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北京版（2024）七年级数学（上册）
第二章 有理数的运算
1.9 有理数的乘方 教学设计
一、教材分析
有理数的乘方是有理数运算的重要组成部分，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算之后的一种新的运算。它是后续学习实数运算、整式运算等内容的基础，起到了承上启下的作用。从数学知识体系角度看，乘方是一种特殊的乘法运算，将相同因数的乘法运算简洁地表示出来，使运算更加便捷和高效，进一步丰富了有理数的运算体系。从思维发展角度看，有助于培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，让学生从具体的数字运算上升到对符号和规律的探究，提升数学思维的深度和广度。从实际应用角度看，在科学技术、金融、计算机科学等领域都有广泛的应用，为学生解决实际问题提供了有力的工具。
二、重点与难点
重点：正确理解乘方的意义，掌握有理数乘方的运算方法，包括符号的确定和数值的计算。这是本节课的核心内容，只有理解了乘方的意义，才能正确进行运算。
难点：理解负数的乘方运算中符号的规律，以及区分不同底数和指数的乘方表示。对于初学者来说，负数的奇次幂为负、偶次幂为正这一规律较难理解和掌握，同时容易混淆不同形式的乘方表达式。
三、教学内容概述
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作，其中叫做底数，叫做指数，读作的次幂（或的次方）。
有理数乘方的运算规则：
正数的任何次幂都是正数。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
的任何正整数次幂都是。
通过实例感受乘方的意义和数值变化：如通过细胞分裂、折纸等实例，让学生体会当底数大于时，乘方的运算结果增大得很快；当底数小于时，乘方的运算结果减小得很快。
四、教学准备
教师准备：
制作多媒体课件，包含与有理数乘方相关的动画、图片、例题等内容，如展示细胞分裂过程的动画来引入乘方概念，或者用棋盘上放米粒的故事来激发学生兴趣。
准备一些实物道具，如一张足够大的纸用于课堂上进行折纸活动，帮助学生理解乘方的概念。
设计好教案和教学流程，明确教学目标、教学重难点、教学方法和教学环节。
提前准备好课堂练习题和课后作业题，题目要有针对性和层次性，涵盖不同难度和类型的乘方运算。
学生准备：
每人准备一张纸，用于课堂上跟随老师进行折纸操作，亲身体验乘方的概念。
复习有理数的乘法运算规则，为本节课学习有理数乘方运算做好知识铺垫。
准备好笔和笔记本，以便记录课堂上的重要知识点、例题和解题方法。
五、教学目标
知识与技能：
正确理解有理数乘方、幂、指数、底数等概念，能熟练进行有理数的乘方运算，会用计算器进行乘方运算。
过程与方法：
通过对乘方意义的探究过程，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化思想，提高学生的数学思维能力和运算能力。
情感态度与价值观：
让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性和趣味性，提高学生对数学的学习兴趣和学习积极性，培养学生的合作精神和创新意识。
教学方法
讲授法、讨论法、探究法、练习法相结合。通过讲授法讲解有理数乘方的概念和运算规则；利用讨论法和探究法引导学生理解乘方的意义和规律；运用练习法让学生巩固所学知识，提高运算技能。
七、教学过程
创设情境，导入新课
故事导入：讲述一个关于国王和大臣下棋的故事，大臣要求在棋盘上放米粒，第一个格放 2 粒米，第二个格放 4 粒米，第三个格放 8 粒米，以此类推，每一格的米粒数是前一格的 2 倍，问国王到第 64 格时需要放多少米粒。
思考：这个问题中米粒数的增长规律，从而引出有理数乘方的概念。
实例导入：
展示细胞分裂的图片或动画，一个细胞 30 分钟后分裂成 2 个，1 小时后分裂成 2×2 个，1.5 小时后分裂成 2×2×2 个，问经过 n 个 30 分钟后细胞个数是多少，引出乘方的概念来表示这种快速增长的数量关系。
乘方是数学中表示重复乘法的一种运算方式。当我们说一个数的乘方时，我们指的是将这个数重复相乘若干次。
例如，a的n次方表示为an，意味着将a乘以自己n次。乘方的概念在数学中非常重要，它不仅用于描述数量的快速增长，还广泛应用于科学、工程和金融等领域。
例如，计算利息时，本金加上利息的复利计算就涉及到乘方的概念。
探索新知
乘方的概念
让学生阅读教材中关于有理数乘方的内容，理解乘方的定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。即（n 个 a 相乘），其中 a 叫做底数，n 叫做指数。
举例说明：如34，3 是底数，4 是指数，读作 “3 的 4 次方” 或 “3 的 4 次幂”，表示 4 个 3 相乘。
练习巩固：让学生写出一些有理数乘方的表达式，并说出其底数和指数，如（-23）、52、()4等。
乘方的性质
计算一些简单的有理数乘方运算，如23=2×2×2=8,(-2)3 =(-2)×(-2)×(-2)=-8,32=3×3=9,(-3)2 =(-3)×(-3)=9等。
引导学生观察计算结果，小组讨论并总结出有理数乘方的性质：
正数的任何次幂都是正数。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
0 的任何正整数次幂都为 0。
乘方的运算
讲解有理数乘方运算的步骤：先确定符号，根据符号法则判断结果的正负性；再计算底数的乘方。
例 1：计算(-3)4。
分析：底数是 -3，指数是 4，因为 4 是偶数，根据性质负数的偶次幂是正数，所以结果为正数。
计算：(-3)4 =(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81。
例 2：计算-23。
分析：这里要注意 -23 与 (-2)3 的区别，-23 表示 2 的 3 次方的相反数，先算 23 = 2×2×2 = 8，再取相反数，结果为 -8。
计算：-23 =(-2)×(-2)×(-2)=-8。
学生练习：让学生独立完成教材中的相关练习题，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
巩固提高
基础练习：
写出下列乘方的底数、指数和意义：
43。
(-5)2。
(－)4。
计算：
33。
-42。
()3。
拓展练习：
计算：
-(-3)3。
-24 +(-2)4。
(-1)2024。
探究规律：观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，找出 22024 的幂次的个位数字的规律，并根据规律写出的个位数字。
课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容，包括有理数乘方的概念、性质、运算方法等。
让学生总结在学习过程中遇到的困难和解决方法，以及有哪些收获和体会。
教师对学生的总结进行补充和点评，强调重点和易错点，鼓励学生在今后的学习中继续努力。
作业布置（略）
八、板书设计
有理数的乘方
目标
理解乘方的概念。
掌握有理数乘方的运算规则。
能够正确进行有理数的乘方运算。
重点：有理数乘方的定义和运算规则。
难点：负数的乘方运算。
回顾有理数的乘法和除法。
提出乘方的概念，举例说明。
定义乘方：an 表示n个a相乘。
乘方的性质：正数的乘方、负数的乘方、零的乘方。
乘方运算的法则：先确定底数和指数，再进行运算。
计算几个有理数乘方的例子。
分析负数乘方的结果。
总结乘方的定义和运算规则。
强调负数乘方的特点。
作业：
完成课本相关习题。
下一节课的预习。
九、教学反思
优点：
本节课通过实例引入乘方的概念，使学生能够直观理解乘方的含义。
通过与实际生活相结合的例子，让学生感受到有理数乘方在生活中的应用，增强了学习的趣味性和实用性。
逐步引导学生掌握乘方运算的规则，包括同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方等，循序渐进地加深理解。
通过练习题巩固知识点，帮助学生将理论知识转化为解题技能。
缺点：
对于乘方运算的规则讲解可能过于抽象，部分学生可能难以理解。
实例可能不够多样化，未能覆盖所有类型的乘方运算，导致部分学生在遇到不同情境时应用困难。
练习题可能缺乏针对性，未能覆盖所有易错点，导致学生在某些问题上容易出错。
改进方法：
增加更多与学生生活紧密相关的实例，帮助学生更好地理解乘方的实际意义。
利用多媒体工具，如动画或图形演示，使乘方的概念和运算规则更加直观易懂。
设计更多不同难度和类型的练习题，特别是针对易错点的题目，以帮助学生全面掌握乘方运算。
在课堂上增加互动环节，鼓励学生提出疑问，并通过小组讨论或师生互动的方式解决问题，提高学生的参与度和兴趣。
课后习题
计算下列各题：
(1) (-2)3
(2) 34
(3) (-5)2
(4) (-3)5
如果a是一个负数，b是一个正数，那么ab和ba哪个更大？请解释你的答案。
用乘方的性质简化下列表达式：
(1) (-3)2 × (-3)4
(2) 23 × 2(-2)
解释下列各题中乘方的含义，并计算结果：
(1) 2(-1)
(2) (-1)5
一个正方形的边长为a，求它的面积和周长。
一个立方体的边长为b，求它的体积和表面积。
如果一个数的平方是16，求这个数。
一个数的立方是-27，求这个数。
用乘方的性质计算下列各题：
(1) (23)2
(2) (-2)3 × (-2)(-3)
解释为什么任何数的0次方都是1。
如果一个数的平方是它本身，这个数可能是多少？
一个数的立方是它本身的正数有哪些？
用乘方的性质解释为什么(-1)2n = 1，其中n是正整数。
如果一个数的平方是负数，这个数可能是什么？
一个数的立方是负数，这个数可能是多少？

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