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5.3圆的面积（讲义）
（知识梳理+专项练习）
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽
　所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
　即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
　圆的面积公式：S圆 =πr
4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。
S环 = πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　
10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r。
11、外圆内方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径，公式S=S圆-S正=S圆-dr或S=1.14r
一、选择题
1．一个圆的直径增加2倍后，面积是原来的（　　）。
A．9倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍
2．如图，正方形的周长是8cm，圆的面积是（ ）。
A．π B．π C．2π D．4π
3．下图中圆的面积是28.26平方厘米，平行四边形的面积是（ ），三角形的面积是（ ）。
A．12平方厘米，24平方厘米
B．12平方厘米，21平方厘米
C．24平方厘米，21平方厘米
二、填空题
4．一个时钟的分针长5厘米，时针走了1大格时，分针的尖端所走过的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。
5．圆的半径3厘米，它的周长( )厘米，面积( )。
6．将一个直径是8cm的圆分成若干等份剪开，再拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是( )dm，宽是( )dm，面积是( )dm2。
7．小圆的半径是2厘米，大圆的直径是6厘米，小圆和大圆的半径比是( )，周长比是( )，面积比是( )。
三、判断题
8．两个圆的半径比为3∶4，它们的周长比、面积比也为3∶4。( )
9．半径是4厘米的圆，它的面积比周长大．　 　( )
10．直径越长，那么这个圆也就越大。( )
11．若一个圆的直径和一个正方形的边长相等，则圆的面积大。( )
四、计算题
12．计算下面图形中涂色部分的面积。（单位：cm）

五、解答题
13．如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？
14．如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米．那么长方形（阴影部分的面积）是多少平方厘米？
15．下图是一块边长为4米的正方形草地，在草地的两个角A，B上分别拴着一只羊，羊能吃到草的最远距离正好是4米．
（1）想象两只羊都能吃到的草的范围，在下图中画出来．
（2）计算两只羊都能吃到的草地面积．
16．一个圆形花坛的周长是37.68米，其中种花卉的面积占花坛的，种花卉的面积有多少平方米？
17．下图中圆的面积与长方形的面积相等，圆的周长是，求阴影部分的面积。
18．学校操场如图所示。
（1）该操场的周长是多少米？
（2）操场的占地面积是多少平方米？
19．光明小学修建一个圆形花坛，周长是25.12米，在花坛的周围修了一条宽1米的环形小路。这条路的面积是多少平方米？
20．一个羊圈依墙而建，成半圆形，直径是8米。
（1）修这个羊圈需要多长的栅栏？
（2）如果要扩建这个羊圈，把它的直径增加2米。那么这个羊圈的面积增加了多少平方米？
/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【详解】圆的直径增加2倍，也就是圆的直径扩大3倍，圆的半径也扩大3倍，圆的面积就扩大3×3＝9倍。
面积是原来的9倍。
故答案为：A
2．B
【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，据此可知，圆的直径为8÷4＝2厘米，再根据“s＝πr ”求出圆的面积即可。
【详解】π×（8÷4÷2）
＝π×1
＝π（平方厘米）；
故答案为：B。
【点睛】明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等是解答本题的关键。
3．C
【分析】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，圆的面积＝π
由图可知三角形和平行四边形的底，利用圆的面积求出圆的直径就是三角形和平行四边形的高，再求出他们的面积即可。
【详解】28.26÷3.14＝9，9就是圆半径的平方，所以圆的半径是3cm，直径＝2×3＝6cm
即三角形的高和平行四边形的高为6cm。
平行四边形的面积＝4×6＝24平方厘米
三角形的面积＝7×6÷2＝21平方厘米
故答案为C
【点睛】此题考查三角形平行四边形以及圆的面积公式，关键在于能够发现他们之间的关系，三角形平行四边形的高是圆的直径。
4． 31.4 78.5
【分析】时针走了1大格，刚好是1个小时，分针刚好扫过一圈，即分针的尖端所走过的路程是以分针长5厘米为半径的圆的周长，利用圆的周长公式求解；分针扫过的面积是一个整圆的面积，利用S＝πr2计算即可。
【详解】2×3.14×5＝31.4（厘米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
即分针的尖端所走过的路程是31.4厘米，分针扫过的面积是78.5平方厘米。
【点睛】掌握圆的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。
5． 18.84 28.26
【分析】根据直径公式d＝2r，周长公式C＝2πr，面积公式S＝πr ，即可求出圆的直径、周长与面积。
【详解】πd
＝3.14×3×2
＝3.14×6
＝18.84（厘米）
πr
＝3.14×3
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
【点睛】本题主要利用圆的直径公式d＝2r、周长公式C＝2πr与面积公式S＝πr 解决问题。
6． 12.56 4 50.24
【分析】将圆分成若干等份剪开，再拼成一个近似的长方形，长方形的长＝圆周长的一半，长方形的宽＝圆的半径，长方形的面积＝圆的面积，直接用圆周长的一半×半径即可，据此分析。
【详解】3.14×8÷2＝12.56（分米）
8÷2＝4（分米）
12.56×4＝50.24（平方分米）
【点睛】关键是熟悉圆的面积公式推导过程。
7．
【分析】在同圆或者等圆当中，直径是半径的2倍，所以大圆的半径＝6÷2；周长比等于半径之比；面积比是半径比的平方。
【详解】大圆半径＝6÷2＝3（cm）；所以小圆和大圆的半径之比是2∶3；周长之比是2∶3；面积之比是4∶9。
【点睛】此题考查半径与周长及面积的变化规律，掌握最基本的公式是解决问题的前提条件，多总结规律。
8．×
【分析】由题意可知，其中一个圆的半径是3，另一个圆的半径是4，然后根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，进而求出它们的周长比和面积比。据此判断即可。
【详解】假设一个圆的半径是3，另一个圆的半径是4
（2×3×π）∶（2×4×π）
＝6π∶8π
＝（6π÷2π）∶（8π÷2π）
＝3∶4
32π∶42π
＝9π∶16π
＝（9π÷π）∶（16π÷π）
＝9∶16
则它们的周长比是3∶4，面积比是9∶16。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查比的意义，结合圆的周长和面积公式是解题的关键。
9．×
【详解】面积与周长的定义不同：圆的表面或围成的圆形表面的大小，叫做圆的面积；
围成圆的一周的长度叫做这个圆的周长；
所采用的计量单位也不同；
此题中，周长的单位是厘米，面积的单位是平方厘米，计量单位不能统一，所以没法比较它们的大小．
所以原题说法错误．
故答案为×．
10．√
【分析】半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做圆的半径。
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。同圆或等圆中，直径是半径的2倍。
圆的面积：圆面的大小，叫做圆面积。圆面积等于半径的平方乘π，即S＝πr2。
【详解】由分析得：
一个圆直径越长，意味着半径也越长，则圆的面积也越大。
故答案为：√。
【点睛】学习图形重在感受和体验，所以可以试着画一画，看看是不是直径也能决定圆的大小。
11．×
【分析】令圆的直径为2，据此分别计算出圆和正方形的面积，再判断哪个图形的面积大。
【详解】正方形：2×2＝4
圆：3.14×（2÷2）2＝3.14
所以，若一个圆的直径和一个正方形的边长相等，则正方形的面积大，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查了圆和正方形的面积，灵活运用圆和正方形的面积公式是解题的关键。
12．25cm2；26.32cm2
【分析】（1）分析图形可知，涂色部分面积为一个上底为2cm、下底为7 cm、高为10 cm的梯形面积，减去一个底为5 cm、高为8 cm的三角形面积，由此列示可计算；
（2）分析图形可知，涂色部分的面积等于一个边长为（4×2）cm的正方形面积减去中间圆环的面积；圆环的面积等于半径为4 cm的大圆面积减半径为2 cm的小圆面积，由圆的面积公式S＝πr2，可以推出圆环的面积为π（r大圆2－r小圆2），由此列示可计算。
【详解】（1）（2＋7）×10÷2－5×8÷2
＝9×10÷2－40÷2
＝90÷2－20
＝45－20
＝25（cm2）
（2）
（cm2）
13．100.48平方厘米
【详解】解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）
π-π()=100.48平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）
14．5
【详解】试题分析：根据圆的面积公式S=πr2，可分别求出半圆S1与圆S2的半径、直径；长方形阴影的长等于圆S2的直径，宽等于半圆S1的直径减去圆S2的直径，再利用长方形的面积公式进行计算即可．
解：半圆S1的半径的平方：
14.13×2÷3.14=9（平方厘米），
半径=3厘米，
直径=6厘米；
圆S2的半径的平方：
19.625÷3.14=6.25（平方厘米），
半径=2.5厘米，
直径=5厘米；
阴影部分面积：（6﹣5）×5=5（平方厘米）．
答：长方形的面积是5平方厘米．
点评：此题主要考查的是圆的面积公式和长方形的面积公式的应用．
15．，9.12平方米
【详解】试题分析：（1）根据题意知：两只羊吃到草的范围是分别以A、B为圆心的四分之一圆．据此画图．
（2）两只羊都吃到草的面积是两个四分之一圆的和减去正方形的面积．据此解答．
解：（1）画图如下：
（2）3.14×42÷4×2﹣4×4，
=3.14×16÷4×2﹣16，
=25.12﹣16，
=9.12（平方米）．
答：两只羊都能吃到的草地面积是9.12平方米．
点评：在求不规则图形的面积时，一般要把它转化成求几个规则图形的面积相加或相减的方法，来进行计算．
16．84.78平方米
【详解】试题分析：先根据圆的周长公式，即C=2πr求出圆形花坛的半径，再根据圆的面积公式S=πr×r求出花坛的总面积，进而用花坛的总面积乘即得种花卉的面积．
解：花坛的半径：37.68÷（2×3.14）
=37.68÷6.28
=6（米）
花坛的面积：3.14×62
=3.14×36
=113.04（平方米）
种花卉的面积：113.04×=84.78（平方米）
答：种花卉面积是84.78平方米．
【点评】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法．
17．
【分析】由圆的面积与长方形的面积相等可知，阴影部分的面积圆的面积＝圆的面积，那么阴影部分的面积圆的面积。根据圆的周长为可求出圆的半径为，由圆的半径可求出圆的面积为。所以阴影部分的面积，由此解答即可。
【详解】
＝8÷2
＝4（分米）；
＝50.24×
＝37.68（平方分米）；
答：阴影部分的面积是。
【点睛】明确“阴影部分的面积圆的面积。”是解答本题的关键。
18．（1）388.4米
（2）8826平方米
【分析】（1）操场周长＝圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式解答；
（2）操场的占地面积＝圆的面积＋长方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，长方形面积＝长×宽，据此列式解答。
【详解】（1）3.14×60＋100×2
＝188.4＋200
＝388.4（米）
答：该操场的周长是388.4米。
（2）3.14×（60÷2）2＋100×60
＝3.14×302＋6000
＝3.14×900＋6000
＝2826＋6000
＝8826（平方米）
答：操场的占地面积是8826平方米。
19．28.26平方米
【分析】根据圆的周长＝2πr，则r＝周长÷π÷2，求出花坛的半径；根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入求解即可。
【详解】25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（米）
4＋1＝5（米）
3.14×（52－42）
＝3.14×（25－16）
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：这条路的面积是28.26平方米。
20．（1）12.56米；（2）14.13平方米
【分析】第一题求半圆的周长，但是不包含直径；第二题求出原来半圆的面积和增加后的半圆面积进行比较即可。
【详解】（1）
答：修这个羊圈需要12.56米的栅栏。
（2）
3.14×（10÷2）2÷2－3.14×（8÷2）2÷2
＝39.25－25.12
＝14.13（平方厘米）
答：这个羊圈面积增加了14.13平方米。
【点睛】本题考查半圆的周长与半圆面积。但此处注意半圆周长只需要算半圆弧的长度，不需要加上直径。
答案第1页，共2页
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