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第3章圆锥曲线与方程
3.2.2双曲线的简单几何性质
教案
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.
教学重难点
1.教学重点：双曲线的几何性质.
2.教学难点：双曲线的几何性质的应用.
教学过程
情境引入
实验：选取几组不同的满足的值，描点作图或利用计算机作图软件作出双曲线的图象，观察图象并思考下列问题：
1.范围：图象是否分布在一个有限的范围之内，或者在某一个范围之外？
2.对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心.图象是不是轴对称图形？如果是，找出对称轴.
3.通过观察，你能否发现图象还有其他的性质？
下面，我们通过对双曲线标准方程的研究，来认识双曲线的一些简单几何性质.
新知积累
1.范围
由双曲线的标准方程可知，双曲线上任意一点的坐标，都适合不等式，，即，，所以或.
这说明，双曲线的两支分别位于直线的左侧与直线的右侧，向左右两方无限延伸.
事实上，我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围.双曲线上任意一点的坐标满足以下条件：.
所以当时，；当时，.
总之，双曲线处于两条相交直线所夹的、包含轴在内的那两个区域中，并且在直线所夹的区域外侧，如图.
2.对称性
在双曲线的标准方程中，将分别换成和，方程都不变，可见双曲线关于原点、轴和轴都是对称的.因此，双曲线有两条对称轴，即轴和轴；有一个对称中心，即原点，双曲线的对称中心称为双曲线的中心.
3.顶点
在双曲线的标准方程中，令，得，可见该双曲线与它的对称轴轴有两个交点，都称为双曲线的顶点.
令，得到，这个方程没有实数解，可见双曲线与它的另一条对称轴轴没有交点，但是作双曲线时常将点与画出来（如图）.
线段分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为和和分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长.
4.渐近线
我们已经知道，双曲线处于两条相交直线所夹的、包含轴在内的两个区域中.从图象上看，双曲线的两支向两端无限延伸，越来越接近于这两个区域的边界直线.
下面，我们通过方程来研究双曲线接近这两条直线的程度.
在双曲线方程中，将当作已知数，解出.
我们先取双曲线在第一象限内的部分进行考察，并研究这一部分向右上方接近直线的程度.为此，对同样的横坐标，计算出直线与双曲线上的点的纵坐标之差：
.
随着的无限增大，分母无限增大，分子不变，可见无限接近于0，这说明双曲线在第一象限的部分在右上方无限接近直线.
在其他象限内，也可以类似地证明.总之，双曲线在无限延伸的过程中无限接近两条直线.这两条直线称为双曲线的渐近线.
如图，过双曲线的两个顶点分别作轴的平行线，经过分别作轴的平行线，这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线就是双曲线的两条渐近线.
5.离心率
与椭圆类似，双曲线的半焦距与实半轴长的比叫作双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率.
显然，越大，越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，说明双曲线的开口越大.
例题巩固
例4 求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图.
解 由双曲线方程可得实半轴长，虚半轴长，
则，
于是焦点坐标为.
渐近线方程为，
离心率.
为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线顶点.算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取，算出，可见点在双曲线上.将轴右边已知的三点依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支.由对称性可画出位于轴左边的另一支，如图.
例5 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，虚半轴长为，离心率为3，求该双曲线的标准方程.
解 由于双曲线的焦点在轴上，故可设它的标准方程为.
根据已知有解之得.
故所求双曲线的标准方程为.
例6 讨论直线与双曲线的公共点的个数.
解 由消去得
整理得①
如果，则方程①变为，无解.此时直线与双曲线无公共点.事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点.
如果，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点.
课堂练习
1.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，其渐近线上横坐标为的点P满足，则( )
A. B. C.2 D.4
答案：B
解析：由题知，双曲线（，）的焦点为，，渐近线上横坐标为的点P，不妨取点P在第一象限，可得.因为，所以.又，联立解得.故选B.
2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是( )
A.E的焦点到渐近线的距离为2 B.
C.E的实轴长为6 D.E的离心率为
答案：D
解析：依题意可得，解得，故B不正确；，，，所以E的焦点到渐近线的距离为，故A不正确；因为，所以E的实轴长，故C不正确；E的离心率为，故D正确.故选D.
3.已知双曲线（，）与直线相交于A，B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：设，，则两式相减得.因为点M在直线上，且M的横坐标为，所以M的纵坐标为3，即，所以，，所以，又，所以，所以渐近线方程为.
小结作业
小结：本节课学习了双曲线的简单几何性质及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
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3.2.2双曲线的简单几何性质
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.渐近线
5.离心率

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