资源简介

教学设计
课题 数与形
教学目标
1.使学生通过自主探究，利用图形直观、形象的特点，发现图形中隐藏的数的规律，用数（或代数式）表示图形，建立模型，感受用数或代数式表示的概括性。并会应用所发现的规律解决数的计算的问题。 2．让学生经历观察、验证、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，能借助“形”解决一些“数”的问题，体会数形结合，归纳推理等数学思想。 3．让学生在解决数学问题的过程中，体会到数与形的完美结合，感受数学的魅力。
教学内容
教学重点： 通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，体会并运用发现的规律解决问题的简捷性。 教学难点： 在解决问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等数学思想。
教学过程
一、谈话引入，揭示课题 同学们，你看到了什么？（课件出示“” ），如果它是数字“1”，你想到了什么？ 学生自由发言，师小结：有了同学们脑海里不同的形，使这个数变得更加丰盈，更加形象。数与形早早就陪伴着我们的学习，回顾以前的学习，哪些数学知识是借助“形”学习的？老师收集了两位同学的作业。（加法、减法、乘法，植树问题…）数形结合的确给我们的学习提供了便利。 今天继续借助数与形，来探究规律，你一定会有新的认识。 二、交流促思，探究规律 （一）交流（前置作业2） 1.从这组图形中，你发现了什么规律？（ 课件出示） 预设一： 1 4 9 16 25 看这位同学的作业，这几个数是什么意思？（每个图形中的小正方形的个数），可以挨个数，计算更方便些。 有位同学提供了这样的算法： 预设二：1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 他用大正方形的边长×边长就是个小正方形的个数。 还有同学这样算： 预设三：1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7＋9 让我们具体来找一找：1在哪儿？3呢？1个小正方形和3个小正方形拼成一个大一些的正方形，这个图形既能表示1+3，又能表示2×2，还可以写成2 ，同桌像这样说说剩下的图形和算式。 预设四： 前后两个小正方形相差小正方形的个数（出示学生作业） 你能看懂这组算式的意思吗？前后两个大正方形相差的小正方形个数，正好是“﹁”形中的小正方形数 同学们，同样的图形，不同的观察方式，就会有不一样的发现！ 如果老师给你列式1+3+5+7+9+11，你能说出正方形的边长是几吗？课件出示边长是6的正方形 如果老师给你图形，你能列出这样的式子吗？1+3+5+7+9+11+13。 如果数和形都不出示，你能说出下一个列式，下一个正方形的边长吗？1+3+5+7+9+11+13+15，边长是8的正方形。 继续写下去，写得完吗？写不完怎么办？加……，表示以此类推，渗透推理思想。 2.小组讨论： 1=1×1=1 4=1+3=2×2=2 9=1+3+5=3×3=3 16=1+3+5+7=4×4=4 25=1+3+5+7+9=5×5=5 36=1+3+5+7+9+11=6×6=6 …… 老师把式子整理在一起，请认真观察，小组讨论： （1）这组式子有什么特点？ （2）这些式子和图形之间有什么关系？ 谁愿意分享你的发现？ 3..发现规律 预设1：加数的特点：从1开始连续的奇数相加 预设2：几个数字相加，就是几的平方 追问：几个数相加就是几的平方？你是怎么知道的？ 出示：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25= 预设：（第一个数1＋最后一个数25）÷2=13，是13个数，也是正方形的边长，即几的平方。 预设：外围13是两条边长重叠了1个小正方形，加上1就是两条边长的和，除以2就是正方形的边长。 真棒！又一个了不起的发现，真的是：形中有数，数中有形，我们借助形发现了这么多的规律。 运用规律 请拿出学习任务单，用学到的规律自主完成学习任务二和任务三 ，完成后交流 1+3+5+7+9=（ ） 1+3+5+7+9+11+13=（ ）第一、二道可以直接运用规律，相互检查。 =9谁来介绍你直接加到17的方法？ 预设：9个连续奇数相加，写出9个从1开始连续的奇数相加， 还能用9×2-1=17 如果有n个这样的连续奇数相加，结果怎样表示？ 1+3+5+7+5+3+1=（ ） 1＋3＋5＋7＋9+11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝ 前两道把算式分成前后两部分，再利用规律计算，相互检查。 3 +4 =5 ，这个算式可以表示直角边分别是3和4的直角三角形，勾3股4弦5，是著名的勾股定理，也叫“毕达哥拉斯定理” 这列数字少5，怎算呢？ 1+3+7+9+11+13=（ ）这列数字少5，怎算呢？ 依然可以运用规律，用6的平方减5） 三、拓展规律，渗透思想 数形结合百般好，我想，这既是一种思想，还得落实到两个字上，“思”和“想”，见“数”思“形”，见“形”想“数” 3×2 看到这个算式，你能够想到什么图形？ 同学们非常善于观察和思考，（课件出示三角形数）你发现了什么？如果不画，这样排下去，第10个数是多少？ 介绍：算法(首项＋尾项)×项数÷2（高斯求解） 四、数学文化，传承嫁接 刚刚我们一直提到了平方，数学上把像1、4、9、16……的数叫做 “平方数”，也叫“正方形数”。想知道“正方形数”和三角形数是谁先发现的吗？介绍毕达哥拉斯学派研究有关正方形数、三角形数等的相关知识。（课件演示） 毕达哥拉斯学派研究自然数时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形。当小石子的数目是1、4、9、16……时，小石子都能摆成正方形，把这些数叫做“正方形数”。就这样，毕达哥拉斯借助生动直观的点阵，还发现了三角形数、长方形数等许多有形状的数。例如：上面的1、3、6、10、15……就是三角形数。他们坚信的思想就是“万物皆数”。 提到“万物皆数”，老师给大家提供几种有趣的数，感兴趣的同学可以查阅资料继续研究。 五、课堂小结，感受数趣 同学们，学习到现在，你认为自己还是：“看形是形，看数是数”吗？这只是数学学习的第一境界，那你觉得第二境界是什么样的？对“形中有数，数中有形”。正如我国著名数学家华罗庚所说，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

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