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北京版（2024）七年级数学（上册）
第三章 简单的几何图形
四 两条直线的位置关系
3.10 相交线与平行线
一、教材解说
这节课的内容是初中几何的重要基础知识，是进一步学习几何图形的关键。相交线与平行线的概念和性质为后续学习三角形、四边形等几何图形提供了重要的理论依据和方法支持。
教学内容
相交线：对顶角、邻补角的概念和性质。
垂线：垂线的定义、性质及点到直线的距离。
平行线：平行线的定义、平行公理及其推论、平行线的判定方法和平行线的性质。
二、教学目标
知识与技能目标：
理解相交线、对顶角、邻补角、垂线、平行线的概念；掌握对顶角相等、垂线的性质、平行公理及其推论、平行线的判定方法和平行线的性质；会运用这些知识进行简单的推理和计算。
过程与方法目标：
通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间观念、推理能力和逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：
在学习过程中，培养学生的合作精神和探索精神，提高学生对数学的兴趣和热爱。
三、学情介绍
学生已有知识基础
学生在小学阶段已经接触过一些简单的几何图形，对直线、角等概念有了初步的认识。
在七年级上册的前面章节中，学生学习了有理数、整式等代数知识，为学习几何图形奠定了一定的数学基础。
学生学习能力和特点
七年级学生具有较强的好奇心和求知欲，喜欢动手操作和探索发现。
学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还比较薄弱，需要通过具体的实例和直观的演示来帮助理解。
可能存在的学习困难
对顶角、邻补角的概念容易混淆。
平行线的判定方法和平行线的性质的理解和应用可能存在困难。
几何推理过程的书写不规范。
四、教学重难点
重点
对顶角、邻补角的概念和性质。
垂线的性质。
平行公理及其推论、平行线的判定方法和平行线的性质。
难点
平行线的判定方法和平行线的性质的应用。
几何推理过程的书写。
关键
通过实例引导学生观察、分析、归纳，理解概念和性质。
加强练习，提高学生的应用能力和推理能力。
五、教学法
教法
直观演示法：通过图形的展示、动画演示等方式，让学生直观地理解相交线与平行线的概念和性质。
启发式教学法：提出问题，引导学生思考、探索，培养学生的自主学习能力和创新思维能力。
讲练结合法：讲解知识的同时，进行适当的练习，及时巩固所学知识。
学法
观察法：观察图形，发现问题，提出问题。
探究法：通过自主探究、合作交流等方式，理解概念和性质，掌握解题方法。
练习法：通过做练习题，巩固所学知识，提高应用能力。
六、课前准备
教师准备
制作多媒体课件，包括图形展示、动画演示等。
准备教学用具，如三角板、直尺、量角器等。
设计练习题和作业。
学生准备
预习教材内容。
准备三角板、直尺、量角器等学习用具。
七、教学过程
创设情境，导入新课
通过展示生活中的相交线和平行线的实例，如十字路口、铁轨等，引出课题。
师：同学们，你们说说对相交线和平行线的认识都有什么？
生：栅栏的栏杆是永不相交的直线，像这样的角平行线。
生B:十字路口这样相交集的线叫相交线。
平行线的概念：平行线是两条永不相交的直线，无论它们延伸多远。
在我们的日常生活中，可以看到许多平行线的例子，比如铁轨、书架上的书脊、以及教室里的黑板边缘等。
要判断两条直线是否平行，我们可以使用以下几种方法：
如果两条直线在同一平面内，并且不相交，那么这两条直线是平行的。
如果两条直线被第三条直线（横截线）所截，并且同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么这两条直线是平行的。
在坐标系中，如果两条直线的斜率相同且不重合，那么这两条直线是平行的。
通过这些方法，我们可以确定两条直线是否平行。
理解平行线的概念对于学习几何学是非常重要的基础。
讲解新课
相交线
对顶角和邻补角的概念：通过图形展示，让学生观察两条相交直线所形成的角，引出对顶角和邻补角的概念。
顶角是指两条射线的公共端点处形成的角，这两条射线叫做角的两边。
邻补角是指两个有公共顶点且有一条共同边的两个角。
这两个角的非共同边互为对方的邻边，它们的和为180度。
对顶角和邻补角的性质：通过测量、推理等方法，让学生得出对顶角相等、邻补角互补的性质。
实例一：在一张纸上画一条直线，然后用直尺在直线的任意一点上画一条垂直于这条直线的线段。这条线段与原来的直线相交于一点，并且在这一点处形成90度的角。这条垂直线段就是垂线。
实例二：想象一下，你在操场上画了一条直线作为跑道，然后你站在跑道的中间，面向跑道的另一端。如果你从你站立的位置画一条直线直接指向跑道的另一端，这条直线会与跑道形成一个直角。这条从你站立位置出发并垂直于跑道的直线，就是垂线。
垂线的定义和性质：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。
现在通过两个实验方法探究了垂线的性质。
首先，我们使用了直尺和圆规，选取了已知直线上的一个点，然后用圆规在该点处画了一个圆，圆与已知直线相交于两点。接着，我们用直尺连接这两点，得到的线段就是通过该点与已知直线垂直的线段。通过这个实验，我们观察到，通过一个点，只能作出一条与已知直线垂直的线段。
第二个实验是利用对折纸张的方法。我们取一张纸，画上一条直线，然后将纸对折，使得直线对折后重合。在对折的过程中，我们发现纸张上会形成一个折痕，这个折痕恰好就是通过折点与已知直线垂直的线。通过这个实验，我们同样验证了通过一个点，只能作出一条与已知直线垂直的线。
综合这两个实验，我们可以得出结论：在平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这个性质是垂线的基本性质之一，对于理解几何图形的性质和解决几何问题具有重要意义。
垂线的性质：即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
从直线外一点P，到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
点P到直线AB的距离就是PO的长度
点到直线的距离：通过图形展示，让学生理解点到直线的距离的概念，即从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
平行线
平行线的定义：通过图形展示，让学生观察两条直线在同一平面内的位置关系，引出平行线的概念。
平行公理及其推论
实验：
准备一张纸、一支笔和一个直尺。首先，在纸上画一条直线，并用直尺画出这条直线的垂线。然后，选择一个点，这个点不在已画的直线上。使用直尺和圆规，从这个点出发，画一条与原直线平行的线。观察并记录这个过程中所遵循的规则。
推理方法：
通过观察上述实验，我们可以发现，要画出一条与给定直线平行的线，必须保证这条线与给定直线在任意点的距离都是相同的。这个规则是平行线的基本性质。根据这个性质，我们可以推理出平行公理：如果一条直线与另外两条直线相交，在同一侧内角之和小于两个直角，那么这两条直线如果无限延长，最终会在这一侧相交。这个公理是欧几里得几何中定义平行线的基础。
平行公理及其推论：通过实验、推理等方法，让学生得出平行公理，即经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。然后，让学生通过推理得出平行公理的推论，即如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定方法
平行线的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简单说成:同位角相等，两直线平行
应用格式
∠1=∠2(已知)
(同位角相等，两直线平行)
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简单说成:内错角相等，两直线平行
应用格式
∠3=∠2(已知)
a//b(内错角相等，两直线平行)
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简单说成:同旁内角互补，两直线平行
应用格式
∠1+∠2=180°(已知)
a//b(同旁内角互补，两直线平行)
通过图形展示、实验、推理等方法，让学生掌握平行线的判定方法，即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
平行线的性质：通过图形展示、实验、推理等方法，让学生掌握平行线的性质，即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
线与点之间的关系:
1.当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
2.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。
3.两点之间所有连线中线段最短。
4.直线外一点与这条直线之间的所有连线中，垂直的线最短。
5.过一点能画无数条直线，过两点能画一条直线。
课堂练习
练习题：
画出两条相交线，并标出它们的交点。
如果两条直线相交，它们的对顶角有什么性质？请证明你的结论。
画出两条平行线，并用直尺和三角板证明它们永远不会相交。
如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，这两条直线是否平行？请说明理由。
画出两条平行线，并标出它们之间的距离。
证明：如果两条直线平行，那么它们的同位角相等。
给定两条平行线和一个点，如何使用尺规作图找到这个点到两条平行线的垂线？
解释为什么两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。
画出两条相交线，并标出它们的邻补角。
如果两条直线相交，它们的邻补角之和是多少度？请证明你的结论。
解题方法：
使用直尺画出两条直线，确保它们在某一点相交。
对顶角是相等的，因为它们是两条相交线所形成的相对角。可以通过画图和逻辑推理来证明。
使用直尺画出两条平行线，然后用三角板尝试找到它们的交点，会发现无法找到交点，从而证明它们不相交。
如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，则根据同位角相等判定两直线平行的定理，可以得出这两条直线平行。
使用直尺测量两条平行线之间的距离。
根据平行线的性质，可以使用内错角相等来证明同位角相等。
从给定点出发，使用直尺画一条直线与两条平行线都垂直，然后延长这条直线，使其与两条平行线分别相交，这样就得到了垂线。
内错角相等是因为平行线被第三条直线所截时，内错角是同位角，根据同位角相等判定两直线平行的定理，可以得出内错角相等。
标出两条相交线的交点，然后标出与交点相邻的两个角，这两个角就是邻补角。
相交线形成的邻补角之和是180度，因为邻补角是两个相邻的角，它们的非公共边形成一条直线，所以这两个角的度数之和为直线的度数，即180度。
课堂小结
相交线与平行线是几何学中基本的图形概念，它们在平面几何中占据重要地位。
相交线指的是在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，这个公共点称为交点。
相交线的性质包括：相交线的对顶角相等，邻补角互补等。
平行线则是指在同一平面内，不相交的两条直线。
平行线的性质包括：平行线之间的距离处处相等，平行线被第三条直线所截时，相应的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补等。
判定两条直线是否平行，可以使用以下方法：
如果两条直线被第三条直线所截，并且内错角相等，则这两条直线平行。
如果两条直线被第三条直线所截，并且同位角相等，则这两条直线平行。
如果两条直线被第三条直线所截，并且同旁内角互补，则这两条直线平行。
本课重点和难点归纳：
重点：
相交线的定义：两条直线在同一平面内，有且只有一个公共点，这样的两条直线称为相交线。
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
平行线的性质：如果两条直线被第三条直线所截，则它们的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
平行线的判定方法：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
难点：
理解相交线与平行线的概念，并能够区分它们。
掌握平行线的性质和判定方法，并能在几何图形中正确应用。
解决涉及相交线与平行线的几何问题，如计算角度、证明线段平行等。
理解并运用同位角、内错角、同旁内角的概念，以及它们在判断平行线时的作用。
七、板书设计
3.10 相交线与平行线
①、相交线
对顶角和邻补角
概念
性质
垂线
定义
性质
点到直线的距离
②、平行线
定义
平行公理及其推论
判定方法
性质
八、教学反思
成功之处
通过生活实例导入新课，激发了学生的学习兴趣。
采用直观演示法、启发式教学法等多种教学方法，让学生在观察、思考、探索中理解概念和性质，提高了学生的学习效果。
注重课堂练习和反馈，及时纠正学生的错误，巩固了所学知识。
不足之处
对学生的个体差异关注不够，部分学生在学习过程中可能存在困难。
教学过程中，对学生的思维引导还不够深入，学生的创新思维能力有待提高。
改进措施
关注学生的个体差异，采取分层教学的方法，满足不同层次学生的需求。
加强对学生的思维引导，鼓励学生提出问题、探索问题，培养学生的创新思维能力。
九、课后习题
基础题
填空：
对顶角______。
邻补角______。
过一点有且只有______直线与已知直线垂直。
平行公理是______。
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 有公共顶点的两个角是对顶角
B. 相等的角是对顶角
C. 有公共顶点且相等的角是对顶角
D. 两条直线相交，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
下列说法错误的是（ ）
A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 两直线平行，内错角相等
解答题：
如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，∠AOC=70°，求∠DOE 的度数。
提高题
已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠E=∠F。
拓展题
探究：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？

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