 D.除号
D 【解析】因为(-)+(-)=-，(-)－(-)=0，(-)×(-)=(-)÷(-)=1，-＜0＜＜1，所以这个运算符号是除号，故选D
04
课堂练习
【例3】下列运算正确的是( )
A.=-7 B.=±3
C.=2 D.
D 【解析】A.=7，故错误;B.=3故错误;C.=-2 ，故错误;D.，故正确。选D.
04
课堂练习
【例4】已知|x| = ,y是3的平方根,且|y-x|=x-y,求x+y的值。
x+y=或x+y=-
【解析】由题意得,x=± ,y=±.因为|y-x|=x-y,所以x>y,所以x= ,y=或x=,y=-,所以x+y=+或x+y=-
04
课堂练习
【选做】5. 用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a*b=例如10*21= =11,则*(*2)的运算结果为_______。
4【解析】*(*2)=*[+2]
=*
=*3
=
==4
04
课堂练习
【选做】6.实数a,b在数轴上所对应的点如图所示,则|-b|+|a+|+的值为________。
-2a－b 【解析】由数轴可得a＜-，0＜b＜。故|-b|+|-b|+=-b-(b)-a=-b-a--a=-2a－b.故答案为-2a－b.
a
-
0
b
05
课堂小结
实数运算
1.实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。
2.应用：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。
3.注意：含根号的无理数运算，只有被开方数相同且开同次方的数才能相加减。
4.可以用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值
06
作业布置
【必做】1.计算下列各式，值最小的是( )
A.×0+1-5 B.+0×1-5
C.+0－1×5 D.+0+1－5
A 【解析】A.×0+1-5=0+1－5=-4
B.+0×1-5=+0－5=－5
C.+0－1×5=+0－5=－5
D.+0+1－5=+1－5=－4
因为-＜＜，所以值最小的是-4，故选A
06
作业布置
【必做】2.已知实数 a,b,c,d,m，若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m是4的乎方根。则++的值为_______。
0或8【解析】由题得a+b=0,cd=1,m=±2，
当m=2 时,原式=0++= 0;
当 m=-2 时,原式=0++=8。
综上， 的值是0或8。
06
作业布置
【必做】3.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算:a*b=,例如：3*2==，那么15*(6*3)=_______。
【解析】
15*(6*3)=15*=15*1==故答案为.
06
作业布置
【必做】4.已知a为的整数部分,b为的小数部分，则的算术平方根是_______。
【解析】因为 9<11<16,所以 3<<4，因为a为的整数部分,所以a=3，因为9<13<16,所以3<<4，因为b为的小数部分，所以b=-3.因为a=3,b=-3时,==13,所以算术平方根是
06
作业布置
【选做】5.有这样一种算法,对于输入的任意一个实数,都进行“先乘-,再加3”的运算,现在输入x=4,通过第1次运算,得到的结果为,再把输入,进行第2次同样的运算,得到的运算结果为…,一直这样运算下去,当运算次数不断增加时,运算结果越来越接近_______。
…
2 【解析】由题意得,当x=4时,=4×(-)+3=-2+3=1
=1×(-)+3=，=×(-)+3=，=×(-)+3=，×(-)+3=,…,所以当运算次数不断增加时，运算结果，越来越接近2，故答案为2。
06
作业布置
06
作业布置
【选做】6. 用字母a表示一个实数,则|a|,一定是非负数,而-|a|一定是非正数.若正整数a,b满足|a+1|=5-,求 的平方根.
【解析】因为正整数a,b满足|a+1|=5-(b-1) ,所以分析可得正整数a,b可能为a=3,b=2或a=4,b=1.
当a=3,b=2时,==9,所以的平方根为±=±3;
当a=4,b=1时,==4,所以 的平方根为± =±2.
故的平方根为±2 或±3.
06
作业布置
【拓展题】已知a,b是两个实数,满足a+b=0,下列是关于a,b的五个结论:①+=0;②-=0;+=0;④=0;⑤|a|=|b|,则所有正确结论的序号是( ).
A.②④⑤ B.①④⑤
C.②⑤ D.①⑤
06
作业布置
C 【解析】因为a+b=0,所以a=-b,所以a,b两个数都等于0或其中有一个数小于0.当有一个数小于0时,因为负数没有平方根,所以=0不成立;当a=b=0时，=0.所以①的结论不正确,因为a+b=0,所以a= -b,所以=,所以=0.所以②的结论正确.因为a+b=0,所以a=-b,所以,所以+=0,所以③的结论正确.因为a+b=0,所以a=-b,所以=,所以2,所以④的结论不正确,因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|，所以⑤的结论正确，所有正确结论的序号是②⑤，故选C。
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第三章 实数
3.4 实数的运算
学习目标：
掌握实数的运算法则和运算顺序;
学会用计算器进行近似计算;
应用实数解决实际问题。
核心素养目标：通过实数的运算法则，培养数学运算能力和发展逻辑推理素养；运用实数运算解决实际问题，提升应用能力,增强数学意识。
学习重点：实数的运算法则、运算顺序与技巧。
学习难点：实数运算符号多样，正负号判断易出错，计算复杂。
一、知识链接
1.实数运算的顺序是：先算________和________，再算________，最后算________。若遇到括号，则先进行________里的运算。
2.数从有理数扩展到实数后，有理数的_______和_______在实数范围内同样适用。
3含根号的无理数运算，只有_______相同且开_______的数才能相加减。
二、自学自测
1.计算：×0+1-5；
计算：-；
一、创设情境、导入新课
一个物体自由下落时，它 所经过的距离h(米)和时间 (t秒)之间的关系可以用t＝来估计。
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
我们学过哪些有理数的运算法则和运算律？请和同学交流讨论，把它们总结出来。
【强调】：
含根号的无理数运算，只有被开方数相同且开同次方的数才能相加减。
探究二：例题讲解
教材第91页：
例1 计算：2×(3＋)＋4－2×。
* 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。
例2 用计算器计算：
(1)－(精确到0.001)；
(2)3π－2×(4＋)(精确到0.01).
做一做
用计算器计算：
(1) ；
(2精确到0.001)；
(3＋精确到0.01)；
(4)3×－×π(精确到0.1)。
知识点：用计算器求数的开方:熟知计算器上各个键的功能和基本应用，在计算器上输入需要开方的数，再按下对应的按键“√”，计算出被开方后的数。
例3 俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面 h 千米的高处时，能看到的最远距离约为 d＝112× 千米。位于上海中心大厦第118层的“上海之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)。
拓展：
正数a的算术平方根与被开方数a的变化规律
当被开方数a的小数点向左或向右移动两位时，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动一位。当a扩大到原来的100倍(或缩小到原来的)时，a的算术平方根相应地扩大到原来的10倍(或缩小到原来的).
提炼概念(本节课主要内容提炼)
实数运算
1.实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。
2.应用：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。
3.注意：含根号的无理数运算，只有被开方数相同且开同次方的数才能相加减。
4.可以用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。
【例1】计算：×=________。
【例2】- 口- 的口
A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号
【例3】下列运算正确的是( )
A.=-7 B.=±3
C.=2 D. =4
【例4】已知|x| = ,y是3的平方根,且|y-x|=x-y,求x+y的值。
【选做】5.用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a*b=,例如10*21= =11,则*(*2)的运算结果为_______。
【选做】6.
实数运算
1.实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。
2.应用：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。
3.注意：含根号的无理数运算，只有被开方数相同且开同次方的数才能相加减。
4.可以用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值
必做题：
1.计算下列各式，值最小的是( )
A.×0+1-5 B.+0×1-5
C.+0－1×5 D.+0+1－5
已知实数 a,b,c,d,m，若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m是4的乎方根。则++的值为_______。
对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算:a*b=,例如：3*2==，那么15*(6*3)=_______。
4.已知a为的整数部分,b为的小数部分，则的算术平方根是_______。
选做题：
5.有这样一种算法,对于输入的任意一个实数,都进行“先乘-,再加3”的运算,现在输入x=4,通过第1次运算,得到的结果为,再把输入,进行第2次同样的运算,得到的运算结果为，…,一直这样运算下去,当运算次数不断增加时,运算结果越来越接近_______。
6.用字母a表示一个实数,则|a|,一定是非负数,而-|a|一定是非正数.若正整数a,b满足|a+1|=5-,求 的平方根.
拓展题：
已知a,b是两个实数,满足a+b=0,下列是关于a,b的五个结论:①+=0;②-=0;+=0;④=0;⑤|a|=|b|,则所有正确结论的序号是( ).
A.②④⑤ B.①④⑤
C.②⑤ D.①⑤
参考答案
【预习自测】
-4
3+
【作业布置】
必做
1. A 【解析】A.×0+1-5=0+1－5=-4
B.+0×1-5=+0－5=－5
C.+0－1×5=+0－5=－5
D.+0+1－5=+1－5=－4
因为-＜＜，所以值最小的是-4，故选A
2.0或8【解析】由题得a+b=0,cd=1,m=±2，
当m=2 时,原式=0++= 0;
当 m=-2 时,原式=0++=8。
综上， 的值是0或8。
3. 【解析】15*(6*3)=15*=15*1==故答案为.
4.【解析】因为 9<11<16,所以 3<<4，因为a为的整数部分,所以a=3，因为9<13<16,所以3<<4，因为b为的小数部分，所以b=-3.因为a=3,b=-3时,==13,所以算术平方根是
选做
5. 2【解析】由题意得,当x=4时,=4×(-1/2)+3=-2+3=1
=1×(-)+3=，=×(-))+3=，=×(-)+3=，=×(-)+3=,…,所以当运算次数不断增加时，运算结果，越来越接近2，故答案为2.
【解析】因为正整数a,b满足|a+1|=5-(b-1) ,所以分析可得正整数a,b可能为a=3,b=2或a=4,b=1.
当a=3,b=2时,==9,所以的平方根为±=±3;
当a=4,b=1时,==4,所以 的平方根为± =±2.
故的平方根为±2 或±3.
拓展
C 【解析】因为a+b=0,所以a=-b,所以a,b两个数都等于0或其中有一个数小于0.当有一个数小于0时,因为负数没有平方根,所以+=0不成立;当a=b=0时，+=0.所以①的结论不正确,因为a+b=0,所以a= -b,所以=,所以-=0.所以②的结论正确.因为a+b=0,所以a=-b,所以= ,所以+=0,所以③的结论正确.因为a+b=0,所以a=-b,所以= ,所以+=2,所以④的结论不正确,因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|，所以⑤的结论正确，所有正确结论的序号是②③⑤，故选C。
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3.4 实数的运算
课题 3.4 实数的运算 单元 第三单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 实数的运算这部分教材通常从回顾有理数运算入手，逐步引入无理数运算。通过实例和练习，让学生掌握实数的加、减、乘、除、乘方和开方等运算规则。教材注重知识的系统性，先讲解基础运算，再结合运算律简化计算。同时，通过设置不同难度层次的例题和习题，逐步提升学生的运算能力。此外，强调实数运算在解决实际问题中的应用，使学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣和应用意识。
核心素养 能力培养 通过实数的运算法则，培养数学运算能力和发展逻辑推理素养； 运用实数运算解决实际问题，提升应用能力,增强数学意识。
教学目标 掌握实数的运算法则和运算顺序; 学会用计算器进行近似计算; 应用实数解决实际问题。
教学重点 实数的运算法则、运算顺序与技巧。
教学难点 实数运算符号多样，正负号判断易出错，计算复杂。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 求下列各数的立方根： (1)27； (2)－27； 解： (1)因为＝27， 所以27的立方根是3，即 ＝3。 (2)因为＝－27， 所以－27的立方根是－3，即 ＝－3。 创设情境、导入新课 一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间（t秒）之间的关系可以用t＝来估计。 复习回顾学习上节课的立方根的运算法则。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固上一节立方根相关知识。 从物体自由下落导入实数的运算，引出运算方法。
新知探究 探究一：引入概念 我们学过哪些有理数的运算法则和运算律？请和同学交流讨论，把它们总结出来。 实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 【强调】： 含根号的无理数运算，只有被开方数相同且开同次方的数才能相加减。 探究二：例题讲解 教材第91页： 例1 计算：2×(3＋)＋4－2×。 解：2×(3＋)＋4－2× ＝2×3＋2×＋4－2× ＝6＋4＋2×－2× ＝10。 * 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。 例2 用计算器计算： (1)－(精确到0.001)； (2)3π－2×(4＋)(精确到0.01). 解：(1)按键顺序为： －＝0.915495942≈0.915。 按键顺序为： 3π－2×(4＋3)＝－2.039323654≈－2.04 做一做 用计算器计算： (1) ； (2精确到0.001)； (3＋精确到0.01)； (4)3×－×π(精确到0.1)。 知识点：用计算器求数的开方:熟知计算器上各个键的功能和基本应用，在计算器上输入需要开方的数，再按下对应的按键“√”，计算出被开方后的数。 解:(1=1.1 (2 ≈1.260 (3＋≈10.66 (4)3×－×π≈12.0 例3 俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面 h 千米的高处时，能看到的最远距离约为 d＝112× 千米。位于上海中心大厦第118层的“上海之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)。 解：d＝112× ＝112× ≈82.8(千米)。 答：最多大约能看到82.8千米远。 拓展： 正数a的算术平方根与被开方数a的变化规律 当被开方数a的小数点向左或向右移动两位时，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动一位。当a扩大到原来的100倍(或缩小到原来的)时，a的算术平方根相应地扩大到原来的10倍(或缩小到原来的). 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。 激发学生兴趣，引入新课主题，通过对问题的讨论，学生将学习实数的运算。
课堂练习 【例1】计算：×=________。 6 【解析】×=1.2×5=6.故答案为6. 【例2】- 口- 的口中填上运算符号，使结果最大，则这个运算符号是( ) A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号 C 【解析】因为- +- =-，- －- =0，- ×- =，- ÷- =1，-√3＜0＜＜1，所以这个运算符号是除号，故选C 【例3】下列运算正确的是（ ） A.=-7 B.=±3 C.=2 D. =4 D 【解析】A.=7，故此项错误。B.=3故此项错误。C.=-2 ，故此项错误。D. =8 4=4，故此项正确。选D. 【例4】已知|x| = ,y是3的平方根,且|y-x|=x-y,求x+y的值。 x+y=或x+y=- 【解析】由题意得,x=± ,y=±.因为|y-x|=x-y,所以x>y,所以x= ,y=或x=,y=-,所以x+y=+或x+y=- 【选做】5.用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a*b=,例如10*21= =11,则*(*2)的运算结果为_______。 4【解析】*(*2) =*[+2] =* =*3 =+3 = =4 【选做】6.实数a,b在数轴上所对应的点如图所示,则|-b|+|a+|+的值为________。 -2a－b【解析】由数轴可得a＜-，0＜b＜。故=-（+b）-a=-b-a--a=-2a－b.故答案为-2a－b. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对实数的运算的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.，
课堂小结 实数运算 1.实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 2.应用：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 3.注意：含根号的无理数运算，只有被开方数相同且开同次方的数才能相加减。 4.可以用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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