资源简介

北京版（2024）七年级数学（上册）
第三章 简单的几何图形
四 两条直线的位置关系
3.9 两条直线的位置关系 教学设计
教材解说
“两条直线的位置关系”是初中几何的重要基础知识，为后续学习三角形、四边形等图形的性质和证明奠定基础。
两条直线的位置关系包括平行和相交，通过对这两种关系的研究，可以培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
内容结构上介绍同一平面内两条直线的相交和平行两种位置关系。重点讲解对顶角、邻补角的概念和性质，垂直的定义、性质及点到直线的距离。
二、学情介绍
学生在小学阶段已经对直线、线段、角有了初步的认识。
具备一定的观察、分析和简单推理能力。同时，对抽象的几何概念理解存在困难，如对顶角相等的证明。着重识别不同位置关系下的角，以及灵活运用垂直的性质进行解题。
三、教学任务
知识与技能目标
理解同一平面内两条直线的相交和平行关系。
掌握对顶角、邻补角的概念和性质。
认识垂直的定义、性质，会求点到直线的距离。
过程与方法目标
通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
引导学生运用类比、转化等数学思想方法解决问题。
情感态度与价值观目标
激发学生学习几何的兴趣，培养学生的合作意识和探索精神。
通过实际问题的解决，让学生体会数学与生活的紧密联系。
四、重难点介绍
重点
对顶角、邻补角的概念和性质。
垂直的定义、性质及点到直线的距离。
难点
对顶角相等的证明。
灵活运用垂直的性质解决实际问题。
五、教学法
教法
直观演示法：通过图形展示、动画演示等方式，帮助学生直观理解几何概念。
启发式教学法：提出问题，引导学生思考、讨论，逐步得出结论。
讲练结合法：讲解知识的同时，通过练习巩固所学内容。
学法
自主探究法：让学生自主观察、分析图形，发现规律。
合作学习法：组织学生进行小组讨论，交流解题思路和方法。
六、课前准备
教师准备
制作多媒体课件，包括图形展示、动画演示等。
准备教学用具，如直尺、三角板、量角器等。
学生准备
预习教材内容。
准备直尺、三角板、量角器等学习用具。
七、教学过程
导入新课
师：同学们说一说生活中发现的两条直线的物体？
生1：斑马线
生3：房屋的屋檐的水平线
生5：火车轨道、十字路口
通过展示生活中两条直线的实例，如铁轨、十字路口等，引出两条直线的位置关系。
两条直线的位置关系
相交线 平行线
探究新知
相交线
引导学生观察相交直线形成的角，引出对顶角和邻补角的概念。
图1角
图2对顶角
图3邻补角
探究对顶角和邻补角的性质：
首先，关于对顶角相等的性质，我们可以设计一个简单的测量实验。准备一张白纸，用直尺在纸上画两条相交的直线。这两条直线相交后会形成四个角。使用量角器分别测量这四个角的度数。你会发现，相对的两个角的度数是相同的。
例如，如果一个角的度数是45度，那么与它相对的角也是45度。通过这个测量实验，我们可以直观地观察到对顶角相等的性质。
其次，关于邻补角互补的性质，我们可以使用推理的方法来证明。
邻补角是指两个有公共顶点且共享一条边的角。假设我们有两个邻补角，它们的度数之和为180度。为了证明这一点，我们可以画出两个邻补角，并假设其中一个角的度数为x度。
由于这两个角是邻补角，它们的非公共边形成一条直线，因此这两个角的度数之和必须等于直线的总度数，即180度。所以，另一个角的度数就是180度减去x度。
通过这个逻辑推理，我们可以得出邻补角互补的性质，即两个邻补角的度数之和为180度。
结论1：对顶角相等、邻补角互补的性质。
平行线
展示一组平行线的图片，让学生观察平行线的特点。
师：同学们想一想，图A中的平行线，你们能发现它们的什么特点？
生2：永不相交
生3：它们之间的距离在任何位置都是相同的
平行线的特点是它们在同一平面内，且无论延伸多远都不会相交。这意味着它们之间的距离在任何位置都是相同的。平行线永远不会相交，这是欧几里得几何中的一个基本概念。
介绍平行线的定义和符号表示。
垂直
观察两条直线相交成直角的情况，引出垂直的定义。
垂直的定义是指两条直线相交时，它们之间的夹角为90度。在平面几何中，如果两条直线相交并且形成四个相等的直角，那么这两条直线就是垂直的。通常用一个小方块标记垂直的交点，例如，直线a垂直于直线b，可以表示为a⊥b。
讲解垂直的性质和点到直线的距离。
垂直的性质和点到直线的距离是七年级上册数学中的重要内容。垂直的性质主要涉及两条直线相交时的角度关系，特别是当两条直线互相垂直时，它们相交形成的四个角都是直角，即90度。在平面几何中，垂直的性质有助于解决与角度和图形构造相关的问题。
点到直线的距离是指从平面上某一点到直线的最短距离。这个距离是垂直于该直线的线段的长度。在数学中，计算点到直线的距离通常需要使用到代数方法，比如通过直线的方程和点的坐标来求解。具体来说，如果直线的方程是Ax + By + C = 0，点的坐标是(x , y )，那么点到直线的距离d可以通过以下公式计算：
d = |Ax + By + C| ÷
这个公式是基于直线和点之间垂直距离的定义，以及直线方程的几何意义。
课堂练习
(1)请分别画出图中∠1的对顶角和∠2的邻补角.
想一想
为什么∠1=∠3 ∠2=∠4
课堂小结
概念：
对顶角是两条相交直线形成的两对相对的角，它们相等邻补角是两条直线相交形成的两个相邻的角，它们的和为180度平行线是永不相交的两条直线，它们在同一平面内垂直是指两条直线相交形成90度的角，即两条直线互相垂直。
性质：
对顶角是两条相交直线形成的相对角，它们相等。邻补角是两条相邻的角，它们的和为180度。平行线是永不相交的两条直线，它们在同一平面内，且保持恒定的距离。垂直是两条直线或线段相交形成90度的角。
知识拓展：
欧几里得几何是以古希腊数学家欧几里得命名的几何体系，它主要研究平面和空间中的点、线、面和体的性质。欧几里得几何基于一组公理和公设，通过逻辑推理建立一系列定理和命题。它是最古老和最基础的几何形式，广泛应用于建筑、工程、艺术和日常生活中。欧几里得几何的五条公设包括：
可以从任意一点到任意另一点画一条直线。
任意线段可以无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其为半径，以任意点为中心画一个圆。
所有直角都相等。
若两条直线与第三条直线相交，且在同侧内角之和小于两直角，则这两条直线在该侧内若无限延伸，最终会相交于一点。
基于这些公设，欧几里得几何发展出了丰富的理论，如三角形的内角和定理、相似三角形的性质、圆的性质等。
八、板书设计
3.9 两条直线的位置关系
一）、相交线
对顶角
概念
性质：对顶角相等
邻补角
概念
性质：邻补角互补
二）、平行线
定义
符号表示
三）、垂直
定义
性质
点到直线的距离
九、教学反思
成功之处
通过生活实例导入新课，激发了学生的学习兴趣。
采用直观演示法和启发式教学法，帮助学生理解抽象的几何概念。
讲练结合，及时巩固所学知识，提高了学生的解题能力。
不足之处
部分学生在理解对顶角相等的证明过程中存在困难，需要进一步加强引导。
课堂时间有限，对于一些拓展性问题的讨论不够深入。
改进措施
在教学中注重对学生思维能力的培养，多引导学生进行推理和证明。
合理安排教学时间，适当增加拓展性问题的讨论和探究，满足不同层次学生的需求。
十、课后习题
基础题
填空题：
两条直线相交，有____对对顶角。
若直线 a 与直线 b 垂直，垂足为 O，则∠AOC 与∠BOC 的关系是____。
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 有公共顶点且相等的两个角是对顶角
B. 两条直线相交，有两组对顶角
C. 对顶角的补角相等
D. 相等的两个角是对顶角
解答题：
如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，若∠AOC = 70°，求∠DOE 的度数。
提高题
已知直线 a、b、c 在同一平面内，a∥b，a 与 c 相交于点 P，那么 b 与 c 一定相交吗？为什么？
拓展题
如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥OF，∠BOD = ∠AOC，探索∠COE 与∠AOF 的数量关系。

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