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北京版（2024）七年级数学（上册）
第二章 有理数的运算
1.10 有理数的混合运算 教学设计
一、教材分析
教材背景：有理数的混合运算是在学习有理数加减乘除及乘方的基础上，进一步加深学生对有理数各运算的认识，起到复习全章的作用。
地位和作用：是一种特殊且基本的运算模型，在数式计算中占有重要地位。学好此内容可为数式运算、解方程、函数等相关内容的学习奠定基础，有利于培养和发展学生的运算能力，帮助学生解决现实生活中的相关问题。
二、内容概述
运算顺序：有理数混合运算需按照一定顺序进行，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时，先算括号内的运算，若有多层括号，由里到外依次进行。
运算律的应用：运算律在有理数的混合运算中仍然成立，合理运用运算律可以简化运算。
综合运算：涉及多种运算的综合，需要学生准确理解和掌握各种运算的法则及运算顺序，能够正确地进行计算。
三、学前准备
教师方面：
制作多媒体课件，以简化板书工作，增加课堂教学的信息容量；
准备好扑克牌等道具，用于 “24 点游戏” 环节；
提前设计好导学提纲、例题、练习题、课堂小结及课后作业等教学内容。
学生方面：
提前预习课本相关内容，复习有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，准备好学习用具。
教学方法和手段
引导学生通过实例理解有理数混合运算的含义和运算规则。
利用多媒体教学工具展示有理数混合运算的过程，增强学生的直观感受。
通过小组合作学习，让学生在讨论中掌握运算顺序和方法。
设计不同难度的练习题，让学生在实践中巩固知识点。
采用游戏化教学，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。
授课重点知识和难点知识
重点知识涵盖：
有理数混合运算的顺序，即先乘除后加减，同级运算从左到右进行。
运用运算律简化计算过程，如分配律、结合律等。
注意运算中的符号变化，正确处理正负号。
难点知识包括：
复杂表达式中运算顺序的准确把握。
运算律在混合运算中的灵活运用。
避免在运算过程中出现符号错误。
教学任务
理解有理数混合运算的顺序，即先乘除后加减，从左到右依次进行。
能够正确运用加法、减法、乘法、除法以及括号的运算规则解决有理数的混合运算问题。
学会运用运算律简化混合运算，例如分配律、结合律和交换律。
能够解决实际问题中的有理数混合运算，提高解决实际问题的能力。
培养学生在进行混合运算时的逻辑思维能力和计算准确性。
七、教学过程环节
复习回顾，引入新课
师：
同学们还记得我们小学阶段学过的加、减、乘、除四则运算的法则？哪个同学来说一说四则运算？
生A：
四则运算法则：
加法法则：当两个数相加时，相同数位对齐，从个位开始逐位相加，如果相加的和超过10，则向高一位进位。
减法法则：当两个数相减时，相同数位对齐，从个位开始逐位相减，如果上面的数小于下面的数，则需要向高一位借位。
乘法法则：当两个数相乘时，将一个数的每一位与另一个数相乘，然后将得到的积相加，注意乘积的每一位都要根据其位置确定正确的数位。
除法法则：当两个数相除时，将被除数分成若干个除数大小的组，计算有多少组，即为商。如果除不尽，可以得到一个带余数的商。
师：非常好，那么我们今天学习的是“有理数四则运算的法则。”
师：同学们有预习过课本吗？
生：有。
师：你们谁来说一下课文师如何概括“有理数四则运算的法则”的？
生：
有理数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。具体定义如下：
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。如果绝对值相等，则和为零。
减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a - b = a + (-b)。
乘法法则：同号两数相乘，结果为正；异号两数相乘，结果为负。绝对值相乘，符号根据同号或异号确定。
除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a ÷ b = a × ，其中b不为零。同号得正，异号得负。
在进行有理数的四则运算时，需要遵循这些基本法则，并注意运算顺序，通常先进行乘除运算，后进行加减运算。
师：非常好！我们一起给他掌声。
首先，我们来看一个有理数加法混合运算的例子：
例1：计算 -3 + 4 - 5 + 2
解：首先按照从左到右的顺序进行加法运算。
-3 + 4 = 1
1 - 5 = -4
-4 + 2 = -2
所以，-3 + 4 - 5 + 2 的结果是 -2。
接下来，我们来看一个有理数乘法运算的例子：
例2：计算 (-2) × 3 × (-4)
解：首先计算两个负数相乘，得到正数，然后与第三个数相乘。
(-2) × 3 = -6
-6 × (-4) = 24
所以，(-2) × 3 × (-4) 的结果是 24。
现在，我们来看一个有理数除法运算的例子：
例3：计算 (-8) ÷ (-2)
解：两个负数相除，结果为正数。
(-8) ÷ (-2) = 4
所以，(-8) ÷ (-2) 的结果是 4。
最后，我们来看一个有理数乘方运算的例子：
例4：计算 (-3)
解：负数的平方等于正数。
(-3) = 9
所以，(-3) 的结果是 9。
通过这些例子，我们可以看到有理数的混合运算需要遵循运算的优先级规则，即先进行乘方运算，然后是乘除运算，最后是加减运算。同时，要注意负号的处理，以及运算过程中括号的使用。
学生习题训练环节
1.如何正确进行有理数的加法混合运算。
步骤：
首先，复习有理数加法的基本规则，包括同号相加取其和，异号相加取其差，并注意绝对值较大的数的符号。
其次，引入加法混合运算的概念，即在一个表达式中可能同时包含多个加法和减法运算。强调运算顺序的重要性，即先进行括号内的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
然后，通过例题来具体讲解：
例题：计算 -3 + 4 - 5 + 2 的值。
解答步骤如下：
1）.先处理加法和减法，按照从左到右的顺序进行。
2）.-3 + 4 = 1
3）.1 - 5 = -4
4）.-4 + 2 = -2
所以，-3 + 4 - 5 + 2 的结果是 -2。
在教学过程中，可以使用数轴来帮助学生直观理解加法混合运算的过程，以及如何根据有理数的正负来确定最终结果的正负。
2.掌握有理数乘法运算的规则。
有理数乘法运算的规则如下：
1）.任何数与0相乘都等于0。
2）.同号两数相乘，结果为正数；异号两数相乘，结果为负数。
3）.两个数相乘，先确定符号，再计算绝对值的乘积。
4）.乘法运算满足交换律和结合律。
例如：
正数乘正数，结果为正数。如：(+3) × (+2) = +6。
负数乘负数，结果为正数。如：(-3) × (-2) = +6。
正数乘负数，结果为负数。如：(+3) × (-2) = -6。
负数乘正数，结果为负数。如：(-3) × (+2) = -6。
注意：在进行有理数乘法运算时，可以先忽略负号，将两个数当作正数相乘，然后根据两数的符号确定最终结果的符号。
3.学习有理数除法运算的方法。
步骤：
首先，复习有理数的基本概念，包括正数、负数和零，以及它们在数轴上的表示方法。确保学生理解有理数的分类和性质。
接着，介绍除法运算的基本规则，特别是除以一个数等于乘以该数的倒数。强调在进行有理数除法时，需要考虑数的符号。
然后，通过实例演示如何进行有理数的除法运算。
例如，先从简单的整数除法开始，再逐步引入分数和负数的除法。在每一步骤中，都要强调运算规则和符号变化。
之后，提供多个练习题让学生尝试，从简单的有理数除法到复杂的混合运算。鼓励学生在解题时画出数轴，以帮助他们直观地理解数的正负和运算结果。
最后，总结有理数除法的关键点，包括运算规则、符号处理以及如何检查答案。确保学生能够熟练掌握有理数除法，并能够独立解决相关问题。
理解并应用有理数的乘方运算。
有理数的乘方运算指的是将一个有理数重复相乘若干次。具体来说，如果有一个有理数a，n是一个正整数，那么a的n次方表示为an，意味着a乘以自己n次。例如，2的3次方就是2×2×2=8。
乘方运算有几个基本的性质：
①同底数幂相乘：当两个幂的底数相同时，可以将指数相加。例如，am × an = a(m+n)。
②同底数幂相除：当两个幂的底数相同时，可以将指数相减。例如，am ÷ an = a(m-n)。
③幂的乘方：一个幂再次被乘方时，可以将指数相乘。例如，(am)n = a(m×n)。
④负数的乘方：当底数是负数时，偶数次幂的结果是正数，奇数次幂的结果是负数。例如，(-2)3 = -8，而(-2)4 = 16。
在应用这些性质时，要注意指数运算的优先级高于加减法，所以在没有括号的情况下，先进行乘方运算，再进行加减运算。例如，3 + 22 应该先计算2的平方，得到4，然后再加上3，结果是7。
理解这些基本概念和性质后，我们就可以在实际问题中应用有理数的乘方运算，例如计算面积、体积，或者解决涉及指数增长或衰减的问题。
5.练习解决有理数混合运算
实例一：
问题：计算表达式 -3 + 5 - 2 × (-4) ÷ 2 的值。
解答：
首先进行乘除运算：
-2 × (-4) = 8
然后除以2：
8 ÷ 2 = 4
最后进行加减运算：
-3 + 5 = 2
2 + 4 = 6
所以，表达式的值为6。
实例二：
问题：求解方程 -2x + 3 = 1 - x。
解答：
首先将方程中的x项移到一边，常数项移到另一边：
-2x + x = 1 - 3
合并同类项：
-x = -2
最后，两边同时乘以-1得到x的值：
x = 2
所以，方程的解为x = 2。
实例三：
问题：一个数的2倍减去3，再加上这个数的1/3，结果是10。求这个数。
解答：
设这个数为x，则根据题意可以列出方程：
2x - 3 + = 10
将方程两边同时乘以3消去分母：
6x - 9 + x = 30
合并同类项：
7x - 9 = 30
将常数项移到等式右边：
7x = 39
最后，两边同时除以7得到x的值：
x =
所以，这个数是。
实例四：
问题：计算有理数的混合运算：-4 + 3 × (-2) - 6 ÷ 3。
解答：
首先进行乘法和除法运算：
3 × (-2) = -6
6 ÷ 3 = 2
然后进行加减运算：
-4 - 6 = -10
-10 + 2 = -8
所以，表达式的值为-8。
6.新知识强调
在学习有理数混合运算的法则时，我们首先需要观察有理数的加减乘除运算规则，然后通过类比已知的整数运算，概括出有理数运算的规律。
步骤如下：
1）观察有理数的加减法运算，注意正负号的处理，以及绝对值的相加减。
2）观察有理数的乘除法运算，注意乘除法中正负号的相互影响。
3）类比整数的运算，理解有理数运算中“同号相加，绝对值相加，符号不变；异号相加，绝对值相减，取绝对值较大的数的符号”这一规则。
4）概括出有理数乘除法的法则，即“同号得正，异号得负”，并且乘除运算中先进行绝对值的乘除，再确定结果的正负。
5）在进行混合运算时，先进行乘除运算，再进行加减运算，遵循运算的优先级顺序。
6）使用括号时，先计算括号内的运算，再进行括号外的运算。
通过以上步骤，我们可以系统地掌握有理数混合运算的法则，并能够正确地进行计算。
7.游戏活动，巩固提高：
24点游戏是一种数学益智游戏，规则如下：
①游戏使用四张牌，每张牌上分别写有一个数字，这些数字通常是1到13之间的整数，代表扑克牌中的A到K。
②玩家需要通过加、减、乘、除四种运算（每张牌的数字必须使用一次，且只能使用一次），使得这四个数字的运算结果等于24。
③运算过程中可以使用括号来改变运算顺序，确保运算的灵活性。
④如果能够得出结果为24的表达式，则该玩家获胜。
⑤如果无法得出结果为24的表达式，则该轮游戏结束，可以更换一组数字重新开始。
⑥游戏可以个人挑战，也可以分组对抗，看谁能在最短的时间内找出答案。
⑦24点游戏不仅锻炼了玩家的数学运算能力，还考验了逻辑思维和创造性。
引导学生阅读 “24 点游戏规则”，培养学生的阅读理解能力。
提出问题，让学生思考、讨论、交流并做出解答，培养学生的探究能力、合作能力和对运算法则、运算律的应用能力。
师：我们现在班级上有四组，从左往右分别分为A组、B组、C组、D组，那么我们的游戏是：请我们四组同学从准备好的扑克牌中任意抽出四张牌，小组合作写出尽可能多的结果为 24 的算式。
八、板书设计
1.10 有理数的混合运算
有理数的混合运算的顺序：
同级运算从左到右；不同级运算，先乘方，再乘除，最后加减；
有括号时先算括号内，多层括号由里到外依次进行。
运算律的总结：
如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等在有理数混合运算中的应用要点。
教学反思
①教学任务完成情况反思：
教学任务是让学生掌握有理数混合运算的顺序和方法，能够正确地进行有理数的混合运算，并在运算过程中灵活运用运算律简化运算。通过课堂教学和学生的练习反馈来看，大部分学生能够较好地掌握有理数混合运算的顺序，在计算过程中也能注意到先算乘方、再算乘除、最后算加减以及有括号先算括号内的运算规则。同时，部分学生能够主动运用运算律来简化运算，提高计算的准确性和效率。总体来说，教学目标基本达成。
②教学方法和策略反思：
采用复习导入的方法，先让学生回顾有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，为有理数混合运算的学习做好铺垫。这种方法有助于学生巩固旧知识，顺利过渡到新知识的学习，从实际效果来看，学生在复习的过程中能够快速回忆起相关知识，为后续的学习打下了良好的基础。
在讲解有理数混合运算的顺序时，通过例题讲解和学生练习相结合的方式，让学生在实际操作中掌握运算顺序。例题的选择具有代表性，涵盖了不同类型的有理数混合运算，如含有括号、乘方、乘除、加减的综合运算。在学生练习过程中，注重巡视和个别指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正。这种教学方法能够让学生更好地理解和掌握有理数混合运算的顺序和方法。
引入 “24 点游戏” 环节，增加了课堂的趣味性和互动性。学生在游戏中积极思考、合作交流，不仅巩固了有理数的混合运算知识，还提高了学习的积极性和主动性。但是，在游戏过程中，也发现部分学生过于关注游戏的结果，而忽略了对运算过程的思考和总结。在今后的教学中，可以在游戏结束后，引导学生对游戏中的运算过程进行回顾和总结，以提高游戏的教学效果。
③学情反思：
学生在课堂上的表现总体积极主动，能够认真听讲、积极思考、参与课堂互动。在例题练习和 “24 点游戏” 环节中，大部分学生能够积极参与，主动发表自己的观点和想法。但是，也有少数学生在课堂上表现不够积极，存在注意力不集中、参与度不高的情况。在今后的教学中，要更加关注这部分学生的学习情况，采取多样化的教学方法和手段，激发他们的学习兴趣，提高他们的参与度。
在学生的作业和练习中，发现部分学生在有理数混合运算中仍然存在一些问题。例如，运算顺序错误、符号处理不当、对运算律的运用不熟练等。针对这些问题，在今后的教学中要加强针对性的练习和辅导，帮助学生克服这些困难，提高计算的准确性和效率。
④改进措施：
在教学过程中，要更加注重对学生学习方法的指导。例如，在有理数混合运算中，引导学生先观察题目特点，再选择合适的运算顺序和方法进行计算；在运用运算律时，要让学生明确运算律的适用条件和方法，提高学生的计算能力和思维能力。
增加课堂练习的数量和难度，让学生在更多的练习中巩固所学知识，提高计算的准确性和速度。同时，要注重对学生练习的反馈和评价，及时发现学生存在的问题并进行纠正。
进一步优化教学方法和手段，提高课堂教学的趣味性和互动性。可以采用小组竞赛、数学游戏等形式，激发学生的学习兴趣和积极性。同时，要充分利用多媒体教学资源，如动画、视频等，让抽象的数学知识更加直观形象，便于学生理解和掌握。
加强与学生的沟通和交流，了解学生的学习需求和困难，及时调整教学策略和方法，提高教学质量。同时，要鼓励学生多提问、多思考、多探索，培养学生的创新精神和实践能力。
十、课后练习
计算下列各题，并写出计算过程：
(1) 3 + (-5) - 7 + 2
(2) (-4) × 3 ÷ (-6)
(3) (-2) × (-3) + 5 × (-2)
(4) 1/2 + 3/4 - 5/6
(5) 0.5 - 1.2 + 2.3 - 0.6
（6）3+（-23）×5-（-9）÷3。
（7）（-22）×〔（-3）2+2×（-5）〕。
解决实际问题：
(1) 小明在银行存了1000元，年利率为3%，一年后取出，利息税为20%，求小明一年后实际得到的利息是多少元？
(2) 一个长方形的长是10厘米，宽是-6厘米，求这个长方形的周长和面积。
(3) 甲、乙两地相距120千米，一辆汽车从甲地出发，先以每小时40千米的速度行驶了1.5小时，然后以每小时60千米的速度行驶了2小时，求汽车从甲地到乙地的平均速度。
证明下列等式：
(1) a + (b + c) = (a + b) + c
(2) a × (b × c) = (a × b) × c
(3) a × (b + c) = a × b + a × c
解下列方程：
(1) 3x - 5 = 10
(2) 2(x - 3) = 4x + 6
用有理数的运算解决下列问题：
(1) 一个数加上它的相反数等于多少？
(2) 一个数乘以它的倒数等于多少？
(3) 一个数的绝对值乘以它的相反数等于多少？
6.已知A和B互为相反数，即A = -B；C和D互为倒数，即CD = 1；M的绝对值为2，即M = 2或M = -2。
根据这些条件，我们可以求解一些与A、B、C、D、M相关的表达式。
例如，我们可以求解A+B、CD、M^2等。
解答如下：
A + B = 0，因为A和B互为相反数。
CD = 1，因为C和D互为倒数。
M×2 = 4，因为M的绝对值为2，所以M可以是2或-2，平方后都是4。
7.用两种方法计算(- + )×(-12)。
8.在 “24 点游戏” 中，现有数字 2、3、4、6，用这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于 24，请写出算式。
参考答案如下
6 ÷(2 - )= 24

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