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（沪科版）八年级
上
14.2.5.2全等三角形判定方法的综合运用
全等三角形
第14章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.熟练掌握三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题；
2.通过解决实际问题，理解几何学的应用价值；
3.经历运用判定三个三角形全等的方法的过程，感悟数学思想，激发学生的求知欲，培养良好的逻辑思维能力；
4.学生能够根据题目条件，灵活运用所学知识，设计出合理的解题方案，并准确一完成证明过程，提高运算能力。
到目前为止，我们学过的可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
新知导入
1.三角形全等的定义：能够完全重合的两个三角形全等.
2.全等三角形的判定定理(SAS)：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
3.全等三角形的判定定理(ASA)：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
到目前为止，我们学过的可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
新知导入
4.全等三角形的判定定理（SSS）：
三边分别相等的两个三角形全等.
5.全等三角形的判定定理（AAS）：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
6.两个直角三角形全等的判定方法(HL)：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
例8 已知：如图，AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上的两点，且AE ＝ ＣF． 求证：ＢF ＝ ＤE．
新知讲解
证明: 在 △ＡＢC和 △ＣＤＡ 中，∵
∴ △ＡＢC△ＣＤＡ．（ＳＳＳ）
∴ ∠１ ＝ ∠２．（全等三角形的对应角相等）
任务：全等三角形判定方法的综合应用
例 ８ 已知：如图 ，ＡＢ ＝ ＣＤ，ＢC＝ ＤＡ，E，F是AC上的两点，且AE ＝ ＣF． 求证：ＢF ＝ ＤE．
新知讲解
在 △ＢＣF 与 △ＤＡE 中，∵
∴ △ＢＣF △ＤＡE．（SAS）
∴ ＢF ＝ ＤE．（全等三角形的对应边相等）
全运用两次全等证明边或角相等应注意:
所要证明的边或角所在的两个三角形不能直接证明全等，需要先根据条件证明另外两个三角形全等后，得出条件再证它们全等．
新知讲解
例９ 证明：全等三角形对应边上的高相等．
已知：如图 ，△ＡＢC△Ａ′Ｂ′Ｃ′．AＤ，Ａ′Ｄ′分别是 △ＡＢC和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′ 的高． 求证：ＡＤ ＝A′Ｄ′
新知讲解
证明: △ＡＢC△Ａ′Ｂ′Ｃ′，（已知）
∴AＢ ＝A′Ｂ′，∠Ｂ ＝ ∠Ｂ′．
（全等三角形的对应边相等、对应角相等）
∵AＤ，Ａ′Ｄ′分别是 △ＡＢＣ，△Ａ′Ｂ′Ｃ′的高，
∴ ∠ＡＤＢ ＝ ∠Ａ′Ｄ′Ｂ′ ＝90°．（垂直的定义）
例９ 证明：全等三角形对应边上的高相等．
已知：如图 ，△ＡＢC△Ａ′Ｂ′Ｃ′．AＤ，Ａ′Ｄ′分别是 △ＡＢC和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′ 的高． 求证：ＡＤ ＝A′Ｄ′
新知讲解
在 △ＡＢＤ 与 △Ａ′Ｂ′Ｄ′ 中，∵
∴ △ＡＢＤ △Ａ′Ｂ′Ｄ′．（ＡＡＳ）
∴AＤ ＝A′Ｄ′．（全等三角形的对应边相等）
全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等，周长相等；全等三角形的对应边上的高相等，中线相等；
全等三角形的对应角的角平分线相等.
新知讲解
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，△ADC≌△EDC≌△EDB，则∠B的度数为(　 　)
A.20° B.30°
C.40° D.45°
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图,已知AC与BD相交于点P,AB//CD,点P为BD的中点.CD=7 cm,
AE=3 cm,则BE的长为( )
A.5cm B.4cm C.3cm D.3.5cm
B
课堂练习
3.如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证 BD ＝ CD ，需先证△AEB ≌△AEC，根据是 ；再证△ BDE ≌ ，根据是 .
【知识技能类作业】必做题：
AAS　
△ CDE 　
SAS 　
4．已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.求证：AD=A′D′ .
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB=A′B′，∠ABD=∠A′B′D′；
∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠A′D′B′.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
A
B
C
D
A ′
B ′
C′
D ′
4．已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.求证：AD=A′D′ .
在△ABD和△A′B′D′中，
∠ADB=∠A′D′B′，∠ABD=∠A′B′D′，AB=AB，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)
∴AD=A′D′.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
A
B
C
D
A ′
B ′
C′
D ′
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线.上的点,且DE= DF,连接BF,CE.下列说法:①CE= BF;②△ABD和△ACD的面积相等;
③BF // CE;④△BDF≌△CDE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
6.如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC.
证明：∵ BE⊥AC，CD⊥AB；
∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°；
∵AO平分∠BAC，∴∠1=∠2.
在△AOD和△AOE中,∠ADC=∠AEB，∠1=∠2，OA=AO；
∴△AOD≌△AOE（AAS）；
∴OD=OE.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC.
在△BOD和△COE中,
∠BDO =∠CEO，OD=OE，∠BOD=∠COE；
∴△BOD≌△COE（ASA）,
∴OB=OC.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7.如图，已知△ABC中， D 是 BC上的一点， BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点 E ， CF ⊥AD ，垂足为 F ， G 是 DA 延长线上一点，连接 CG .
（1）若 D 是 BC的中点.
①求证： BE ＝ CF ；
②若 GC＝AB ，求证： DE ＝ GA ；
【综合拓展类作业】
课堂练习
证明：①∵ BE ⊥AD ， CF ⊥AD ，
∴∠ E ＝∠ CFD ＝∠ CFG ＝90°.
∵ D 是 BC的中点，∴ BD ＝ CD .
在△ BDE 和△ CDF 中，
∴△ BDE ≌△ CDF . （AAS ）
∴ BE ＝ CF .
【综合拓展类作业】
课堂练习
证明：②在Rt△ GCF 和Rt△ABE 中，
∴Rt△ GCF ≌Rt△ABE . （ HL ）
∴ GF ＝AE . ∴ GF －AF ＝AE －AF .
∴AG ＝ EF .
∵Rt△ BDE ≌Rt△ CDF ，∴ DE ＝ DF ＝ EF .
∴ DE ＝ AG .
【综合拓展类作业】
课堂练习
（2）若 D 是 BC上的动点，当 D 点沿着 BC从 B 点运动到 C点的过程中， BE ＋ CF 的大小变化情况是 　 　.（填序号）
A.始终不变 B.一直增大
C.先增大后减小 D.先减小后增大
【综合拓展类作业】
课堂练习
C
课堂总结
1.全运用两次全等证明边或角相等应注意:
所要证明的边或角所在的两个三角形不能直接证明全等，需要先根据条件证明另外两个三角形全等后，得出条件再证它们全等．
2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等，周长相等；全等三角形的对应边上的高相等，中线相等；
全等三角形的对应角的角平分线相等.
板书设计
全等三角形的判定方法有：
SAS ，ASA ， SSS ，AAS ， HL .
全等三角形对应边上的高、中线分别对应相等，对应的角的平分线相等.
课题：14.2.5.2全等三角形判定方法的综合运用
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图,在OABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
A.∠A=∠D B. BC= EF
C.∠ACB=∠F D.AC= DF
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．如图，在四边形ACBO中，AC＝BC，∠A＝∠B＝90°，∠1＝35°，则∠BCA的度数为(　 　)
A.145° B.130°
C.110° D.70°
C
3.如图，在Rt△ABC和Rt△ DCB 中，已知∠A ＝∠ D ＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△ DCB ，你添加的条件是 .
AB ＝ DC（答案不唯一）　
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4.如图,△ABC中，AB=AC，点E在BC上，点D在AE上，有下列说法:①若点E为BC中点，则有BD=CD；②若BD=CD，则点E为BC中点；③若AE⊥BC，则有BD=CD；④若BD=CD，则AE⊥BC. 其中正确的有( )
A.①③④ B.②③④
C.①②③ D.①②③④
D
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE.动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动.设点P的运动时间为t s,当△ABP和△DCE全等时,t的值为 .
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
1或7
6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.
【综合拓展类作业】
作业布置
解:相等.理由如下:
在△ABC和△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠DAE＝∠BAE，
6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.
【综合拓展类作业】
作业布置
在△ADE和△ABE中，AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，
∴BE＝DE.
Thanks!
2
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分课时教学设计
《14.2.5.2全等三角形判定方法的综合运用》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 三角形全等是初中数学中重要的学习内容之一，是证明角相等、线段相等的最基本、最常用的方法。学习三角形全等的判定方法，是在学习了三角形全等的概念及性质的基础上进行的，几种判定方法都是通过学生画图、讨论、交流、比较得出的，注重学生实际操作能力，为培养学生参与意识和创新意识提供了机会。本节课是在学生全面掌握三角形全等的几种判定方法后开展的归纳、应用、拓展。
学习者分析 在学习本节课内容之前，学生已经学习了三角形全等的判定方法和一些性质，已经 对命题的证明方法有了一些经历，但是对文字型命题证明的还不是很熟练。
教学目标 1.熟练掌握三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题； 2.通过解决实际问题，理解几何学的应用价值； 3.经历运用判定三个三角形全等的方法的过程，感悟数学思想，激发学生的求知欲，培养良好的逻辑思维能力； 4.学生能够根据题目条件，灵活运用所学知识，设计出合理的解题方案，并准确一完成证明过程，提高运算能力。
教学重点 理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题.
教学难点 经历探索三角形全等的几种判定方法的过程，能进行合情推理.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 到目前为止，我们学过的可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？ 1.三角形全等的定义：能够完全重合的两个三角形全等. 2.全等三角形的判定定理(SAS)： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 3.全等三角形的判定定理(ASA)： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 4.全等三角形的判定定理（SSS）： 三边分别相等的两个三角形全等. 5.全等三角形的判定定理（AAS）： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． 6.两个直角三角形全等的判定方法(HL)： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学生活动1： 学生回忆思考，并积极回答.活动意图说明： 通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，在回忆旧知识的同时，自然切入本节课所要学习的内容.环节二：全等三角形判定方法的综合应用教师活动2： 例8 已知：如图，AB＝ CD，BC ＝ DA，E，F是 AC 上的两点，且 AE ＝ CF． 求证：BF ＝ DE． 证明: 在 △ABC 和 △CDA 中， ∵ ∴ △ABC △CDA．（SSS） ∴ ∠1＝ ∠2．（全等三角形的对应角相等） 在 △BCF 与 △DAE 中， ∵ ∴ △BCF △DAE．（SAS） ∴ BF ＝ DE．（全等三角形的对应边相等） 运用两次全等证明边或角相等应注意: 所要证明的边或角所在的两个三角形不能直接证明全等，需要先根据条件证明另外两个三角形全等后，得出条件再证它们全等． 例9 证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图 ，△ABC △A′B′C′． AD，A′D′分别是 △ABC 和 △A′B′C′ 的高． 求证：AD ＝ A′D′ 证明: △ABC △A′B′C′，（已知） ∴ AB＝ A′B′，∠B＝ ∠B′． （全等三角形的对应边相等、对应角相等） ∵ AD，A′D′分别是 △ABC，△A′B′C′的高， ∴ ∠ADB＝ ∠A′D′B′ ＝90°． （垂直的定义） 在 △ABD 与 △A′B′D′ 中， ∵ ∴ △ABD △A′B′D′．（AAS） ∴ AD ＝ A′D′．（全等三角形的对应边相等） 全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等，周长相等； 全等三角形的对应边上的高相等，中线相等； 全等三角形的对应角的角平分线相等. 学生活动2： 学生小组合作完成例题. 学生通过例题总结运用两次全等证明边或角等应注意的问题。 学生通过例题得到全等三角形对应边上的高相等。 活动意图说明： 通过例题检验学生对全等三角形判定定理的综合运用能力，会根据条件应用合适的判定定理解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
板书设计 课题：14.2.5.2全等三角形判定方法的综合运用 全等三角形的判定方法有： SAS ， ASA ， SSS ， AAS ， HL . 全等三角形对应边上的高、中线分别对应相等，对应的角的平分线相等.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ADC≌△EDC≌△EDB，则∠B的度数为(　B　) A.20° B.30° C.40° D.45° 2.如图,已知AC与BD相交于点P,AB//CD,点P为BD的中点.CD=7 cm,AE=3 cm,则BE的长为( B ) A.5cm B.4cm C.3cm D.3.5cm 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证 BD ＝ CD ，需先证△ AEB ≌△ AEC，根据是 ASA ；再证△ BDE ≌ △ CDE ，根据是 SAS . 4.已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.求证：AD=A′D′ . 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB=A′B′，∠ABD=∠A′B′D′； ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB=∠A′D′B′. 在△ABD和△A′B′D′中， ∠ADB=∠A′D′B′，∠ABD=∠A′B′D′，AB=AB， ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS) ∴AD=A′D′. 选做题： 5.如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线.上的点,且DE= DF,连接BF,CE.下列说法:①CE= BF;②△ABD和△ACD的面积相等;③BF // CE;④△BDF≌△CDE.其中正确的有( D ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC. 证明：∵ BE⊥AC，CD⊥AB； ∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°； ∵AO平分∠BAC，∴∠1=∠2. 在△AOD和△AOE中,∠ADC=∠AEB，∠1=∠2，OA=AO； ∴△AOD≌△AOE（AAS）； ∴OD=OE. 在△BOD和△COE中, ∠BDO =∠CEO，OD=OE，∠BOD=∠COE； ∴△BOD≌△COE（ASA）, ∴OB=OC. 【综合拓展类作业】 7.如图，已知△ ABC 中， D 是 BC 上的一点， BE ⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 E ， CF ⊥ AD ，垂足为 F ， G 是 DA 延长线上一点，连接 CG . （1）若 D 是 BC 的中点. ①求证： BE ＝ CF ；②若 GC ＝ AB ，求证： DE ＝GA ； （2）若 D 是 BC 上的动点，当 D 点沿着 BC 从 B 点运动到 C 点的过程中， BE ＋ CF 的大小变化情况是 　 C 　.（填序号） A.始终不变 B.一直增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 证明：①∵ BE ⊥ AD ， CF ⊥ AD ， ∴∠ E ＝∠ CFD ＝∠ CFG ＝90°. ∵ D 是 BC 的中点，∴ BD ＝ CD . 在△ BDE 和△ CDF 中， ∴△ BDE ≌△ CDF . （ AAS ） ∴ BE ＝ CF . ②在Rt△ GCF 和Rt△ ABE 中， ∴Rt△ GCF ≌Rt△ ABE . （ HL ） ∴ GF ＝ AE . ∴ GF － AF ＝ AE － AF . ∴ AG ＝ EF . ∵Rt△ BDE ≌Rt△ CDF ，∴ DE ＝ DF ＝ 1/2 EF . ∴ DE ＝ AG .
课堂总结 1.全运用两次全等证明边或角相等应注意: 所要证明的边或角所在的两个三角形不能直接证明全等，需要先根据条件证明另外两个三角形全等后，得出条件再证它们全等． 2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等，周长相等；全等三角形的对应边上的高相等，中线相等； 全等三角形的对应角的角平分线相等.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( D ) A.∠A=∠D B. BC= EF C.∠ACB=∠F D. AC= DF 2.如图，在四边形ACBO中，AC＝BC，∠A＝∠B＝90°，∠1＝35°，则∠BCA的度数为(　 C 　) A.145° B.130° C.110° D.70° 3.如图，在Rt△ ABC 和Rt△ DCB 中，已知∠ A ＝∠ D ＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ ABC ≌Rt△ DCB ，你添加的条件是 AB ＝ DC（答案不唯一）　 . 选做题： 4．如图,△ABC中，AB=AC，点E在BC上，点D在AE上，有下列说法:①若点E为BC中点，则有BD=CD；②若BD=CD，则点E为BC中点；③若AE⊥BC，则有BD=CD；④若BD=CD，则AE⊥BC. 其中正确的有( D ) A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 5．如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE.动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动.设点P的运动时间为t s,当△ABP和△DCE全等时,t的值为 1或7 . 【综合拓展类作业】 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由. 解:相等.理由如下: 在△ABC和△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠DAE＝∠BAE， 在△ADE和△ABE中，AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE(SAS)， ∴BE＝DE.
教学反思 本节课学习了全等三角形判定方法的灵活运用，让学生积极主动地去练习，学会分析已知什么，要证明什么，还需要什么条件，同时还要善于从图形中发现隐含的条件：公共边、公共角、对顶角、邻补角等．
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