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6　二元一次方程与一次函数
课题 6　二元一次方程与一次函数 授课人
教 学 目 标 1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系. 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3.在经历同一数学问题可用不同的数学方法解决的过程中,培养学生的创新意识和变式能力. 4.通过学生的思考和操作,提示出方程与函数之间的关系,引入二元一次方程组的图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 5.通过学生的自主探索,引出方程和函数之间的对应关系,加强了新旧知识之间的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.
教学 重点 　　掌握二元一次方程(组)和一次函数的关系.
教学 难点 　　1.探索二元一次方程与一次函数的关系的过程. 　　2.数形结合和转化的思想意识.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 x+y=5是什么 图5-6-7 先让学生进行讨论:为什么会出现争议 再提问学生口答原因,比如:方程x+y=5可以转化为y=5-x,所以它既是二元一次方程又是一次函数. 任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. 　　通过设置问题情景,让学生感受二元一次方程x+y=5和一次函数y=-x+5可以相互转化,启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系,顺理成章地引出本节内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二元一次方程与一次函数的关系 (1)方程x+y=5的解有多少个 写出其中的几个. (2)在直角坐标系中描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上吗 (3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗 (4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗 (5)方程x+y=5与函数y=5-x有何关系 图5-6-8 归纳总结:二元一次方程和一次函数图象的关系: (1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上; (2)一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 【探究2】 二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象之间的关系 二元一次方程2x-y=1与前面研究的x+y=5结合起来看: 问题1:两方程的公共解是什么 如何求解得到其公共解呢 图5-6-9 问题2:两方程对应的一次函数y=-x+5与y=2x-1的图象有何位置关系 为什么 问题3:已画出了一次函数y=-x+5的图象,请在同一直角坐标系内画出一次函数y=2x-1的图象,并验证上一问题结论的正误. 问题4:观察并总结方程组的解与对应的两个一次函数的图象的交点坐标有何关系. 　　通过设置问题情景,让学生感受二元一次方程和一次函数的相互转化,启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.以“问题串”的形式,启发引导学生探索知识的形成过程,培养了学生转化的思想意识. 通过自主探索,使学生初步体会“数”(二元一次方程组)与“形”(两条直线)之间的对应关系,为求两条直线的交点坐标打下基础;由学生自主学习,十分自然地建立了数形结合的模型,学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理,反之,“形”的问题可以转化成“数”来处理,培养了学生的创新意识和变式能力.
活动 二: 探究 与 应用 问题5:对于方程组目前你都有哪些方法求其解 归纳总结:每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线. 想一想:在同一直角坐标系内,一次函数y=x+1和y=x-2的图象(图5-6-10)有怎样的位置关系 方程组的解的情况如何 你发现了什么 图5-6-10 归纳总结:方程组的解的个数与对应的一次函数图象的交点个数之间的关系: 二元一次方程组无解 对应的两个一次函数图象平行(无交点); 二元一次方程组有一组解 对应的两个一次函数图象相交(有一个交点); 二元一次方程组有无数组解 对应的两个一次函数图象重合(有无数个交点). 　　让学生体会一次函数和对应方程之间的关系.发现:一次函数的图象平行,对应的二元一次方程组无解;一次函数的图象相交,对应的二元一次方程组有一组解;一次函数的图象重合,对应的二元一次方程组有无数组解.
【应用举例】 1.若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是l,则下列各点不在直线l上的是 (　　) A.(1,1) 　　B.(-1,1) C.(-3,-5) 　D.(0.4,0.1) 2.一次函数y=5-x与y=2x-1的图象的交点坐标为(2,3),则方程组的解为　　　　. 3.若二元一次方程组的解为则函数y=x+1与y=2x-2的图象的交点坐标为　　　　. 4.已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A(-2,0),且分别与y轴交于点B,C,求S△ABC. 5.一次函数y=2-2x与y=5-2x的图象的位置关系是　　　　,因此,方程组的解为　　　　. 　　灵活解题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
【拓展提升】 1.若一次函数y=-x+a和y=x+b的图象交点坐标为(m,8),则a+b=　　　　. 2.已知直线5x+by=1,2x+y=5,ax+5y=4,2x-3y=1相交于一点,则a=　　　,b=　　　. 3.函数y=x+1与y=x-2的图象交点为P,它们与x轴的交点分别为A,B,求△APB的面积. 4.如图5-6-11,两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解 图5-6-11 　　知识的综合与拓展,提高应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.二元一次方程2x+y=4有　　　　个解,以它的解为坐标的点都在　　　　的图象上. 2.方程组的解为　　　　,所以一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为　　　　. 3.求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和x轴所围成的三角形面积. 4.若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的图象的交点,求a的值. 　　针对本节课的学习内容,设计此练习,检测学生本堂课内容的掌握情况.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过一个简单的二元一次方程转化成一次函数,使学生体会二者之间的关系,明确它们之间可以互化,为探究二元一次方程(组)与一次函数的关系做好铺垫. ②[讲授效果反思] 本节课在学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图象的基本知识的基础上,通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法,进一步揭示了二元一次方程和一次函数之间的对应关系,从而引出了二元一次方程组的图象解法,以及应用代数方法解决有关图象问题,培养了学生数形结合的意识和能力,充分展示了方程与函数的相互转化. ③[师生互动反思] 在教学活动中,通过学生小组探究、归纳,得出结论,较好地体现了新的课程理念与要求,充分让学生自主探究,合作交流,时刻注重学生学习过程的体验与评价. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.

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