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第五章 一元一次方程
5.1.2 等式的性质
1.理解并掌握等式的性质。
2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程。
2 ．使方程左、右两边的值________的未知数的值，叫作方程的解，求方程的______的过程，叫作解方程。
　　1．含有___________的________叫做方程．
未知数
等式
解
相等
3．下列方程中，以 x＝－2 为解的是（　　）
A．3x－2＝2x 　　　　　　 B．4x－1＝3
C．2x＋1＝x－1　　　　　　　D．x－4＝0
C
像2x＝3，x＋1＝3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是对于比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的．因此，还要研究怎样解方程．
方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质．
像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2，3x＋1＝5y这样的式子， 都是等式．
我们可以用a＝b表示一般的等式．
等式的两个基本事实
等式两边可以交换．如果a＝b，那么b＝a．
相等关系可以传递．如果a＝b，b＝x，那么a＝c ．
思考：在小学，我们已经知道：等式两边同时加 （或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为０的正数，结果仍相等．引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试．
3＋2＝5
3+2 +( 4) ＝5 +( 4)
3+2 ( 6) ＝5 ( 6)
(3+2) ×( 3)＝5 ×( 3)
(3+2) ÷( 5)＝5 ÷( 5)
一般地，等式有以下性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数 （或式子），结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
如果a＝b，那么a±c＝b±c
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b，c≠0，那么
　　等式的性质抓“两同”
（1）同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算．
（2）同一个数（或式子）：等式两边加或减的必须是同一个数（或式子），乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为 0 的数．
例1：据等式的性质填空，并说明依据：
（1）如果2x=5 x，那么2x+____=5；
（2）如果m+2n=5+2n，那么m=____；
（3）如果x= 4，那么____·x=28；
（4）如果3m=4n，那么m= ____·n.
x
5
7
2
根据等式的性质1，等式两边加x,结果仍相等
根据等式的性质1，等式两边减2n,结果仍相等。
根据等式的性质2，等式两边乘 7，结果仍相等
根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等
利用等式的性质可以解方程．
例2：利用等式的性质解下列方程.
(1) x + 7 = 26; (2) 5x = 20 ; (3)
解：(1)方程两边减7，得
x + 7 －7 = 26－7
于是
x = 19
解：(2)方程两边除以－5 ，得
=
于是
x = 4
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x＝m (常数)的形式．等式的性质是转化的重要依据．
例2：利用等式的性质解下列方程
(3)
解：(3)方程两边加5，得
化简，得
方程两边乘 －3，得
x =－27
x=－27是原方程的解吗
一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等.
检验：将 x = －27 代入方程的左边，
方程左、右两边的值相等，所以 x =－27 是方程的解.
【知识技能类作业】必做题：
1．若，则下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．下列各式进行的变形中，正确的是（ ）
A．若，则． B．若，则．
C．若则． D．若，则．
D
【知识技能类作业】必做题：
3．利用等式的性质解方程：(1)；(2)．
解: (1)方程两边减，得
，
于是
；
解: (2)方程两边加3，得
，
化简，得，
两边乘2，得，
于是．
【知识技能类作业】选做题：
4.利用等式的性质解方程：
(1)； (2)．
解: (1)方程两边都减，得
，
两边都除以，得
；
解: (2)方程两边都加，得
，
两边都除以，得
．
【综合拓展类作业】
5.在将等式变形时，小明的变形过程如下：
因为，所以，（第一步）
所以．（第二步）
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．
解：（1）∵
∴根据等式的性质1，两边都减去
得
∴第一步的依据是：等式的性质1；
【综合拓展类作业】
（2）小明第二步的结论不正确，
∵根据等式的性质2,等式两边同时除以不为0的一个数,等式仍然成立，
∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立，
当时，两边都除以a，得不成立，
∴小明第二步的结论不正确．
5.在将等式变形时，小明的变形过程如下：
因为，所以，（第一步）
所以．（第二步）
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．
性质
等式的性质
利用等式的性质解方程
等式的性质 1
等式的性质 2
【知识技能类作业】必做题：
1．已知等式，则下列变形错误的是 （ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
C
【知识技能类作业】必做题：
3．利用等式性质解方程
(1)； (2)
(3)； (4)
答案：（1）；（2）；（3）；（4）
【知识技能类作业】选做题：
4.有一个爱思考的同学，他平时总喜欢思考问题．有一天他对妈妈说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程．等式两边同时加2，得①，即．等式两边同时除以，得②．”你认为这个同学的说法正确吗？如果正确，请说明上述①②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正．
解：不正确．
①正确，运用了等式的性质1；
②不正确，等式两边不能同时除以，因为可能为0．改正：由，等式两边同时减去，得；
等式两边同时除以3，得．
【综合拓展类作业】
5.能否从等式得到？为什么？反过来，能否从等式得到为什么？
解：因为当时，，根据等式的基本性质2，等式的两边不能同时除以0，此时不能得到．
当时，，此时，
根据等式的基本性质2，能得到．
反过来，能从等式得到（．
理由：由知，两边同时乘，得．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第三课时《5.1.2 等式的性质》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课主要学习等式的两条性质，并能运用等式性质解简单方程。等式的性质是解方程的根据，本课直接利用等式的两条性质讨论一些简单的方程的解法，这将为后面进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法作好准备。
学习者分析 对于等式的性质，学生并不陌生，在小学阶段已经初步学习了等式的性质，具备了进一步学习的基础和心理准备。
教学目标 1.理解并掌握等式的性质。 2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程。
教学重点 理解解等式的两条性质并能运用它们解简单的方程。
教学难点 运用等式性质把简单的方程化成x＝m的形式，体会化归思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.理解并掌握等式的性质。 2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．含有_________的________叫做方程． 答案：未知数，等式 2 ．使方程左、右两边的值________的未知数的值，叫作方程的解，求方程的______的过程，叫作解方程。 答案：相等，解 3．下列方程中，以 x＝－2 为解的是（　　） A．3x－2＝2x B．4x－1＝3 C．2x＋1＝x－1　　　D．x－4＝0 答案：C 导言：像2x＝3，x＋1＝3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是对于比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的．因此，还要研究怎样解方程． 方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过知识方程及方程的解的有关知识引出本节课的内容，让学生感觉到知识的连续性。环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2，3x＋1＝5y这样的式子， 都是等式． 我们可以用a＝b表示一般的等式． 首先，给出关于等式的两个基本事实： 等式两边可以交换．如果a＝b，那么b＝a． 相等关系可以传递．如果a＝b，b＝x，那么a＝c ． 思考：在小学，我们已经知道：等式两边同时加 （或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为０的正数，结果仍相等．引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试． 如：3＋2＝5 3+2 +( 4) ＝5 +( 4) 3+2 ( 6) ＝5 ( 6) (3+2) ×( 3)＝5 ×( 3) (3+2) ÷( 5)＝5 ÷( 5) 归纳：一般地，等式有以下性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数 （或式子），结果仍相等． 如果a＝b，那么a±c＝b±c 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b，c≠0，那么 指出：等式的性质抓“两同” （1）同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算． （2）同一个数（或式子）：等式两边加或减的必须是同一个数（或式子），乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为 0 的数． 例1：据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果2x=5 x，那么2x+____=5； （2）如果m+2n=5+2n，那么m=____； （3）如果x= 4，那么____·x=28； （4）如果3m=4n，那么m= ____·n. 解：（1）2x+_x _=5，根据等式的性质1，等式两边加x,结果仍相等； （2）m=_5_，根据等式的性质1，等式两边减2n,结果仍相等； （3）_-7_·x=28，根据等式的性质2，等式两边乘 7，结果仍相等； （4）m= _2_·n，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等。 指出：利用等式的性质可以解方程． 例2：利用等式的性质解下列方程. (1)x + 7 = 26; (2) 5x = 20 ; (3) 解：(1)方程两边减7，得 x + 7 －7 = 26－7 于是 x = 19 (2)方程两边除以－5 ，得 = 于是 x = 4 指出：解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x＝m (常数)的形式．等式的性质是转化的重要依据． (3)方程两边加5，得 化简，得 方程两边乘 －3，得 x =－27 追问：x=－27是原方程的解吗 预设：一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 检验：将 x = －27 代入方程的左边， 方程左、右两边的值相等，所以 x =－27 是方程的解.学生活动3： 学生认真思考后，小组合作探究，并班内汇报，然后认真听老师的点评和讲解。 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题.活动意图说明： 探究等式的两条基本性质，培养学生的合作意识和动手能力及语言表达能力，并通过例题加深对等式的基本性质的理解，辨析的过程也是对应用等式基本性质解一元一次方程的深入剖析的过程。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：5.1.2 等式的性质 一、等式的基本事实 二、等式的性质教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．若，则下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．下列各式进行的变形中，正确的是（ ） A．若，则． B．若，则． C．若则． D．若，则． 【答案】D 3．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 解：（1） 两边减，得 ， 于是 ； （2）两边加3，得 ， 化简，得 ， 两边乘2，得 ， 于是 ． 选做题： 4.利用等式的性质解方程： (1)； (2)． 解：（1）两边都减，得 ， 两边都除以，得 ； 解：（2）两边都加，得 ， 两边都除以，得 ． 【综合拓展类作业】 5.在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 解：（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知等式，则下列变形错误的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．下列判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 3．利用等式性质解方程 (1) (2) (3) (4) 解：（1）解：， 两边同时加上4，得； （2）解：， 两边同时除以，得； （3）解：， 方程两边同加上10，得， 两边同时除以5，得； （4）解：， 两边同时减去1，得， 两边同时除以3，得． 选做题： 4.有一个爱思考的同学，他平时总喜欢思考问题．有一天他对妈妈说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程．等式两边同时加2，得①，即．等式两边同时除以，得②．”你认为这个同学的说法正确吗？如果正确，请说明上述①②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正． 解：不正确． ①正确，运用了等式的性质1； ②不正确，等式两边不能同时除以，因为可能为0．改正：由，等式两边同时减去，得； 等式两边同时除以3，得． 【综合拓展类作业】 5.能否从等式得到？为什么？反过来，能否从等式得到为什么？ 解：因为当时，，根据等式的基本性质2，等式的两边不能同时除以0，此时不能得到． 当时，，此时， 根据等式的基本性质2，能得到． 反过来，能从等式得到（． 理由：由知，两边同时乘，得．
教学反思 方程是处理问题的一种很好的途径，而解方程又是这种途径必须要掌握的，解方程的根据是等式的性质。本节课通过情境问题的方法激发学生学习兴趣，并引导学生自主探究，猜想，验证，并应用等式的性质来解方程，培养了学生善于观察、善于思考的学习习惯。
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