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4.4 数学归纳法
问题导入
在数列的学习过程中,我们已经用归纳的方法得出了一些结论,例如等差数列{an}的通项公式an = a1 +(n-1)d等,但并没有给出严格的数学证明.那么,对于这类与正整数n有关的命题,我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢 本节我们就来介绍一种重要的证明方法—数学归纳法.
情景探究
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下.
合作探究
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
思考2：你认为条件(2)的作用是什么？如何用数学语言描述它？
条件(2)实际上是给出了一个递推关系.
数学语言：
第k块骨牌倒下

结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)出来，那么所有的骨牌都能倒下.
合作探究








=1.


解惑提高
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
1.数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”．
n＝k＋1
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1
不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
解惑提高
2．数学归纳法的框图表示
小试牛刀

×
√
×
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ ，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　)
A．1　　　　　　　 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C
典型例题

典型例题






目 标





归纳假设


那么12+22+32+ … + (k+1)2

（2）假设当n=k时，等式成立，即
证明：

12+22+32+ … + k2=
k(k+1)(2k+1)
6
k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)2
6
=
(k+1)(2k2+7k+6)
6
=
k(k+1)(2k+1)
6
+ (k+1)2
(k+1)(k+2) (2k+3)
6
=
(k+1)[(k+1)+1][2 (k+1)+1]
6
=
所以当n=k+1时，等式也成立.
据（1）和（2）知当n∈N* 时等式成立.
目 标
(k+1)[(k+1)+1][2 (k+1)+1]
6
=
那么12+22+32+ … + (k+1)2
那么12+22+32+ … + k2 + (k+1)2 =
典型例题
典型例题










典型例题







目 标




典型例题

典型例题













“归纳—猜想—证明”的一般环节
解惑提高
课堂小结
用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：
（1）证明当取第一个值n0（例如n0=1或2）时结论正确；
（2）假设当n=k(k∈N*,且k≥ n0 )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
据（1）和（2）可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
使用前提
基础性
结 论
传递性
正整数
（1）证明当取第一个值n0（例如n0=1或2）时结论正确；
（2）假设当n=k(k∈N*,且k≥ n0 )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
据（1）和（2）可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

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