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分课时教学设计
第一课时《 3.1.2无理数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 主要围绕无理数的概念和性质展开，重点在于让学生理解无理数的本质特征，并能准确识别无理数。教材通过实例和探究活动，引导学生经历无理数的探讨过程，从而概括出无理数的概念，并学会区分有理数和无理数。同时，教材还注重培养学生的实际操作能力，让学生学会使用计算器求一个正数的算术平方根，以及如何用有限小数来近似地表示一个无理数。此外，教材还通过丰富的例题和习题，帮助学生巩固所学知识，提升解题能力。
学习者分析 学生需理解无理数的概念，并掌握其性质和判断方法 。 无理数作为实数的一部分，对于八年级学生来说是一个新的概念。学生在之前的学习中已经掌握了有理数的相关知识，但对于无理数的认识还不够深入。因此，在教学过程中，需要通过实例和探究活动，引导学生逐步理解无理数的概念和性质，学会判断一个数是否为无理数。同时，学生还需要掌握利用计算器求无理数近似值的方法，这是本节课的重点和难点。在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，提供个性化的指导和帮助，确保每个学生都能够在课堂上有所收获 。
教学目标 1.理解无理数概念 ：经历无理数的探讨过程，概括出无理数的概念，并能准确区别有理数和无理数 。 2.掌握计算器求平方根 ：学会使用计算器求一个正数的算术平方根及其近似值，掌握计算方法，发展数感和估算能力 。 3.培养数学素养 ：通过动手操作和实例分析，感受无理数的存在，加深对无理数的理解，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。
教学重点 无理数的概念是教学的核心，学生需要理解无理数是一种无限不循环的小数，它不能表示为两个整数的比。
教学难点 判断一个数是否是无理数需要学生掌握无理数的本质特征，即小数部分的位数可以不断增加且不循环。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 1.如图 ， 将一个长为 4 cm， 宽为 2 cm 的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？ 它的边长是整数吗？ 形状改变，面积不变。正方形面积=4×2=8（cm2） 边长=（cm） 2.是整数吗？ 由于22=4，32=9，又4＜8＜9，因此不是整数。 3.是什么数？学生活动1： 学生根据问题给出的数据回答问题活动意图说明： 通过回顾有理数，引出课题《无理数》。环节二：新知讲解教师活动2： 一、无理数 观察下列结果： 2.8=7.84 2.9=8.41 2.82=7.9524 2.8.=8.0089 2.828=7.997584 2.829=8.003241 … … 从上述数据， 你能猜出面积为 8 的正方形的边长是多少吗？ 边长应该比 2.828 大， 比 2.829 小. 猜想：面积为 8 cm2 的正方形， 它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数. 定义：像这种它既不是有限小数， 也不是无限循环小数， 这种小数叫作无限不循环小数． 我们把无限不循环小数叫作无理数. 如：是无理数 你知道的还有哪些无理数？ 圆周率π=3.14159265... =1.4142136... =1.7320508... ... 都是无理数 常见无理数： ①含π的数 ②开方开不尽的数 ③特定结构但不循环的数 无理数与-一样吗？无理数有正负之分吗？ 无理数有正负之分. 无理数分类学生活动2： 根据问题可用类比的思想思考无理数的定义，组织学生进行小组讨论，老师下台巡视，学生发表结论，老师总结。 活动意图说明： 在本环节通过小组讨论可提高合作的意识，懂得团队的重要性，提高分析问题、解决问题的能力。环节三：新知讲解教师活动3： 近似数 1.如何了解无理数？ 如π=3.14159265...， 可以通过四舍五入，取到小数点后面第二位、第三位、...， 得到π≈3.14、π≈3.142、...， 所以用一个有限小数来近似地表示一个无理数. 2.这种数叫什么？ 对于π，称 3.14， 3.142 是 π 的精确到小数点后面第二位， 第三位的近似值. 3.14， 3.142， 3.141 6， …都是 π 的近似值， 称它们为近似数.学生活动3： 学生自主探究无理数的近似数，教师总结活动意图说明： 学生通过自主探究可提高独立思考问题的能力。环节四：典例精析教师活动4： 利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值. 例3：用计算器求下列各式的值. （1） （2）（精确到小数点后面第三位）. 解 （1） 依次按键： 显示： 32 所以， = 32. （2） 依次按键： 显示： 2.828 427 125 所以， ≈ 2.828.学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 3.1.2无理数 无理数
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在3.14，－，π，，0.33，，0.8080080008…这些数中，无理数的个数为( D ) A．1　　　B.2　　　C．3　　　D.4 2.下列说法正确的是( B ) A．有理数是有限小数 B．无理数是无限不循环小数 C．带根号的数都是无理数 D.是分数 3.估计的值在( C ) A．1与2之间 B.2与3之间 C．3与4之间 D.4与5之间 选做题： 4.设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为___8__. 5.m、n是两个连续整数，且m＜＜n，则m＋n＝___7___. 【综合拓展类作业】 6.按要求分别写出一个大于9且小于10的无理数. (1)用一个平方根表示; (2)用含π的式子表示; (3)用构造的方法表示. 解　答案不唯一,如:(1). (2)3π. (3)9.353 553 5…(每相邻两个3之间5的个数依次增加1).
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各数是无理数的是( C )　　　　　　 A. B.-0.5 C. D.0 2.在实数,,,中,有理数是( C ) A. B. C. D. 3.写一个小于-3的无理数__-π（答案不唯一）____. 选做题： 4.用计算器求-的近似值结果(精确到0.01)为( C ) A.0.95 B.0.94 C.0.93 D.0.92 【综合拓展类作业】 5.用计算器计算: (1)23.18的平方根(结果精确到0.001); (2)36-(结果精确到0.1). 解：(1)±≈±4.815. (2)36-≈541.3.
教学反思 在本次无理数的教学过程中，我深感教学设计与实施的重要性，同时也意识到了一些需要改进的地方。 首先，关于教学目标的达成度，我认为学生在理解无理数的概念方面表现良好，大部分学生能够准确区分有理数和无理数。然而，在判断一个数是否为无理数时，部分学生仍存在一定的困惑，尤其是对于那些形式较为复杂或需要进行开方运算的数。这提示我在未来的教学中需要更加注重无理数判断方法的讲解和练习。
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第三章 实数
3.1.2无理数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.理解无理数概念 ：经历无理数的探讨过程，概括出无理数的概念，并能准确区别有理数和无理数 。
2.掌握计算器求平方根 ：学会使用计算器求一个正数的算术平方根及其近似值，掌握计算方法，发展数感和估算能力 。
3.培养数学素养 ：通过动手操作和实例分析，感受无理数的存在，加深对无理数的理解，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义 。
02
新知导入
1.如图 ， 将一个长为 4 cm， 宽为 2 cm 的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？ 它的边长是整数吗？
形状改变，面积不变。正方形面积=4×2=8（cm2）
边长=（cm）
2.是整数吗？
由于22=4，32=9，又4＜8＜9，因此不是整数。
3.是什么数？
03
新知讲解
一、无理数
观察下列结果：
2.8=7.84 2.9=8.41
2.82=7.9524 2.8.=8.0089
2.828=7.997584 2.829=8.003241
… …
从上述数据， 你能猜出面积为 8 的正方形的边长是多少吗？
边长应该比 2.828 大， 比 2.829 小.
03
新知讲解
一、无理数
猜想：面积为 8 cm2 的正方形， 它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数.
定义：像这种它既不是有限小数， 也不是无限循环小数， 这种小数叫作无限不循环小数． 我们把无限不循环小数叫作无理数.
如：是无理数
03
新知讲解
一、无理数
你知道的还有哪些无理数？
圆周率π=3.14159265...
=1.4142136...
=1.7320508...
...
都是无理数
常见无理数：
①含π的数
②开方开不尽的数
③特定结构但不循环的数
03
新知讲解
一、无理数
无理数与-一样吗？无理数有正负之分吗？
无理数有正负之分.
无理数分类
03
新知讲解
二、近似数
1.如何了解无理数？
如π=3.14159265...，
可以通过四舍五入，取到小数点后面第二位、第三位、...，
得到π≈3.14、π≈3.142、...，
所以用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
2.这种数叫什么？
对于π，称 3.14， 3.142 是 π 的精确到小数点后面第二位， 第三位的近似值.
3.14， 3.142， 3.141 6， …都是 π 的近似值， 称它们为近似数.
04
典例分析
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.
例3：用计算器求下列各式的值.
（1） （2）（精确到小数点后面第三位）.
解 （1） 依次按键：
显示： 32
所以， = 32.
（2） 依次按键：
显示： 2.828 427 125
所以， ≈ 2.828.
1
0
2
4
=
8
=
05
课堂练习
1.在3.14，－，π，，0.33，，0.8080080008…这些数中，无理数的个数为( )
A．1　　　B.2　　　C．3　　　D.4
2.下列说法正确的是( )
A．有理数是有限小数 B．无理数是无限不循环小数
C．带根号的数都是无理数 D.是分数
3.估计的值在( )
A．1与2之间 B.2与3之间 C．3与4之间 D.4与5之间
D
B
【知识技能类作业】必做题：
C
05
课堂练习
4.设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为_____.
5.m、n是两个连续整数，且m＜＜n，则m＋n＝______.
【知识技能类作业】选做题：
7
05
课堂练习
6.按要求分别写出一个大于9且小于10的无理数.
(1)用一个平方根表示;
(2)用含π的式子表示;
(3)用构造的方法表示.
解　答案不唯一,如:(1).
(2)3π.
(3)9.353 553 5…(每相邻两个3之间5的个数依次增加1).
【综合拓展类作业】
06
课堂小结
无理数
1.无理数：
既不是有限小数， 也不是无限循环小数， 这种小数叫作无限不循环小数． 我们把无限不循环小数叫作无理数.
2.近似数
用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
如3.14， 3.142， 3.141 6， …都是 π 的近似值， 称它们为近似数.
07
作业布置
1.下列各数是无理数的是( )　　　　　　
A. B.-0.5 C. D.0
2.在实数,,,中,有理数是( )
A. B. C. D.
3.写一个小于-3的无理数______.
C
C
【知识技能类作业】必做题：
-π（答案不唯一）
07
作业布置
4.用计算器求-的近似值结果(精确到0.01)为( )
A.0.95 B.0.94 C.0.93 D.0.92
【知识技能类作业】选做题：
C
07
作业布置
5.用计算器计算:
(1)23.18的平方根(结果精确到0.001);
(2)36-(结果精确到0.1).
解：(1)±≈±4.815.
(2)36-≈541.3.
【综合拓展类作业】
08
板书设计
无理数
无理数定义
近似数
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 湘教版 册、章 第三章
课标要求 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。⑧了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有—一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和干以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
学情分析 知识基础 ：学生已掌握有理数的概念和运算，为实数的学习奠定了基础。 认知阶段 ：对于实数，尤其是无理数的概念，学生处于初级阶段，理解尚不深入。 能力特点 ：学生具备较强的逻辑思维能力，但在解决实际问题时能力有待提升。 学习态度 ：普遍具有探究精神和合作意识，但部分学生存在学习主动性不足、课堂参与度不高的问题。 学习习惯 ：学生间存在差异，部分善于自主学习和总结规律，而另一部分更依赖教师引导。了解这些学情特点有助于教师采取针对性的教学策略，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
单元目标 （一）教学目标①掌握立方根、平方根、算术平方根的概念及求法 ；②理解无理数和实数的定义，能对实数进行分类，并了解实数与数轴上的点一一对应的关系 ；③通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索立方根、平方根、无理数的性质，培养逻辑思维能力和创新思维能力 ；④通过实例引入，培养学生独立思考和解决问题的能力 ；⑤激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力 ；⑥让学生体验到数学与生活息息相关，是有用的、有价值的数学 。（二）教学重点、难点重点：①实数的定义与性质 ：理解实数的概念，掌握实数的性质； ②实数的运算 ：掌握实数加、减、乘、除、乘方等运算规则。难点：①实数在数学中的应用 ：特别是解决实际问题时，如何有效地运用实数的概念和性质； ②平方根和立方根的实际应用 ：学会求一个正实数的平方根和立方根，并能够运用它们解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1平方根23.2立方根13.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1平方根1.了解平方根和算术平方根的概念及其性质。2.会用根号表示一个非负数的平方根及算术平方根。3.理解无理数概念 ：经历无理数的探讨过程，概括出无理数的概念，并能准确区别有理数和无理数 。4.掌握计算器求平方根 ：学会使用计算器求一个正数的算术平方根及其近似值，掌握计算方法，发展数感和估算能力 。学生理解并掌握平方根的定义及性质；会用计算器求平方根。活动一：通过例题合作总结平方根、算术平方根、无理数的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器计算无理数。3.2立方根1.了解立方根的概念，理解立方根的性质。2.理解开立方与立方是一对互逆运算，会用立方根的概念求某些数的立方根，并能用根号给出表示。3.通过对具体问题的分析，体验互逆运算的辩证思想，感受立方根在现实世界中的客观存在。4.了解数学知识源于生活、服务生活，从而增强学习数学的兴趣 。学学生理解并掌握立方根的定义及性质；会用计算器求开立方；理解开立方和立方互为逆运算。活动一：通过例题合作总结立方根的定义及性质；活动二：通过问题学会使用计算器开立方。3.3实数1.要求学生了解无理数、实数的概念和实数的分类，能够准确地将实数进行分类。2.了解实数范围内相反数和绝对值的意义，学会求一个实数的相反数和绝对值，以及利用数轴知识比较实数的大小 。3.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 。4.通过实际操作和例题练习，熟练运用实数运算规则，提高解决问题的能力 。学生理解实数的分类（按定义分、按正负性分），并能区分哪些是有理数、哪些是无理数；掌握实数的运算和大小比较。活动一：学生通过问题探究实数的概念和分类；活动二：学生利用有理数的运算知道实数的运算和大小比较。
《实数》单元教学设计
活动一：（合作完成）根据问题合作探究平方根与算术平方根的定义和性质。
活动二：（独立完成）通过问题认识开平方、平方和开平方互为逆运算。
3.1.1平方根与算术平方根
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究无理数的定义。
3.1.2无理数
活动二：（独立完成）通过问题总结归纳近似数、近似值。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究立方根的定义和表达方式。
活动二：（合作完成）通过问题总结归纳开立方和立方互为逆运算。
3.2立方根
实数
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的分类。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的性质。
。
3.3.1实数的分类及性质
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究实数的运算。
。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究实数的大小比较。
。
3.3.2实数的运算
活动三：利用所学知识完成例题
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