资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 六年级 学期 秋季
课题 数与形
教学内容
人教版小学数学教材六年级上册第105～106页例1、例2及相关练习。
教材分析
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。本课教学主要突出探索规律，应用规律，在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。 本课教学共包含两个基本例题。例1等差数列之和与正方形数的关系，主要通过让学生寻找图形中包含的数的规律，建立数与形的对应关系。例2利用图形直观、形象的特点，化数为形达到以简驭繁的目的。让学生计算等比数列++++++...的得数，学生在计算的过程中发现加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；发现和也有规律，即每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1。在发现规律的基础上，学生借助分数意义的圆形模型或线段模型，直观地看到加数的和最终是1的结果。通过推理，把规律应用于一般的情形解决问题，学生在“无穷无尽”的类推中体会数形结合、推理和极限的思想。
学情分析
学生在数学的学习过程中，数形结合的学习内容穿插在一至六年级的教材当中，如线段图、统计图、方格图、面积模型等较为常见，学生在数形的相互转化中，利用“数”来解决“形”的问题或利用“形”来解决“数”的问题，积累了一定的数学经验，但是小学生的思维抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。学生需要利用数形结合使得复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得更直观的解决问题的意识增强。本节课基于此展开教学，力求让学生在自主探究中发现图形中隐藏的数学规律。
教学目标
会观察。在学习过程中引导学生探索、研究、发现数与形之间的联系，寻找规律，发现规律。 会表达。会用数学语言、算式表达发现的规律；让学生经历猜想与验证的过程，体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。 3.会应用。学会利用图形来解决一些有关数的问题。学生通过解决问题体会到数与形的完美结合，感受数学的魅力，培养学习数学的积极情感。
教学重难点
教学重点： 1. 探索数与形之间的联系，寻找规律，能用数字获算式表达图形中隐藏的规律。 2. 并利用图形来解决从1开始的奇数数列求和，等比数列求和的问题。 教学难点： 体会和感悟数学的极限思想。
教学准备
教师准备：PPT课件 学生准备：小正方形、圆、练习纸、直尺、彩笔
教学过程
一、开门见山，直揭课题 课件出示“嗨，数学！”同学们，数学已经陪伴了我们六年时间，到底什么是数学呢？数学就研究数量关系与空间形式的科学。也就是数与形。（板书课题） 今天我们就用数与形的结合来解决一些实际问题。 二、体会形中有数，数形相关。 1.创设现实情境提出问题。 视频出示：位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，有一处中国现存的大型古塔群，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，形成总体平面呈三角形的巨大塔群。 提出问题：如何巧妙计算出十二行佛塔的总数？ 预设1：连加得到108。 师引导：先观察1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19这一列数，有特点吗？ 总结:去掉一个3和一个5，就是从1开始连续相加的奇数。 预设2：凑整后是5个20，再+3+5=108 2.建立数与形的关系 （1）用小正方形摆1+3，在多种摆法中选择以正方形→大正方形的方法。 （2）利用经验继续拼摆1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9，明确摆成“直角形”会形成一个新的大正方形。 （3）寻找规律，从1开始的奇数相加，有几个奇数，就是几的平方，可以利用n 来计算结果。 （4）利用规律，解决佛塔的问题。1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10 =100,100+3+5=108（座）这个佛塔群就是宁夏著名景点“一百零八塔”。 师总结：回顾我们刚才研究这个问题的过程，看到数列，想象到图形的样子，数中有形，形中有数，数形之间有着密切的关系。著名科学家、数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。数与形是一对互助友爱的好兄弟，数形结合的例子在小学数学教学中比比皆是，我们接着来研究。 【设计意图：通过例1的学习，利用图形直观形象的特点表示出数的规律，理解“正方形数”或“平方数”的特点的学习过程，为本节课的学习提供经验和方法。】 三、体会以形助数，数形互助 1.用分数表示下图中涂色部分。 2.出示例2算式：+++=？ （1）观察这个算式，它有什么特点？ 预设生：分子都是1，分母依次×2，也就是每个分数都是前一个分数的。 （2）计算得数。 （3）思考：如果按照这个规律一直加下去结果是多少呢？ 3.出示：++++++...= 理解省略号的意思 预设生：省略号表示加数有无数个，要一直加下去。 4.探究怎样算？ （1）学生利用课前任务单，快速计算结果。 （2）观察这些算式的得数，你有什么发现？ 预设1：得数的分子与分母相差1，按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就得到最终答案。 从图上观察，加到几分之一，就用1减去空白部分。 验证算法 【设计意图：让学生通过自主的计算、观察、推理，利用图形结合找到等比数列求和的简洁方法，发展推理能力，初步体验数学的极限思想。】 5.探究和是几。 （1）猜想++++++...=的和是几？ （2）通过分母越来越大的算式让学生感受和越来越接近1。 （3）选择一个你喜欢的图形（正方形、圆、线段），通过折一折、涂一涂、标一标的方法，按照算式的要求一直加下去，看看能不能找到和是多少，验证你的想法。 学生操作，交流汇报。 预设两种结果：①结果是1，②结果接近1. 预设1：用圆形纸片进行验证。将整个圆看作单位“1”，圆+圆+圆+圆+圆+圆......一直加下去，就是整个圆了，也就是“1”。 预设2：用线段来验证的。将整条线段看做单位“1”， 条线段+条线段+条线段+条线段+条线段+条线段......一直加下去，涂色部分越来越多，空白部分越来越少，越来越接近1。 【设计意图：让学生借助图形的直观来理解算式中加数与和的变化规律，进而验证算式结果越来越接近1的事实，更深感悟数学的极限思想。】 （3）反向推理，以数解形。 教师演示。 当将1进行分解，当算式与前面研究的算式重合时，使学生反向理解结果是1的结论。 【设计意图：教师通过反向推理，以数解形的方法，用数形互助来感悟“反推法”的严谨科学，让学生能够接受和为1的数学真相，体验“无限逼近”的数学极限思想。利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。】 四、实践应用 1.用所学的知识解决下列问题。 （1）1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1= （2） 2.将正方体按如图所示的方式摆放在桌面上，8个正方体按这种方式摆， 有 个面露在外面。n个正方体呢？ 【设计意图：通过两个不同的练习，巩固新知，使学生对新知识掌握得更扎实、更灵活，让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点，提高学生利用数形结合的思想方法来解决实际问题的意识和能力】 五、回顾总结 数形结合的例子在小学数学学习的过程中随处可见，例如： 通过数与形的转化，数形结合，帮助我们直观理解数量关系等。课后同学们可以利用今天所学，来解决实际问题。 【设计意图：回顾学习的整个过程，回顾数形结合的应用实践，积累丰富的数学学习活动经验，明白数学是一门研究数和形的科学。】 六、作业布置： 基础必做 （1）下面每个三角形图各是由多少个小三角形组成的？如果小正方形的边长为1，每个三角形图的周长分别是多少？每个三角形图包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有什么样的关系？ （1）小林、小强、小丽、小兵和小刚5 人进行象棋 比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小丽下了2 盘，小兵下了1 盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？ 拓展选作：你能利用右面的图发现（a+b） =a +2ab+b 这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 3.知识链接 请同学们搜索阅读有关“杨辉三角”“完美数”“形数”“勾股数”“冰雹数”“黑洞数”等相关知识，探索自然数这个令人吃惊的奇妙世界，感受数形结合的独特魅力。 【设计意图：通过基础必做、拓展选作、知识链接三个不同层次的作业，让学生在达成学习目标的同时，感受数形结合在解决实际问题中的应用，感受数学文化的独特魅力和神奇特点。】 七、板书设计:

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