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第3章 圆锥曲线与方程
3.1.1 椭圆的标准方程
教案
学习目标
1.掌握椭圆的定义、标准方程.
2.通过对标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
教学重难点
1.教学重点：椭圆的标准方程，坐标法的基本思想.
2.教学难点：椭圆标准方程的推导与化简.
教学过程
情境引入
实验：取一条定长的细绳，把它的两端固定在图板上的两点和上（绳子长度大于），然后用铅笔尖将细绳绷紧，并使铅笔尖在图板上慢慢移动一周，观察所画出的图形.
从实验中可以看到，铅笔尖（即点）在移动过程中，到两个定点和的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）.我们根据这个几何性质来定义铅笔尖画出的曲线.
新知积累
1.椭圆的定义
平面上到两个定点的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫作焦距.
2.椭圆的标准方程
①焦点在x轴上的椭圆的标准方程
如图，取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.
设点是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距，椭圆上的点与两个定点的距离之和为，则的坐标分别为.
根据椭圆的定义，点在椭圆上的充要条件为.
即.
为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得，将这个方程两边平方，整理得，上式两边再平方，整理得.①
这就是椭圆的方程.
由椭圆的定义知，即，所以.设，则，上式两边同时除以得.②
这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点在轴上.
由②式得，当时，；当时，.这说明椭圆与轴的交点为及，与轴的交点为及.
②焦点在y轴上的椭圆的标准方程
类似地，如图，若椭圆的两个焦点在轴上且关于原点对称，设焦点坐标为，其中.若椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，则点在该椭圆上的充要条件是，即
仿照焦点在轴上的情形可将这个方程化简为.③
这也是椭圆的标准方程，它表示的椭圆焦点在轴上，并且.
例题巩固
例1求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：
（1）； （2）.
解（1）已知方程是椭圆的标准方程，由可知，这个椭圆的焦点在轴上，且，所以.
因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.
（2）已知方程是椭圆的标准方程，由可知，这个椭圆的焦点在轴上，且，所以.
因此，椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为.
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
（2）焦点坐标为和，且经过点.
解（1）由于椭圆的焦点在轴上，故可设它的标准方程为.
由椭圆的定义知，所以.
又因为，所以.
因此，所求椭圆的标准方程为.
（2）由于椭圆的焦点在轴上，故可设它的标准方程为.
已知焦点坐标及椭圆上一点，
由椭圆的定义可知，
因此.
又因为，所以.
因此，所求椭圆的标准方程为.
课堂练习
1.已知，为椭圆的两个焦点，点P在C上，若，则()
A.1 B.2 C.4 D.5
答案：B
解析：方法一：由题知，，.
因为，所以，
所以，，
平方得，所以.
方法二：因为，所以，
所以，所以.
2.以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为()
A. B. C. D.
答案：B
解析：方法一：由题意得椭圆的焦点在x轴上，且，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.
方法二：由题意得椭圆的焦点在x轴上，且，所以可设椭圆的标准方程为，将点的坐标代入，得，整理得，即，解得或（舍去），所以椭圆的标准方程为.
方法三：因为焦点在x轴上，故C错误.因为，故排除D.将代入，得，故A错误，所以选B.
3.若椭圆的焦距为4，则m的值为__________.
答案：7或11
解析：在椭圆中，由已知可得，解得.若椭圆的焦点在x轴上，可得解得；若椭圆的焦点在y轴上，可得解得.因此m的值为7或11.
小结作业
小结：本节课学习了椭圆的定义及其标准方程.
作业：完成本节课课后习题.
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3.1.1椭圆的标准方程
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程

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