资源简介

植树问题
教学目标
1.通过猜测、画图、讨论、验证等数学探究活动，使学生初步体会两端都栽的植树问题的规律，构建数学模型，解决实际生活中的有关问题。
2.培养学生通过“化繁为简”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生的模型思想和化归思想。
3.培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步体验数学与生活的密切联系，培养学生的主动探究意识。
教学重点：
1.发现并理解两端都栽的植树问题中“棵数=间隔数+1”的规律。
2.能够体会两端都栽的植树问题的规律，构建数学模型，解决实际生活中的有关问题。。
教学难点：
运用“植树问题”的解题思想、发现的规律解决生活中的实际问题。
教学过程
一、创设情境，引入新课。
课前学习任务：请你伸出左手并张开手指，仔细观察，数一数，填一填。依次减去一根手指，对应的间隔数又是多少呢？
我理解的“间隔”的意思是： 。
通过观察手指数和间隔数，我发现了 。
师：这是我们课前的学习任务，哪位同学来分享一下自己的想法？
预设1：5根手指之间有4个间隔。4根手指之间有3个间隔，3根手指之间有2个间隔，2根手指之间有1个间隔。
预设2：我理解的“间隔"的意思是：每相邻两根手指之间的距离。（引导学生在自己的手上数一数）
预设3：通过观察手指数和间隔数，我发现了手指数比间隔数多1。
师：真是个善于观察的孩子。像这类隐藏着总数和间隔数之间的关系的问题，我们称为植树问题。今天，我们就一起来研究植树问题。（引入课题）
二、充分经历，探究新知
看，东关小学正在开展“美化校园”的活动，同学们在老师的带领下，正认真地植树呢。在植树的过程中，大家遇到了一些问题，我们一起来看一下。
例1：同学们在长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端都要栽）。一共要栽多少棵树？
1.独立完成学习任务一，并在小组内交流，哪位同学来展示一下自己的任务一？
预设1：从题目中我知道了，同学们在长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端都要栽）。要解决的问题是：一共要栽多少棵树？
预设2：我理解的“一边”的意思是：小路的左边或右边；“两端都要栽”的意思是：小路的起点与终点都要栽；“每隔5m栽一棵”的意思是：每相邻两棵树之间的距离是5米。
2.师：想一想、算一算。一共要栽多少棵树？我们来看这三位同学是怎么想的？
预设1：我是这样想的，因为100米里面有20个5米，100÷5=20（棵），所以要栽20棵树；
预设2：我是先算100÷5=20（棵），因为课前我们通过数手指数和间隔数的游戏发现了手指数比间隔数多1，所以20+1=21（棵）；
预设3：我也是先算100÷5=20（棵），因为小路两端都要栽，所以20+2＝22（棵）。
师：到底要栽多少棵树呢？究竟谁的想法正确呢？实践是检验真理的唯一标准，验证是检验答案的最好方法。下面，我们就一起来看一下这位同学是如何验证的。
3.简单验证，发现规律。
预设：我是利用画图的方法来验证的：用一条线段表示100米的小路，每隔5米栽一棵，就画一棵树，照这样画下去，因为100米里面有20个5米，画图时感觉很麻烦。所以我先选用20m来研究，用一条线段表示20米，每隔5米栽一棵，也就是说树的间隔是5米，用我自己喜欢的图案表示树，并且两端都要栽，所以是5棵。
师：出示线段图，观察下面的线段图，你能看懂吗？
预设：20米长的一条路，间隔长度是5米，有4个这样的间隔，可以栽5棵树。
师：这样一来，虽然不能直接验证，但可以从简单例子入手，给我们发现间隔数和棵数之间的关系提供一个方向。一个事例还不能确定植树问题的规律，我们还需要别的例子来帮助发现规律。
大家再来自己选一些长度试一试，动手画一画，完成表格，你发现了什么？
路长/m 间隔长/m 间隔数 棵数
20 5 4 5
预设1：我是用25m为例，画线段图来检验的。25米长的一条路，间隔长度是5米，有5个这样的间隔，可以栽6棵树。
预设2：我是用30m为例，画线段图来检验的。30米长的一条路，间隔长度是5米，有6个这样的间隔，可以栽7棵树。
预设3：因为两端都要栽树，所以棵数比间隔数多1，或者也可以说是间隔数比棵数少1。
预设4：我不画线段图。根据上面发现的规律就知道35米长的一条路，间隔长度是5米，有7个这样的间隔，可以栽8棵树。
预设5：我还发现，路长÷间隔长度=间隔数。
师：同学们做得非常好，我们通过猜测、画图、讨论、验证，发现了植树问题中两个非常重要的规律。
思考：为什么两端都栽树时，棵数比间隔数多1？
预设：以20米长的小路为例，可以把第一棵树和第一个间隔看成一组，第二棵树和第二个间隔看成一组，这样以此类推，最后还多出一棵树，所以棵数比间隔数多1，也就是棵数＝间隔数+1。
师：说的真清楚，也就是说把一棵树和一个间隔看成一组，也可以说把一棵树对应一个间隔。
师：回头看，这三种不同做法，你认为谁做的对？为什么？
预设1：我认为小红做的对，因为在两端都栽时，棵数=间隔数+1。小红这里的20表示20个间隔，也能表示和间隔对应的20棵树。
师：小丽和小明的做法又错在哪里了？
预设1：小丽求的是和20个间隔一一对应的20棵数，没有加多出来的1棵树。
预设2：小明以为两端栽树时要加2，实际上是加1就可以了。
师：想一想，这里20为什么要加1？
预设：100米长的小路，可以把第一棵树和第一个间隔看成一组，第二棵树和第二个间隔看成一组，这样以此类推，最后还多出一棵树，所以棵数比间隔数多1，也就是棵数＝间隔数+1。
师：回顾一下，刚才我们面临比较长的100米小路，像这样把这条路看成较短的20m、25m、30m……通过画图得出规律，再根据规律求100m的路要植树的棵数，这在数学上是常用的一种方法——化繁为简法。
三、联系生活，应用模型：
师：在日常生活中，也有很多类似于植树问题的例子。下面就请同学们应用我们今天发现的规律，去解决身边的一些问题吧。
1.5路公共汽车行驶路线全长12 km，相邻两站之间的路程都是1 km。一共设有多少个车站？
师：这道题里没有植树呀，能用我们今天学的方法解决吗？一起来听听同学们的想法。
预设：能，我在这里可以把车站看成树，12㎞是总长，1㎞是间隔距离，总长÷间隔长＝间隔数，12÷1＝12（个）间隔，因为起点和终点都要设车站，就相当于两端都栽树的情况，棵数＝间隔数＋1，12 + 1＝13（个）车站。
师：哇，你举一反三的能力可真强，你和她做的一样吗？
2.在一条全长2 km 的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50 m 安装一盏。一共要安装多少盏路灯？
预设：在这里我可以把安装路灯看成栽树，2km是总长，每隔50m是间隔长度，总长÷间隔长＝间隔数，这里需要注意的是总长度和间隔长度单位不同，需要转换成一样的单位。2km=2000m，2000÷50＝40（个）间隔，在两端都要安装的情况下，棵数＝间隔数＋1，40 +1＝41（盏）路灯。这是一旁的路灯。这里还需要提醒大家的是两旁栽树，所以41×2=82盏。
师：你真是太厉害了，不愧是咱们班的数学家。
3.园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔 6 m 种一棵，一共种了 36 棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？
师：这一题和教科书P104例1有什么不同之处吗？
预设：例1是知道了路线长度求栽树的棵数，而这一题是知道树的棵数求路线长度。
根据“种了36棵”这个条件可以先求出间隔数一共有：36-1=35（个）间隔，每个间隔是6m，也就是间隔长度，路线长为35×6=210（m）。
四、课堂总结
师：通过本节课的学习，你们有什么收获？
预设1：两端都栽情况下：棵数＝间隔数+1，可以利用一一对应思想来理解这个规律。
预设2：间隔数＝总长÷间隔长
预设3：用解决植树问题的方法还能解决生活中其他类似的植树问题。
预设4：研究问题时，如果数字比较大，可以先选择其中的一小段数字，利用画图方法进行研究，帮助我们发现规律，再运用规律来解决复杂的问题，也就是“化繁为简”的数学方法。
预设5：今天我们学习的是两端栽树的情况，还有没有其他情况呢？
师：你们不仅说出了自己的收获，还提出了新的问题，真是了不起！
五、课后作业
1.马路一边栽了 25 棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？（数学书107页练习二十四第1题）
2.工人们正在架设电线杆，相邻两根间的距离是200m。在总长3000m的笔直路上，一共要架设多少根电线杆（两端都架设）？（数学书107页练习二十四第3题）
3.思考：植树问题与我们的生活息息相关，通过今天的学习，你还能找到与植树问题有关的问题吗？与你的同伴交流，并试着去解决。
六、板书设计
植树问题（1）
两端要栽：棵树=间隔数+1
化繁为简、一一对应
间隔数＝总长÷间隔长
100÷5=20（个）
20+1=21（棵）
答：一共要栽21棵树。

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