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北京版（2024）七年级数学（上册）
第二章 有理数的运算
1.11 数的近似和科学记数法 教学设计
一、教材解说
本章 “有理数的运算” 是初中数学的重要基础内容，而 “数的近似和科学记数法” 是本章中的一个关键部分。它是在学生已经学习了有理数的基本概念和运算的基础上，进一步学习如何对有理数进行近似表示以及用科学记数法来表示较大或较小的数，为后续学习实数、代数式等知识奠定基础，也在实际生活和科学研究中的数据处理方面有着广泛的应用。特别是，数的近似培养了学生对数值的估算和近似处理能力，使学生能在实际问题中根据需要合理地选择近似值，提高解决实际问题的灵活性。科学记数法则让学生学会一种简洁、规范地表示大数和小数的方法，便于在计算和数据表达中提高效率。
二、重、难点分析
重点：
理解数的近似表示的概念和应用，包括四舍五入法和截取法等取近似值的方法，使学生能根据具体要求准确地求出一个数的近似值，这是在日常生活和数学计算中经常用到的技能。
掌握科学记数法的定义和使用方法，让学生学会将较大或较小的数用科学记数法表示，以及能将科学记数法表示的数还原为原数，这对于处理大量数据和简化计算过程非常重要。
难点：
数的近似表示的应用能力培养，学生需要理解在不同情境下如何确定近似值的精度以及选择合适的取近似值方法，并且要避免在近似计算中出现错误。
科学记数法的灵活运用，特别是对于一些较复杂的数，如何确定指数以及正确地进行科学记数法的转换和运算，需要学生有较强的数感和运算能力。
三、内容概述
数的近似表示：
介绍数的近似表示的意义，让学生明白在很多实际情况下，精确值往往不是必需的，或者难以得到，近似值可以简化问题和方便计算。
讲解四舍五入法，包括如何根据要求保留到指定的小数位数或整数位数，以及如何判断是 “舍” 还是 “入”。
介绍截取法，与四舍五入法进行对比，让学生了解两种方法的区别和适用场景。
科学记数法：
讲解科学记数法的定义，即把一个数表示成 的形式（其中 ， 是整数）。
教授科学记数法的表示方法，如何确定 和 的值，对于较大的数和较小的数分别如何处理。
讲解科学记数法的转换和运算，包括将科学记数法表示的数还原为原数，以及进行科学记数法表示的数的乘法、除法运算等。
四、教学准备
教师准备：
制作多媒体课件，包含生活中需要用数的近似和科学记数法表示的实例图片、动画或视频，如宇宙中星球之间的距离、国家的人口数量、微观世界中粒子的大小等，用于课堂导入和讲解过程中辅助教学，增强学生的直观感受。
准备一些练习题和问题，用于课堂提问、小组讨论和课后作业，以巩固学生所学知识。
准备教学用具，如直尺、圆规等，以备在讲解过程中需要画图或进行简单的几何演示。
学生准备：
预习课本中 “数的近似和科学记数法” 的相关内容，尝试理解基本概念和方法。
准备好笔记本、笔等学习用品，以便记录课堂笔记和完成课堂练习。
五、教学过程
导入新课（约 5 分钟）：
通过多媒体展示一些生活中的大数据，如地球的周长约 40075 千米、太阳的直径约 1392000 千米、一个细胞的直径约为 0.00005 米等，让学生思考如何更简洁地表示这些数，引出数的近似和科学记数法的课题。
师：同学们在日常生活中还遇到过哪些类似的大数或小数，以及是如何处理的？
生：例如，在购物时，我们可能会遇到商品的价格，如123.45元，这就是一个小数。
生A:在计算家庭的月收入或支出时，可能会涉及到成千上万的金额，这就是大数。处理这些数字时，我们可以使用计算器或手机上的计算功能来帮助我们准确计算。在购物时，我们可以通过四舍五入来简化计算，比如将123.45元四舍五入为123.5元。在处理大数时，我们可以通过分组来简化计算，比如将12345元分成1万、2千和3百4十5元来计算。此外，我们还可以使用数学工具，如Excel表格，来帮助我们管理和计算这些数字。
数的近似表示（约 15 分钟）：
数的近似表示是数学中一种重要的表示方法，它允许我们用一个接近但不完全等于实际数值的数来简化计算或表达。在日常生活中，我们经常会遇到需要使用近似数的情况，比如在测量长度、重量或计算金钱时，由于测量工具的限制或计算的便利性，我们往往只能得到一个近似值。
科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，它将一个数表示为一个1到10之间的数字乘以10的幂。例如，1234可以写作1.234×103，而0.001234可以写作1.234×10-3。使用科学记数法可以方便地进行大数或小数的运算，尤其是在科学和工程领域中，它是一种非常实用的表示方式。
在数学中，将一个数转换为近似数通常涉及四舍五入的方法。四舍五入是一种近似计算，它将一个数简化为最接近的特定数位的值。
例如，如果我们要将数字3.14159四舍五入到小数点后两位，我们会得到3.14，因为第三位数字是1，小于5，所以不需要进位。
科学记数法是一种表示很大或很小的数字的方法，它将一个数表示为一个1到10之间的数字乘以10的幂。
例如，数字12345可以表示为1.2345乘以10的4次方，写作1.2345×104。同样，0.000012345可以表示为1.2345乘以10的负5次方，写作1.2345×10-5。在科学记数法中，10的幂表示原数被移动的小数点的位置数。
数的近似表示的意义（约 3 分钟）：
数的近似表示是指用一个与原数相近但更简单或更方便处理的数来代替原数。在实际生活中，由于测量工具的限制或计算的需要，我们常常需要对数值进行近似处理。
例如，当我们测量一块长方形木板的长度时，如果使用刻度尺测量得到的结果是123.45厘米，但在大多数情况下，我们可能只需要精确到厘米，那么就可以将这个数值近似表示为123厘米。这里，123厘米就是123.45厘米的近似值。
再比如，在计算一个班级学生的平均身高时，如果每个学生的身高数据都精确到小数点后两位，那么在计算平均值时，为了简化计算，我们可以将每个学生的身高四舍五入到最接近的整数，然后计算平均数。这样得到的平均身高就是一个近似值。
小结：
在实际计算和应用中，很多时候不需要精确值，例如在统计一个城市的人口数量时，通常只需要一个近似值即可，让学生理解数的近似表示的必要性和意义。
举例说明如测量物体的长度、重量等，由于测量工具的精度限制或实际情况的需要，往往得到的是近似值。
四舍五入法（约 7 分钟）：
详细讲解四舍五入法的规则，如要保留到某一位小数，就看这一位后面的数字，如果小于 5 就舍去，如果大于等于 5 则向前一位进 1。
通过实例进行演示，如将 3.14159 分别保留到小数点后 1 位、2 位、3 位，让学生动手计算并回答结果，加深对四舍五入法的理解。
组织学生进行小组讨论，讨论四舍五入法在实际生活中的应用场景，如购物时计算价格的近似值、估算物体的数量等。
截取法（约 5 分钟）：
讲解截取法的操作方法，即按照指定的位数直接截取数字，不考虑后面的数字大小。
截取法是一种数学中的数值处理方法，它指的是按照指定的位数直接截取数字，忽略掉该位数之后的所有数字。具体操作方法如下：
确定截取的位数。例如，如果要截取到个位，那么就是截取到数字的最后一位；如果要截取到十位，那么就是截取到倒数第二位。
从目标数字的最高位开始，数出指定的位数。例如，如果要截取到十位，就从数字的最左边开始数，数到倒数第二位。
截取到指定位数后，将该位数之后的所有数字舍去。例如，如果要截取到十位，那么个位及个位之后的数字都不再考虑。
得到的结果就是截取后的数字。
例如，如果我们要截取数字12345到十位，我们数到倒数第二位，即4，然后舍去个位的5，得到的结果就是1234。如果要截取到个位，那么就直接取最后一位数字5，得到的结果就是12345。
举例对比四舍五入法和截取法的结果差异，如将 1.2345 分别用四舍五入法和截取法保留到小数点后 2 位，让学生观察并分析两种方法的不同之处。
引导学生思考在什么情况下适合使用截取法，例如在一些对精度要求不高，但需要快速得到一个近似值的场合。
截取法是一种数学近似计算方法，它适用于对精度要求不是特别高，但需要快速得到结果的场合。例如，在日常生活中，当我们需要估算物品的长度或数量，但又不需要非常精确的数值时，就可以使用截取法。比如，如果一个房间的长度大约是3.5米，而我们只需要知道它是否足够放下一张床，那么我们可以简单地将长度截取为3米，从而快速判断。在科学实验或工程计算中，当初步分析或粗略估计时，也可以采用截取法来简化计算过程。总之，截取法在需要快速得出近似结果时非常有用，尤其是在对结果的精确度要求不是非常严格的情况下。
科学记数法（约 20 分钟）：
科学记数法是一种表示很大或很小的数字的方法，它将一个数表示为一个1到10之间的数字乘以10的幂。
在数学中，科学记数法通常写作a×10n的形式，其中1≤|a|<10，而n是一个整数。
例如，将数字5,600,000用科学记数法表示，可以写作5.6×106。这里，5.6是基数，10的幂是6，因为5.6需要向左移动6位来得到原来的数。
练习题：
将数字123,456用科学记数法表示。
将数字0.000000789用科学记数法表示。
如果一个细菌每30分钟分裂一次，一天后会有多少个细菌？假设开始时有1个细菌，用科学记数法表示最终的细菌数量。
科学记数法的定义和应用（约 5 分钟）：
科学记数法是一种表示很大或很小的数字的方法，它将一个数表示为一个1到10之间的数字乘以10的幂。在数学和科学领域，这种记数法非常有用，因为它可以简化数字的书写和计算。
定义：
科学记数法的一般形式是 a × 10n，其中：
a 是一个大于等于1且小于10的实数。
n 是一个整数，可以是正数也可以是负数。
应用：
表示极大或极小的数值：例如，太阳的质量大约是1.989 × 1030千克，而一个电子的质量大约是9.109 × 10-31千克。
在科学和工程计算中：科学记数法可以简化复杂的乘法和除法运算，尤其是在处理指数和对数时。
在计算机科学中：计算机通常使用科学记数法来存储和处理非常大或非常小的数值。
例如，将数字123456表示为科学记数法：
123456 = 1.23456 × 105
将数字0.000123456表示为科学记数法：
0.000123456 = 1.23456 × 10-4
小结：在进行计算时，科学记数法可以让我们更方便地比较大小、进行乘除运算，以及在科学和工程领域中进行精确的数值表示。
讲解科学记数法的定义，强调将一个数表示成a×10n 的形式，其中1≤|a|<10 ， 是 整数。
通过实例说明科学记数法在科学研究、天文学、物理学等领域中的应用，如表示星系之间的距离、原子的大小等，让学生体会科学记数法的重要性。
科学记数法的表示方法（约 10 分钟）：
对于较大的数，如 567000000，先确定 ，此时小数点向左移动了 8 位，所以 ，即 567000000 = 5.67×10 。
对于较小的数，如 0.000000345，先确定 ，小数点向右移动了 7 位，所以 ，即 0.000000345 = 3.45×10 ，让学生理解负数指数的含义。
组织学生进行课堂练习，将一些给定的大数和小数用科学记数法表示，教师巡视并指导，及时纠正学生的错误。
科学记数法的转换和运算（约 5 分钟）：
讲解如何将科学记数法表示的数还原为原数，
如 3.2×10 = 3.2×10000 = 32000，让学生掌握还原的方法。
举例说明科学记数法表示的数的乘法运算，
如（2×10 ）×（3×10 ） = 2×3×10 ×10 = 6×10 ，让学生理解指数相加的规则。
布置一些简单的科学记数法的运算练习，让学生巩固所学知识。
拓展应用（约 8 分钟）：
设计一些综合性的实际问题，如计算一个国家的人均占地面积（涉及人口数量和国土面积的近似值以及科学记数法的运用）、计算某种细菌在一定时间内的繁殖数量（涉及小数的近似值和科学记数法）等。
让学生分组讨论解决问题的方法和步骤，然后每组派代表进行讲解，教师进行点评和补充。
通过拓展应用，培养学生运用数的近似和科学记数法解决实际问题的能力，提高学生的数学思维和合作交流能力。
课堂小结（约 5 分钟）：
回顾本节课所学内容，包括数的近似表示的意义和方法（四舍五入法、截取法），科学记数法的定义、表示方法、转换和运算规则。
强调数的近似和科学记数法在实际生活和数学学习中的重要性，鼓励学生在今后的学习和生活中善于运用这些知识。
让学生提出自己在本节课中还存在的疑问或困惑，教师进行解答。
板书设计
数的近似和科学记数法
一）、数的近似
近似数的定义
近似数的表示方法
四舍五入
截断
近似数的精确度
有效数字
精确到某一位
二）、科学记数法
科学记数法的定义
科学记数法的表示形式
a×10^n（1≤|a|<10，n为整数）
科学记数法的运算规则
加减运算
乘除运算
科学记数法的应用
大数和小数的表示
科学技术领域的数据表示
课后作业
将下列各数用科学记数法表示：
(a) 3500000
(b) 0.0000048
(c) 123456789
将下列科学记数法表示的数转换为普通形式：
(a) 3.2 × 105
(b) 5.6 × 10-3
(c) 7.89 × 100

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