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教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 秋季
课题 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
教科书 书 名：人教A版教材必修第一册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标
1. 理解利用定义作正弦函数的方法； 2. 理解并掌握用五点法作正弦、余弦函数简图的方法。
教学内容
教学重点： 正弦、余弦函数的图象； “五点法”作简图。 教学难点： 1. 用定义作正弦函数的图象。
教学过程
（一）课题引入 1.复习： （1）正弦函数、余弦函数定义 设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点. （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； （2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； 2.问题串思考： （1）遇到新的函数时，需要研究函数哪些性质？（回忆指数函数、对数函数的研究方法） ——定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等. （2）正弦函数和余弦函数的定义域、值域是多少？ ——定义域为R.值域为. （3）正余弦函数的周期是什么？ ——对于正弦函数来说，它具有“周而复始”的变化规律，根据诱导公式（一）——终边相同的角同名三角函数值相等，我们可以把任意角的三角函数化成[0,2]内的三角函数来研究。周期为，最小正周期为。 对于其他性质，我们无法清楚地从这个解析式和单位圆中看出来，那么我们就需要作出它的图象，然后通过图象来研究它的性质. ——课题题目：正弦、余弦函数的图象 3.物理实验展示，请学生观察曲线。 （几何画板演示弹簧简谐运动中位移与时间变化图象） 在物理中将简谐振动的图解叫“正弦曲线”或“余弦曲线”. 通过刚才的物理实验，我们对正弦函数和余弦函数图象已经有了一个直观的认识，但这是从物理实验中得到的，在数学中，我们如何利用所学过的数学知识来作出正弦函数和余弦函数图象呢？ 下面我们首先来研究正弦函数的图象. （二）新课讲授 1、正弦函数图象 问：如何作的图象 作函数图象的常用方法是什么 ——列表、描点法，图象变换。 正弦函数具有“周而复始”的变化规律，我们先来研究在的图象。 【学生活动】尝试画出的图象。 教师引导学生列表、描点画出的图象.师生共同讨论总结描点法的弊端, （1）当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置. （2）点是有限的，不易看出变化趋势，是上凸还是下凸呢？ （进一步提出问题）如何作出比较精确的正弦函数的图象？ ——利用定义，用单位圆画正弦函数图象 教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把“列表”中的点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。 【师生活动】几何画板演示利用定义作正弦函数的图象，边演示，边讲解，并不时的提问学生，与学生交流。 引导学生继续思考：如何由的图象得到的图象． 【师生活动】教师结合图形，引导学生继续研究上的图象，让学生观察，发现。 师生形成共识:把函数的图象沿x轴左右平移，每次平移个单位，就可以得到的图象. 多媒体演示由的图象得到的图象的过程． （小结）由的图象得到的图象的过程中，我们实际上根据的是诱导公式一：。 2.用“五点法”作正弦函数的简图 师生通过讨论，提出“五点法”作图的必要性（作简图的便捷性） （进一步提出问题）在精确度要求不太高时，如何作正弦函数的图象呢？ 引导学生观察与思考：观察我们用单位圆中的点的正弦值作出的函数的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？ 学生观察、思考、发现：在确定图象的形状起着关键作用五个点：. （小结）讲解“五点法”，在精确度要求不太高时，要作的图象，只需先描出五个关键的点，再用光滑的曲线把它们连接起来.这种作图的方法称为“五点法”，这五个关键的点分别是：最高点，最低点以及与x轴的交点，每个点的横坐标的取值是有规律的——每隔取一个值． 2、余弦函数图象 （过渡）对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？ 引导学生思考，如何将横坐标竖起来作为纵坐标？——光的反射原理，利用。 （几何画板演示） 小结：这样的画法显然没有正弦线的画法自然而简单，显得很复杂。那么我们能不能通过已经知道的正弦函数的图象，以正弦函数的图象为基础，能不能很快作出余弦函数的图象？ 探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？ （教师组织学生讨论、交流引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程．） 生1：把余弦化正弦，； 生2：； 思考：从函数图象变换的角度考虑，由的图象得到或的图象，哪一个更简单？ 经讨论，由的图象得到的图象，需要经过两次图象变换，而由的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，所以后者更简单. 用“五点法”作余弦函数的简图 同样，以后我们要作余弦函数的图象，关键也是先作出[0，2]上的图象． （探究）类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？ 学生通过观察类比，确定余弦函数图象的五个关键点. （总结方法）在精确度要求不太高时，先作出函数和的五个关键点，再用光滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”． （小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用“五点法”，它更实用. 下面我们就一起用“五点法”来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象. （三）例题讲解 例1.用五点法做出下列函数的图象 （1） （2） （进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系） 你能否从函数图象变换的角度出发，利用的图象，得到的图象？同样的，如何利用的图象，得到的图象？ 练习：画出下列函数的图象： （1） （2） 例2.讨论方程的根的个数？ 分析：令， 当，即时，； 当，即时，； 利用五点法作出在的图象，如下： 当时，有4个解；当时，有3个解； 当时，有2个解；当时，有1个解；当时，无解。 （四）小结 1.利用正弦函数定义作正弦函数的图象（精确）； 2.运用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象（简图）； 3.利用正弦函数、余弦函数的图象研究函数的性质（数形结合）
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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