资源简介

6.1反比例函数 课标及教育价值分析 反比例函数是初中数学“数与代数”领域的重要内容，课标对这一概念的要求是：“结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能用反比例函数解决实际问题”.由此，可明确本节课教学要注意的几点：①“反比例函数的意义”不能仅仅停留在教材给出的形式化定义，要注意揭示反比例函数的本质属性——两个变量的乘积一定；②反比例函数是重要的数学模型，在教学中，要紧密联系实际，帮助学生理解反比例函数的意义，发展符号意识，渗透模型思想；③要落实确定反比例函数表达式的方法，明确表达式的作用. 作为代数模型的概念课，本节课教育价值体现在发展学生符号意识、应用意识、渗透模型思想，从而落实数学抽象、数学建模的学科素养，学生只有亲自经历观察、分析、概括、选择、判断等数学活动，得到概念，才能领悟数学思想，体会数学与外部世界的联系，积累用数学的眼光分析现实世界的活动经验. 教学目标 1．经历从具体问题情境中抽象出反比例函数模型的过程，通过分析一类模型的共同特征，归纳反比例函数的概念； 2．结合实际初步理解反比例函数所反映的变量间的关系，体会反比例函数的意义,能根据情境中的数量关系或用待定系数法确定反比例函数的表达式，能借助反比例函数表达式解决简单的实际问题； 3．通过讨论反比例函数中两个变量之间的相依关系，进一步理解函数概念，体会反比例函数的模型作用，进一步发展数学抽象、数学建模的学科素养，发展符号意识与应用意识，体会数学与生活、数学与其他学科的联系. 教材内容分析 教材从具体问题入手，引导学生经历从若干具体问题抽象出函数模型的过程，在此基础上，分析所得函数模型的共同特征，归纳出反比例函数的定义。然后，再通过几个具体问题巩固学生对反比例函数意义的认识，体现了概念的形成过程，也突出了从不同角度对概念的理解.这里，概念的建立是一个“抽象”的过程，是从感性到理性的认识，概念形成后，剥离模型原有的实际背景得到的反比例函数更一般、更深刻，成为一类新的数学研究对象，成为本单元要系统研究的问题.但教材的呈现凸显的是“形式化”的定义，要借助表格强化反比例函数的本质属性——两个变量的乘积是一个定值. 教学重点： 借助具体实例理解反比例函数的意义，会求反比例函数表达式。
教学难点： 反比例函数概念本质的归纳——表达式与变化规律。 学情分析 学生在小学已认识了成反比例关系的量，七年级又通过大量实例体会了变量之间的关系；在八年级对一次函数进行了系统研究，学生已经能理解用表格、图象、表达式表示的一次函数关系，初步积累了研究函数的经验与方法，形成了由函数概念、到函数图象与性质、再到实际应用的研究步骤和程序，这些都是学生学习反比例函数的基础. 学习反比例函数概念可能出现的困难： ①通过具体问题抽象反比例函数概念，归纳反比例函数的形式化定义； ②学生容易把“自变量增大，因变量减小”当成反比例函数概念的本质属性，不容易关注到“两个变量的乘积一定”这一特征； ③从对现实情境中的反比例函数模型（k>0）的认识，到对脱离实际背景的、纯数学化的反比例函数的理解，是学生认知的另一个难点.
教学过程
教　师　导 学学生　活 动第一环节：情境导入 上课！同学们好！ 这节课老师给大家带来一个视频，请大家看屏幕. 【播放视频】 提问：这个实验中有哪些变化的量和不变的量？ 导语： 从数学角度研究一个变化过程中的两个变量之间的关系，我们用的了重要的数学模型---函数. 提问：对于函数我们研究过哪些内容呢？ 我们通过一个例子来回忆一下函数的有关知识. 第二环节：复习回顾 【出示手撕钢图片】 导语：请大家看图片.你知道他撕的是什么吗？这可不是纸，而是一种超薄钢板——“手撕钢”，是太钢集团的高科技产品.其厚度相当于头发丝直径的三分之一，一张A4纸厚度的四分之一.“手撕钢”工艺复杂，价格不菲. 【出示问题情境】 某实验室用1000元的经费购买“手撕钢”作为研究材料.其购买手撕钢的数量x(g)与剩余经费y（元）之间的关系如下表所示： x（g)12345...y（元）994988982976970...
提问： 1.这里的y是x的函数关系吗？为什么？ 【根据回答进行点拨，引导学生回顾函数概念】 2.x每增加1，y是怎样变化的？ 【指出：这里的变化是一种“均值变化”】 3.能写出y与x的函数关系式吗？ 4.y与x的关系是哪种函数类型？能说出一次函数的一般形式吗？ 小结：我们认识一次函数，是从“y随x的变化规律”和“表达式的形式”两个方面进行研究的. 【根据学生回答板书相应内容】 生活中的变量关系还有很多，这节课我们进一步进行研究. 第三环节：探究新知 【出示问题1】 一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分为a cm和b cm. 提问： 1.矩形相邻两边a 和b满足怎样的等量关系？ 2.填写下表： 追问：你填表的依据是什么？表中每一组a，b的值都满足这个关系吗？ 3.这里b是a的函数吗？ 4.请用含a的式子表示b. 【根据学生回答板书相应内容】 接下来请大家独立完成任务单中的问题2和问题3. 【问题2】伴随着环太原国际公路自行车赛的举行，太原西山自行车赛道全线贯通，全长136公里.设某自行车运动员的平均速度为v(km/h)，行驶完全程所需为时间t（h）. 1. 时间t（h）与平均速度v(km/h)之间满足的等量关系是 ； 2.用含v的式子表示t： ； 3.填写下表： 【问题3】如图所示的数值转换机中，输入的数x与输出的数y之间的部分值如下表所示： 1. x和y之间的等量关系是____________； 2. 用含x的式子表示y：__________. 【巡视学生完成情况，进行个别指导】 在小组内交流你思考的结果. 【指定两个同学板书问题2，3中的关系式】 组织学生交流：你同意这两个同学的看法吗？ 追问：问题2中的表格又是怎样填的？ 填写的依据？ 表中每一组v，t的值都满足这个关系吗？ t是v的函数吗？ 问题3中y是x的函数吗？每一组x，y的值都满足“xy＝－4”这个关系吗？ 同时出现三个例子 提问：这三个例子中的变量关系有哪些共同特征？ 【引导学生从变化规律和表达式的形式两个角度进行归纳】 根据变化规律追问：这三个例子中两个变量是否满足“均值变化”的特征？ 根据表达式结构追问：能不能用一个一般的式子表示这个结构呢？ 【板书关键信息】 指出：像这样的两个变量x，y的乘积为定值，且可以写成的形式，我们就说y是x的“反比例函数”. 【板书“y是x的反比例函数”】 第一个例子中，b与a乘积一定，写成的形式，我们就说b是a的反比例函数. 请大家打开书149页，阅读反比例函数的概念. 指出：我们给反比例函数下定义的方式和一次函数相同，都是从表达式的形式这个角度得到的.但我们在认识反比例函数“表达式”的同时，要注意它的变化规律的本质特点——“乘积一定”. 【出示“引例”图片】 指出：还记得课前的物理实验吗？实验中涉及到的物理量压强P是用来比较压力F作用效果的，压强越大，压力作用效果越明显.压强的计算公式是. 已知一物体对地面压力F为200N. 1.压强P与受力面积S之间的函数关系式为 ； 追问：P是S的反比例函数吗？你是怎样判断的？ 列函数关系式的依据是什么？ 指出：我们可以根据实际问题中的数量关系求得反比例函数关系式. 2.利用这个关系式能解决哪些问题？举几个例子. 指出：这就是模型的作用. 追问：这个问题中的S可以取哪些值？如果去掉实际背景，从数学的角度看呢？ 强调： 这也是我们研究反比例函数要注意的一个方面，自变量x≠0. 下面我们做一些练习.首先请大家独立完成任务单上“活动三——辨析理解”. 第四环节：辨析理解 【教师巡视，关注学生完成情况，组织小组交流】 1．下列表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中y是x的是反比例函数的是_______. 2.下列关系式中的y是x的反比例函数的有 . 组织交流：谁来汇报你们组思考的结果？ 第五环节：问题解决 【出示实际问题】 请大家完成任务单“问题解决”. 【教师巡视，关注学生完成情况，指定学生板书解答过程】 追问：（1）你是怎样得到表达式的？ 如果学生直接写出结果，则追问：怎样写出完整的解答过程？引导学生回忆待定系数法的求解步骤，然后学生完成解答过程； 如果学生写出了步骤，则进行展示，明确解答方法——待定系数法，强调解答步骤. （2）第2小题中求出的眼镜度数是多少度？ 指出：这里是按照医学验光配镜中的说法，近视眼镜的度数D是负数，与我们生活中的说法是有区别的，大家要注意. 问题拓展： （1）你的眼镜多少度？能求出焦距吗？ 动手算一算. （2）请你再举出两个生活中反比例函数的实例. （3）根据学生所举例子，给表达式赋予实际情境. 第六环节：小结回顾 提问：这一节课研究了什么问题？我们是怎样认识反比例函数的？ 根据学生回答小结：我们类比一次函数从“表达式的形式”和“变化规律”两个方面认识了反比例函数的概念.我们可以进一步按照这样的思路对其他函数进行研究. 第七环节：达标检测 请大家完成达标检测. 出示答案，组织学生自主批阅、改错、评价. 【结束语】 八年级我们在学习一次函数时，除了概念，我们还研究了什么呢？ 你能规划一下我们下一步怎样反比例函数吗？ 相信同学们在后面的学习中能有很大的收获！ 下课！ 学生观看视频 【学生回答预设】压力不变，受力面积与压强（或下陷的深度）是变量 【学生回答预设】如函数的概念、表示方式以及一次函数的概念、性质等 观看图片，简单了解“手撕钢” 感受问题情境 【学生回答预设】 1.y是x的函数；对于x的每一个值，y有唯一的值与它对应（学生可能会遗忘判断函数的概念）； 2.x每增加1，y减少6； 3.y＝－6x+100； 4.一次函数； 一般形式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0）. 阅读问题1，审题 【学生回答预设】 1.ab=20； 2.口答，依次填表； 体会每一组a，b的乘积都是定值 3.b是a的函数； 4.. 独立完成任务单上的内容： 小组交流，两生板书 【学生回答预设】 问题2：vt＝136；； 问题3：.xy＝－4；； 学生核对所写等量关系与表达式. 汇报问题2表格中的结果：17；6.8； 根据vt＝136来填，体会每一组v，t的乘积都是定值； t是v的函数. y是x的函数，体会每一组x，y的乘积都是定值. 对比分析，归纳梳理共同特征： 【学生回答预设】 1.从变化规律看，两个变量的乘积一定； 2.从表达式的形式看，等式的左边是表示因变量字母，右边都是分式的形式，其中分母是表示自变量的字母，分子是个固定的常数. 概括出（k是常数，k≠0） 类比描述问题2，3中：t是v的反比例函数；y是x的反比例函数. 打开课本149页，阅读反比例函数的定义. 体会压力、压强、受力面积的关系 观看PPT，口答相关问题 【学生回答预设】 1.；P是S的反比例函数，可从表达式或乘积一定两个角度分析；依据是压强的计算公式； 2.已知F，求P的值；或者已知P，求F的值； 【举例进行计算】 当S=10，代入关系式可得：P=20； 当P=50，那么S=4. 【学生回答预设】 此问题中S>0；去掉背景后，S的取值范围是S≠0. 独立完成任务单相关内容，小组交流： 【学生个别回答】 对于有疑惑的问题进行小组讨论，明确判断的依据. 【根据学生回答进行追问：对于问题1要明确判断的依据，并写出相应的函数关系式；对于问题2中是反比例函数的，指出k的值】 学生可能在判断（5）时出现困难，先组织小组讨论，再进行点拨. 独立解答任务单中的“问题解决”： 近视眼镜的度数D(度)（D＜0）是镜片焦距f (m)的反比例函数.当镜片焦距f为0.2米时，近视眼镜的度数D为-500度. (1)求D与f之间的函数关系式； (2)当镜片焦距为0.5米时，近视眼镜的度数为多少？ 【学生回答预设】 学生可能在完成（1）时根据乘积为定值直接写出结果；要进一步用待定系数法完成解答过程. －200度 【学生回答预设】 （1）联系实际灵活进行计算； 联系实际举例； 描述表达式可能表示的实际问题. 【学生回答预设】 研究了什么是反比例函数、怎样确定反比例函数、指导反比例函数表达式的作用等； 类比一次函数进行学习. 独立完成，自主核对、改错 【学生回答预设】 我们还研究了一次函数的图象，性质和应用 后续同样研究反比例函数的图象、性质、应用

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