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第3章 圆锥曲线与方程
3.1.2 椭圆的简单几何性质
教案
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、定点、离心率等简单几何性质.
2.能利用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.
4.理解数形结合思想.
教学重难点
1.教学重点：椭圆的几何性质.
2.教学难点：椭圆性质的理解和应用.
教学过程
情境引入
实验：取几组不同的满足的值，描点作图或利用计算机作图软件作出方程的图象，观察图象并思考下列问题：
1.范围：图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点.
2.对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心.图象是不是轴对称图形？如果是，找出对称轴.
3.通过观察，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明.
4.试根据方程解释你所观察到的现象.
下面，我们通过对椭圆标准方程的研究，来认识椭圆的一些简单几何性质.
新知积累
1.范围
由椭圆的标准方程可知，椭圆上任意一点的坐标都适合不等式，，即所以，.
这说明，椭圆位于四条直线所围成的矩形内（如图）.
同理可知，椭圆位于四条直线所围成的矩形内.
2.对称性
①对称轴
平面上任一点关于轴的对称点是.在椭圆的标准方程中，将换成，方程不变，这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于轴对称（如图）.
平而上任一点关于轴的对称点是.在椭圆的标准方程中，将换成，方程不变，这说明当点，)在椭圆上:时，它关于轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于轴对称.
我们知道，椭圆的标准方程是以两个焦点所连线段的中点为原点、以两焦点连线为轴或轴得到的.因此，平面上任意一个椭圆都是轴对称图形，两焦点连线是它的对称轴，两焦点所连线段的垂直平分线也是它的对称轴.
②对称中心
平面上任一点关于原点的对称点是.
在椭圆的标准方程中，将换成，方程不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上（如图).由此可知，椭圆关于原点中心对称，坐标原点叫作椭圆的对称中心.
对于平面上任意一个椭圆，它的两个焦点所连线段的中点是椭圆的对称中心，简称为椭圆的中心.
同样地，我们可以对椭圆方程进行类似的讨论.
3.顶点
椭圆的两条对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.在椭圆的标准方程中，令，得；令，得.因此，是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点（如图）.
线段分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和.椭圆的中心分别将长轴、短轴等分，和分别叫作长半轴长和短半轴长.
4.离心率
当变小时，的值逐渐变小，由知短轴长逐渐增大，因此椭圆会越来越圆，反之椭圆会越来越扁，这说明反映了椭圆的扁平程度.我们把半焦距与长半轴长的比叫作椭圆的离心率.对椭圆而言，因为，所以.
例题巩固
例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长为18，离心率为；
（2）经过点，焦点在轴上.
解 （1）因为，，
所以.
于是.
椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，
因此，所求的椭圆标准方程为或.
（2）设椭圆方程具有标准形式.
将两点的坐标代入得①，②.
将看作未知数，则上述两个式子组成二元一次方程组.
②①得，即.
，即.
因此，所求的椭圆标准方程为.
例5 对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数.
分析 判断直线与椭圆的公共点的个数，即判断由直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数.
解 由消去并整理得.③
此方程的实数解的个数由它的判别式决定，
当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标.此时，直线与椭圆有两个公共点，即它们相交.
当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①可得到一个公共点坐标.此时，直线与椭圆有一个公共点.观察图象可知，它们在这一点相切.
当或时，，方程③没有实数根.此时，直线与椭圆没有公共点，即它们相离.
综上可得：
当时，直线与椭圆有两个公共点；
当或时，直线与椭圆有一个公共点；
当或时，直线与椭圆没有公共点.
直线与椭圆的位置关系如图所示.
课堂练习
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意可知，.在中，由余弦定理得，化简得，则，所以，故选C.
2.已知点A，B分别为椭圆的左顶点、下顶点，过点A且斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为C，则( )
A. B. C.4 D.
答案：D
解析：由题意，得，，直线l的方程为.设.由消去y并整理，得.根据一元二次方程根与系数的关系得，则，所以点C的坐标为，所以，，所以.故选D.
3.（多选）已知椭圆的焦距为4，则( )
A.椭圆C的焦点在x轴上 B.
C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C的短轴长为
答案：BCD
解析：因为，所以，所以椭圆C的焦点在y轴上，故A错误.因为椭圆C的焦距为4，所以，所以，所以，故B正确.因为，，所以离心率，故C正确.因为，所以短轴长，故D正确.选BCD.
4.已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点P，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为___________.
答案：
解析：如图，设线段的中点为M.由题意知，，则.由椭圆的定义知，故.又，所以在中，由勾股定理得.又，所以，所以，即.又，所以.
小结作业
小结：本节课学习了椭圆的简单几何性质.
作业：完成本节课课后习题.
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3.1.2椭圆的简单几何性质
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.离心率

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