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有理数的乘方
【知识梳理】
一、有理数的乘方
乘方的定义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。
乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。
注意：（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。
当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n
（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 ，则a=0，b=0。
二、科学记数法
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数（），这种记数法叫科学记数法。
三、近似数
近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到那一位。
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。
【课堂练习】
选择题
1.下列运算结果互为相反数的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2.世纪数学家斐波那契的计算之书中有这样一个问题：“在罗马有位老妇人，每人赶着头毛驴，每头驴驮着只口袋，每只口袋里装着个面包，每个面包附有把餐刀，每把餐刀有只刀鞘．”则刀鞘数为( )
A. B. C. D.
3.人民大会堂壮观巍峨，占地面积平方米，建筑平面呈“山”字形，与四周层次分明的建筑构成了一幅天安门广场整体的庄严绚丽的图画．用科学记数法表示的数据“”，原来的数是 ( )
A. B. C. D.
4.若，，，则下列大小关系中正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列各对近似数，精确度相同的是( )
A. 与 B. 与 C. 万与万 D. 与
6.计算所得结果是( )
A. B. C. D.
7.利用如图的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示，白色小正方形表示，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图第一行数字从左到右依次为，，，，序号为，表示该生为班学生．表示班学生的识别图案是( )
A. B. C. D.
8.如图，将一个边长为的正方形纸片分割成个图形，图形的面积是正方形纸片面积的，图形的面积是图形面积倍的，图形的面积是图形面积倍的图形的面积是图形面积倍的，图形的面积是图形面积的倍．计算的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.某种零件的表面积约为，将用科学记数法可表示为______．
10.已知，则的值是______．
11.如图，在数轴原点的右侧，一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，则点表示的数为 ；第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点的距离为 ．
12.观察算式，，，可以得出的末尾两位数字是 ．
13.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：约率和密率同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中、、、为正整数，则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 ．
三、计算题
14.计算 ．
四、解答题
15.计算： ______； ______； ______； ______．
对于，如果底数的小数点向左移动一位，那么的小数点向______填“左”或“右”移动______位
对于，如果底数的小数点向左或向右移动一位，那么的小数点怎样移动？
16.某海洋勘测队利用波的反射原理测量海域深度．假如该种波的传播速度为，测某海域时，波从水面上发射到接收共用时，求该海域的深度．
17.阅读材料：求的值．
解：设，将等式的两边同乘以，
得，
用得，，
即．
即．
请仿照此法计算：
请直接填写的值为______；
求值；
请直接写出的值．
【课后巩固】
1.某自动控制器的芯片可植入粒晶体管，这个数字用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
2.缸内红茶菌的面积每天长大一倍，若经过天就能长满整个缸面，那么长满半个缸面要经过（ ）
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
3.小南身高为，一张纸的厚度为，现将这张纸连续对折假设对折始终能成功，若连续对折次后，纸的厚度超过了小南的身高，那么的值最小是
A. B. C. D.
4.我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天．
5.将初一年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数、、，报到奇数的退下，偶数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数、、，报到奇数的退下，偶数的留下，，如此继续，最后留下一个同学，则最后留下的这个同学编号是 ．
6.计算：； ．
7.如果一个实际数的真实值为，近似值为，那么称为绝对误差，称为相对误差．已知一根木条的实际长度为，第一次测量精确到厘米，第二次测量精确到毫米，求两次测量所产生的绝对误差和相对误差．相对误差精确到
8.概念学习
规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的次商”，记作，读作“的次商”一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．
初步探究
直接写出结果： ；
关于除方，下列说法错误的是 ；任何非零数的次商都等于；对于任何正整数，；；负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式 ； ；
想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于 ；
算一算： ．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
【解析】解：，，，
，
5.【答案】
【解析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法根据近似数的精确度分别对各选项进行判断．
解：精确到百分位，精确到千分位，所以选项错误；
B.精确到百分位，精确到百分位，所以选项正确；
C.万精确到万位，万精确到千位，所以选项错误；
D.精确到百位，精确到个位，所以选项错误．
6.【答案】
【解析】本题主要考查了有理数的混合运算将分解为，再进行加减运算，即可解答．
解：原式
7.【答案】
【解析】仿照二维码转换的方法求出所求即可．
此题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键．
解：根据题意得：，
则表示班学生的识别图案是
8.【答案】
【解析】提示：根据题意可得，正方形的面积为，图形的面积为，图形的面积为，图形的面积为根据规律可得，图形的面积为，图形的面积为，图形的面积为因为图形的面积是图形面积的倍，所以图形的面积为因为，且的值刚好为图形的面积之和，而图形的面积之和为正方形的面积减去图形的面积，
所以．
9.【答案】
【解析】解：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
10.【答案】
【解析】解：，
，，
．
直接利用绝对值的性质和偶次方的性质得出，的值，进而得出答案．
11.【答案】
【解析】本题考查的是数轴上数字的规律题，关键是找准规律，每次跳动都是原数的一半．
个单位，是的中点，故A表示的数是，距离原点的距离就是；依次类推，四次跳动后，距离原点的距离为．
12.【答案】
【解析】根据题意得，，，，，，，，因为，所以的末尾两位数字为，故答案为：．
13.【答案】
【解析】 ，第一次“调日法”结果为 ， ，第二次“调日法”结果为 故答案为 ．
14.【答案】【小题】
．
【小题】原式．

15.【答案】 左 二
【解析】解：；；；；
故答案为：；；；；
对于，如果底数的小数点向左移动一位，那么的小数点向左移动二位；
故答案为：左；二；
；；；；
底数的小数点向左或向右移动一位，的小数点向左或向右移动三位．
16.【答案】
17.【答案】 ；；
【解析】解：，
设，
则，
，
，
．
即．
设，
则，，
，
，
，
根据有理数的乘方和有理数的加法可以解答本题；
根据题目中的例子，设，然后即可得到的值，然后作差，整理，即可得到所求式子的值；
仿照题目中的例子，设，然后即可得到的值，然后整理，再代入所求式子，即可解答本题．
【课后巩固】
1.【答案】
2.【答案】
【解析】此题考查了有理数的乘方在实际中的应用，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．设缸内红茶菌的面积最初是，则经过一天的面积是，经过天的面积是，经过天的面积是，即为整个缸面的面积，从而进一步求得长满缸面的一半需要的天数．
解：设缸内红茶菌的面积最初是根据题意，得
，解得：．
3.【答案】
【解析】本题是乘方运算在实际问题中的应用，理解对折次后纸的厚度为，是解本题的关键．根据题意可以求得对折次后纸的厚度，然后令纸的厚度大于小南的身高，从而可以解答本题．
解：一张纸的厚度为，对折次后纸的厚度为；
对折次后纸的厚度为；
对折次后纸的厚度为；
对折次后纸的厚度为
根据题意可得：，
解得．
而，因而最小值是．
4.【答案】
【解析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数字列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数．
解：孩子自出生后的天数是
5.【答案】
【解析】根据题意，可知一圈后留下的人是的倍数的号；两圈后留下的人分别是的倍数的号；三圈后留下的人是的倍数的号；四圈后留下的人是的倍数的号，即只有．
解：由题意，知：经过轮后为正整数，剩下同学的编号为；
，即，
当圆圈只剩一个人时，，这个同学的编号为．
6.【答案】解：
．
．
7.【答案】解：第一次测量精确到厘米， 因为，所以，所以，； 第二次测量精确到毫米， 因为，所以，所以，．
8.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
【小题】
【小题】
【解析】 解：；
任何非零数的次商等于这个数与它本身相除，结果为，
任何非零数的次商都等于，故正确；
对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
，，错误；
负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，正确；
综上，说法错误的是：
利用除方的定义对每个说法逐一判断即可；
，
，
利用题干中给定的解法解答即可；

将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于
利用中的方法解答即可；
原式
利用中得出的规律计算即可．
本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是阅读型题目，理解题干中的定义与法则并熟练应用是解题的关键．

21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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