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《鸽巢问题》教学设计
【教学内容】人教版小学数学六年级下册第五单元数学广角第67～68页，例1、例2。
【教材分析】“鸽巢问题”是经典的数学问题，又称抽屉原理，主要蕴含推理思想、模型思想、枚举法、假设法等数学思想方法。教材在本单元安排了三个例题，例 1 借助“把 4 支铅笔放进 3 个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔”的情境，通过枚举法和假设法让学生感知这类问题的基本模型。例 2 描述了“抽屉原理”更为一般的形式。把多于kn个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）个元素。若k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子。教材通过这三个例题的编排，目的是让学生经历“从具体情境中抽象出鸽巢问题—建立鸽巢问题的一般模型—推理出鸽巢模型的原理—运用鸽巢原理解决问题”的过程，有助于提高学生的逻辑思维能力，发展推理能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。
【学情分析】鸽巢原理的实质是揭示了一种存在性，比较抽象。尽管教材在素材选择、编排细节上经过了很多策略性处理，但在实际学习中，学生还会面临诸多问题，如理解缓慢，思路不清，面对变式束手无策等。基于这样的认识，在教学中将充分利用枚举法、假设法让学生开展探究式学习和合作学习，促进生生互动，以突破教学难点。
【设计理念】《数学课程标准》指出：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。因此根据学生的认知特点，采用“以问题为驱动，在思辨中击破难点”的策略，让学生在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，逐步积累数学活动经验。本设计将“学生经历模型思想形成的过程”作为课堂的落脚点，设计了四个教学环节。
【教学目标】
1、知识与技能：理解“鸽巢原理”的基本形式，运用“鸽巢原理”解释相关现象、解决实际问题。
2、过程与方法：通过操作、观察、比较、推理等探究活动，经历“鸽巢原理”的形成过程，渗透逻辑推理、模型思想等。
3、情感态度：使学生感受数学的魅力，领悟数学与外部世界的联系，提高学习数学的兴趣和应用意识。
【教学重点】经历鸽巢问题的探究过程，理解“鸽巢原理”。
【教学难点】理解“总有”“至少”的含义，建立“鸽巢原理”的模型。
【教学过程】
一、 游戏导入，巧设悬念
1.游戏：抢椅子游戏，当音乐停了开始抢坐，每个人必须都坐下。
活动：4位同学抢坐3张椅子，当音乐停了开始抢坐，每个人必须都坐下。
2.引导学生用“总有”“至少”来概括发现。
3.设疑：“生活中还有很多类似的现象，现象背后又蕴涵着什么数学规律呢？”启迪学生思考并引出课题。（板书：鸽巢问题）
【设计意图】从学生喜欢的游戏入手，让学生初步感受“人比椅子多时，共用椅子的现象总是有的”，既激发了学生的学习兴趣，又激活了学生的生活经验，在游戏中让学生理解“总有”“至少”的含义，并设置悬念，激发学生的探究欲望。
二、 合作探究，建立模型
（一）动手操作，初识原理
1.出示例1：把4支笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。
（1）猜想。
（2）操作学具，用枚举法来验证。
（3）小组交流，汇报结果。
（4）质疑：是不是每种摆法都有这么一个笔筒，里面至少有2支笔呢？
小结：像这样一一列举出来的方法，在数学上叫枚举法。（板书：枚举法）
【设计意图】通过动手操作，让学生自主探索、合作交流，积累对“鸽巢原理”的感性认识，清晰地建立“待分物体”和“份数”之间的表象，然后通过大胆质疑和生生有效互动的过程，深刻理解“至少”的含义，以此突破难点。
2.优化验证方法
（1）引导“假设法”，初步“建模”——平均分。
（2）描述分的过程，引出平均分，并运用除法算式表达推理过程。
（3）质疑：算式中每个数据表示什么？两个1分别是什么意思？
（4）顺向思考：100只鸽子飞进了99个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进（ ）只鸽子？为什么？你发现了什么规律？
（5）设疑：如果余数不是1 ，那么这个至少数会是多少呢？
【设计意图】引导学生尝试推理，渗透假设法的思想，逐步把握逻辑规律，并运用除法算式表达推理过程，最后的质疑在学生心中产生冲突，把探究引向深入。
（二）深入探究，建立模型
1.课件出示：
把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少有（ ）本书？
把8本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少有（ ）本书？
（3）把15本书放进6个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少有（ ）本书？
让学生带着以下问题，展开个性化探究：
（1）这个至少数与什么有关系呢？为什么？
（2）怎样求至少数？把你的想法记录下来。
2.辩论交流并板书算式。
3.总结发现，建立模型。
4.介绍“鸽巢原理”的由来。
【设计意图】本活动以问题为驱动，让学生在思辨中经历商与余数的变化历程，深刻认识到余下的数也要进行二次平均分，从本质上理解“鸽巢原理”，经历模型构建的过程，推理出“鸽巢原理”的模型，培养了学生推理和抽象思维能力。在这样的开放式课堂中，彰显学生的主体地位，形成生生互动、大胆质疑的课堂新样态。
三、应用模型，解决问题
（一）游戏回顾，揭开悬念
师：课前的游戏藏着的数学规律，你知道了吗？
（二）运用规律，解决问题
1.11只鸽子飞进4个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进多少只鸽子？
2.5名同学一起练投篮，共投进41个球，那么必定有1人至少投进（　　）个。
3.随意找13位老师，他们中至少有多少人属相相同？
质疑：12哪来的？
4.编一道类似“鸽巢问题”的题目？
编题：
解答：
【设计意图】回到课前游戏，揭示悬念，满足学生的好奇心。练习设计层层递进，尤其是第4题，体现了问题的开放性，发展学生的创造力，让学生认识到数学知识的应用价值，激发学生学好数学的欲望。
四、回顾梳理，畅谈收获
师：这节课的探究学习中，你有什么收获呢？
师：请你课后收集生活中应用“鸽巢原理”的例子。
【设计意图】通过让学生畅谈收获，引导学生回顾知识、梳理方法，便于形成知识体系，并让学生课后收集生活中应用“鸽巢原理”的例子，可以把知识延伸到课外。
板书设计
鸽巢问题
4 ÷　3　=　1（支） ……1（支） 1 + 1 =2（支） 枚举法 假设法
100 ÷ 99 = 1（只） ……1（只） 1 + 1 =2（只） 模型思想
7 ÷　3　=　2（本） ……1（本） 2 + 1 =3（本）
8 ÷ 3 = 2（本） ……2（本） 2 + 1 =3（本）
15 ÷ 6　=　2（本） ……3（本） 2 + 1 =3（本）
物体数 ÷抽屉数 = 商 ……余数 至少数=商 + 1
【设计意图】整个板书是在教学的过程中动态生成的，体现本课知识的形成过程，突显方法指导，有利于学生建构知识体系，形成解决问题的策略。

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