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第六单元　多边形的面积
本单元的教学内容主要有：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积、不规则图形面积的估计。“多边形的面积”是图形与几何领域“测量”中的重要内容之一。多边形的面积计算是以长方形面积计算为基础，以图形之间的内在联系为线索，借助将未知转化为已知的基本方法开展学习。各图形面积计算公式的推导都采用了“转化”的方法，即设法将所研究的图形转化为已经会计算面积的图形。在“组合图形的面积”教学中，同样突出了转化思想，只不过是用分解的方法将组合图形转化为简单图形。本单元的教学，要引导学生在观察、实验、猜想、验证等活动中，渗透平移、旋转、转化等数学思想方法，发展合情“推理能力”，促进学生“空间观念”的进一步发展，感受“几何直观”和“符号意识”的作用，渗透估测意识、策略，了解解决问题方法的多样性，培养学生的应用意识和创新意识。)
第1课时　平行四边形的面积
教学目标：
1．让学生经历探索平行四边形面积计算公式的过程，掌握平行四边形面积的计算方法，能解决相应的实际问题。
2．通过操作、观察和比较，发展学生的空间观念，渗透转化思想，培养学生分析、综合、抽象概括问题和动手解决实际问题的能力。
重难点：
重点：理解并掌握平行四边形面积的计算公式。
难点：理解平行四边形面积计算公式的推导过程，体会转化的思想。
教学准备：
平行四边形卡纸一张、剪刀、三角尺、课件。
教学设计
一、情境导入
出示教材第86页单元主题图。
师：你在图上看到了哪些我们学过的平面图形？
学生汇报交流。
师：我们生活在一个图形的世界里，这些图形有大有小，平面图形的大小就是它们的面积。我们已经研究过哪些平面图形的面积？计算公式是什么？
生：长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。
师：这幅图中除了有长方形和正方形，还有平行四边形、三角形和梯形，你们会计算它们的面积吗？今天这节课，就让我们一起进入“多边形的面积”的学习。(板书单元课题：多边形的面积。)
师：请大家看校园门口的这两个花坛，哪一个大呢？要比较花坛的大小，其实就是比较它们的什么？你会算哪个花坛的面积？怎样计算？那平行四边形的面积怎样计算呢？今天这节课，我们就一起来研究平行四边形的面积。(板书课题：平行四边形的面积。)
二、探究新知
1．数方格计算平行四边形的面积。
(1)师：要知道这个平行四边形的面积，怎么办？(演示。)
引导学生回顾用面积单位测量图形面积的方法。
(2)师：现在把它们放在方格纸上，一个方格代表1 m2，不满一格的都按半格计算。平行四边形的面积是多少，你能数出来吗？长方形的面积呢？(教师适时演示。)
(3)学生先独立数平行四边形的面积，再互相交流。
生1：从左往右数，每行6个，有4行，平行四边形的面积是24m2。
生2：先数整格有20个，再数半格有8个，相当于4个整格，合起来一共是24m2。
长方形的面积：长6m，宽4m，面积是6×4＝24(m2)。
(4)教师小结：虽然大家数的方法不一样，但同学们都是在用面积单位进行测量。
(5)填写表格。
①师生共同完成教材第87页的表格：平行四边形的面积是多少？它的底和高分别是多少？长方形呢？(演示。)
②引导学生观察：观察这个表格，你发现了什么？
③交流汇报，小结：有的同学发现了，这个平行四边形的底与长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，平行四边形的面积与长方形的面积相等。还有的同学发现，这个平行四边形的底乘以高正好等于它的面积，由此猜测平行四边形的面积＝底×高。
2．操作思考，推导公式。
(1)师：看来，数方格的确能让我们知道平行四边形的面积。但是，如果有很大一块草坪，数方格方便吗？显然是不方便的。如果不数方格，怎样计算平行四边形的面积呢？
师：这个平行四边形的面积恰好等于底×高，那是不是所有的平行四边形的面积都等于底×高呢？看来，还需进一步研究哦！(演示。)
(2)引导学生确定探究方向：我们已经学过哪些图形的面积计算方法？能否将平行四边形转化成它们来计算面积呢？请大家借助手中的平行四边形卡纸，先独立思考、动手操作，找到答案后在小组内交流。
(3)操作转化，推导公式。
①操作转化。
a．学生独立思考，动手剪拼平行四边形，将它转化成长方形后组内交流。
b．学生展示汇报。(演示。)
c．师：大家发现它们有什么相同之处？为什么要沿着平行四边形的高来剪开？有多少种不同的剪法？为什么？
②观察思考。
a．观察：原来的平行四边形和转化后的长方形，你发现它们之间有哪些等量关系？(演示。)
b．思考：平行四边形的底和长方形的(　　)相等，平行四边形的(　　)和长方形的(　　)相等，这两个图形的面积(　　)。(演示。)
c．学生汇报。(教师板书。)
③概括公式。
师：你能根据长方形的面积计算公式推导出平行四边形的面积计算公式吗？会用字母表示吗？(演示，板书公式。)
3．应用平行四边形的面积公式计算。
(1)出示教材第88页例1。
(2)收集信息，明确问题。
师：从题目中你获得了哪些数学信息？要求什么？
师：要求花坛的面积，其实就是求什么？
归纳：要求花坛的面积，其实就是求底是6m、高是4m的平行四边形的面积。
(3)学生独立解答。
三、巩固应用
1．教材第89页“练习十九”第1题。
(1)学生独立完成。
(2)同桌互相说说自己是怎样做的。
(3)全班集体交流：这个问题你是怎样算的？
四、课堂小结
教师：回忆一下，今天这节课有什么收获？
总结：我们用把平行四边形转化成长方形的方法推导出了平行四边形的面积计算方法，这种转化的思想对于我们的数学学习很重要。
第2课时　三角形的面积
教学目标
1．让学生经历探索三角形面积计算公式的过程，掌握三角形面积的计算方法，能解决相应的实际问题。
2．通过操作、观察和比较，发展学生的空间观念，渗透转化思想，培养学生分析、综合、抽象概括问题和动手解决实际问题的能力。
重点难点
重点：探索并掌握三角形的面积计算公式。
难点：理解三角形的面积计算公式的推导过程，体会转化的思想。
教学准备
课件、学具袋(每小组各有两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形)、一条红领巾。
教学设计
一、情境导入
师：同学们，请大家看看自己胸前的红领巾，它是什么形状？如果要裁剪一条红领巾，你知道要用多大的红布吗？求所需红布的大小就是求这个三角形的什么？
师：如果知道了三角形的面积计算公式，就能直接求出裁剪红领巾所需红布的大小了。今天这节课，我们就来研究三角形的面积。(板书课题：三角形的面积。)
二、探究新知
1．操作转化。
(1)提出问题：既然平行四边形能转化成长方形推导出面积计算公式，那三角形能不能也像这样，通过转化推导出计算面积的公式呢？
(2)学生分组操作，教师巡视指导。
学生操作预设：如果学生只用一个三角形时无法利用割补法将三角形转化成已学过的图形，教师可适时引导换一种思考方式，用两个相同的三角形试试。
(3)学生展示汇报。
生1：用两个完全一样的锐角三角形拼成一个平行四边形。
生2：用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形或平行四边形(以长方形为例)。
生3：用两个完全一样的钝角三角形拼成一个平行四边形(以其中一种情况为例)。
(4)想一想：你们拼的都不一样，但是，我们可以发现，只要是两个完全一样的三角形，一定能拼成什么图形？
学生观察，发现：只要用两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形。
2．观察思考。
师：观察拼成的平行四边形和原来的三角形，你发现了什么？(演示。)
学生独立思考后汇报：三角形的底和平行四边形的底相等，三角形的高和平行四边形的高相等，三角形的面积是平行四边形面积的一半。
3．概括公式。
你能自己写出三角形的面积计算公式吗？(演示。)
教师根据学生回答板书：三角形的面积＝底×高÷2。
师：还可以用字母表示三角形面积计算公式。(演示。)
4．应用三角形面积公式计算三角形的面积。
(1)出示教材第92页例2，呈现问题情境。(演示。)
(2)收集信息，明确问题。
师：从题目中你获得了哪些数学信息？要求什么？
师：要求红领巾的面积，其实就是求什么？
归纳：要求红领巾的面积，其实就是求底是100 cm、高是33 cm的三角形的面积。
(3)学生独立解答。
(4)学生汇报，教师板书，规范书写。
(5)对照实物与计算结果，帮助学生建立一定的空间观念。
三、巩固应用
1．教材第92页“做一做”第1题。(演示。)
(1)学生独立完成。
(2)同桌互相说说自己是怎样做的。
2．教材第92页“做一做”第2题。(演示。)
(1)学生独立完成。
(2)全班集体交流：这个三角形的底和高分别是多少？怎样计算它的面积？
四、课堂小结
今天我们推导出了三角形的面积计算公式，还学习了利用公式解决生活中的实际问题。在推导计算公式时，我们选择将两个完全一样的锐角三角形、直角三角形或钝角三角形拼摆在一起，转化成已知的平行四边形面积来研究，再通过观察对比发现转化前后三角形与平行四边形之间的等量关系，从而推导出三角形的面积计算公式等于底乘高除以2。今天依然是利用转化的思想解决遇到的问题，最后还利用公式顺利解决了生活中的实际问题。
第3课时　梯形的面积
教学目标
1．通过操作、观察、比较等活动，自主探索梯形面积的计算公式，渗透转化的数学思想方法。
2．能正确地应用公式计算梯形的面积，并能解决生活中一些简单的实际问题。
重难点
重点：探索并掌握梯形面积的计算公式。
难点：理解梯形面积计算公式的推导过程，体会转化的思想。
教学准备
课件、学具(两个完全重合的梯形、一个和之前两个梯形不重合的梯形、剪刀、尺子、透明的方格纸)。
教学设计
一、复习导入
1．平行四边形底是50dm，高是26dm。它的面积是多少平方分米？
2．三角形底是5cm，高是4cm。它的面积是多少平方厘米？
全班核对答案，汇报交流。
师：平行四边形、三角形的面积计算公式分别是什么？
师：它们之间有什么联系呢？
生：因为两个完全重合的三角形可以拼成一个平行四边形，所以平行四边形面积的计算公式的一半就是三角形面积的计算公式。
二、探究新知
1．提出问题。(出示教材第95页的主题图。)
师：同学们在图中发现了什么？
师：车窗玻璃的形状是梯形。怎样求出它的面积呢？
师：你能用学过的方法推导出梯形的面积计算公式吗？
2．动手操作。
(1)选择合适的材料，进行操作。(同桌合作。)
(2)反馈交流。
让各小组充分展示操作过程。关键了解学生是怎样想的？询问其余同学是否有疑问？在操作中学生会发现，只有两个完全重合的梯形才能拼成一个平行四边形。
预设：①数方格；②拼摆，转化成平行四边形；③割，转化成两个三角形；④割，转化成一个平行四边形和一个三角形。
3．公式推导。
(1)师：方法①的数方格的方法中渗透着割补法的思想；方法②到方法④都是把梯形转化成我们已经学过面积计算方法的图形。先以方法②为例，观察原有的梯形和转化后的平行四边形，你发现它们之间有哪些等量关系？
生：梯形的上底与下底的和等于平行四边形的底，梯形的高和平行四边形的高相等。梯形的面积是平行四边形的面积的一半。
学生边说，教师边演示。
师：如果用S表示梯形的面积，a表示梯形的上底，b表示梯形的下底，h表示梯形的高，梯形的面积公式还可以写成：S＝(板书)。
(2)师：观察方法③，如果把梯形割成两个三角形，如何来推导梯形的面积计算公式呢？这两个三角形和原来的梯形有什么样的等量关系呢？
生：三角形1的底就是梯形的上底，三角形2的底就是梯形的下底，两个三角形的高都和梯形的高相等。两个三角形的面积之和就是梯形的面积。
学生边说，教师演示。
师：为了方便，我们直接用a表示梯形的上底，用b表示梯形的下底， h表示梯形的高，梯形的面积公式可以写成：S＝(a＋b)h÷2。
教师：这与前面推导出来的梯形面积计算公式是一样的。
(3)师：观察方法④，如果把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，又如何推导公式呢？割成的平行四边形、三角形和原来的梯形有什么样的等量关系呢？
生：平行四边形的底就是梯形的上底，三角形的底等于梯形的下底减上底，平行四边形、三角形和梯形的高是相等的。平行四边形的面积加三角形的面积就等于梯形的面积。
学生边说，教师演示。其中的计算过程稍复杂，可配合教师讲解完成。
师：这和前面推导出来的结论是一样的。
师：通过上面多种转化方法，我们知道了梯形的面积计算公式，现在你知道要计算梯形的面积需要哪些数据了吗？(上底、下底、高。)
4．出示教材第96页例3。
师：什么是横截面？
请学生独立解决，全班核对答案。
师：因为我们刚刚开始学梯形的面积公式，对公式不熟，所以计算时可以先写上公式，再列算式。等以后熟练了，公式可以省略。
四、巩固应用
教材第96页“做一做”。
师：这题特别要看清楚问题，问的是“它们的面积分别是多少”，所以问的是“左边梯形的面积是多少”和“右边梯形的面积是多少”，千万不要把“分别”看成“共”，变成求整个大梯形的面积。
五、课堂小结
师：回顾本节课所学的内容，你最大的收获是什么？
第4课时　组合图形的面积
教学目标
1．结合生活实际认识组合图形，并掌握用分解法或添补法求组合图形的面积。
2．根据各种组合图形的自身条件，选择有效的计算方法进行面积计算。
重点难点
重点：理解组合图形的多种面积计算方法，会找出计算每个简单图形所需的条件。
难点：根据组合图形的条件，有效地选择计算组合图形面积的方法。
教学准备
课件、各种平面图形、七巧板。
教学设计
一、情境导入
师：同学们都玩过七巧板吧，在七巧板里都有哪些图形呢？(长方形、三角形、平行四边形……)
师：你能用七巧板拼出什么图形来？
指几名学生用七巧板拼出图形，并展示。 通过学生拼出的图形引出组合图形的定义：由两个或两个以上的简单图形组成的不规则图形叫组合图形。
师：这节课我们就一起来学习求组合图形的面积。(板书课题：组合图形的面积。)
二、探究新知
1．师：在实际生活中，有许多图形都是由几个简单的图形组合而成的。(出示教材第99页的各种图形。) 这些组合图形里有哪些是学过的图形？同学们试着找一找。
小组合作，尝试找出情境图中的组合图形是由哪些图形组成的，并交流汇报。 汇报时学生可能对相同的图形有不同的组合方法，特别是对队旗的组成，在此要鼓励学生发表不同的看法。
学生可能会想到：队旗是由两个梯形组成，或是由一个长方形和两个三角形组成，还可以看成由一个梯形和一个三角形组成；小房子的表面是由一个三角形和一个正方形组成的；风筝的面是由四个小三角形组成的。
2．师：请同学们说一说在生活中还有哪些地方有组合图形？
学生可能会想到：厨房里的三角架、房子的分布图、桌子等。
3．师：关于组合图形，你还想研究它的什么知识？
学生可能想到研究它的周长，也可能想到研究它的面积。
适时点拨：它们的周长就是围成图形的所有线段的长度的和。这节课我们重点研究组合图形的面积。
4．出示教材第99页例4。
引导学生观察图并思考：怎样计算出这个组合图形的面积？ 组织学生小组合作学习，说一说是怎样分的，然后再算一算。
集体汇报，学生可能会想到两种方法：
(1)把组合图形分成一个三角形和一个正方形，先分别算出三角形和正方形的面积，再相加。 教师可将学生的分法展示， 并根据学生回答板书：5×5＋5×2÷2＝25＋5＝30(m2)。
(2)把这个组合图形分成两个完全一样的梯形。先算出一个梯形的面积，再乘2就可以了。 教师可将学生的分法展示，并根据学生回答板书：(5＋5＋2)×(5÷2)÷2×2＝12×2.5÷2×2＝30(m2)
教师鼓励学生算法的多样化，并选择自己喜欢的方法计算。
三、巩固应用
1．教材第101页“练习二十二”第1题。
先让学生对组合图形分一分，说一说是如何分割的，再计算。 学生可能会把组合图形分成一个平行四边形和一个三角形，也可能分成两个三角形和一个梯形。这时要让学生对这两种方法进行比较，从而选择较简便的方法解决问题。
2．教材第101页“练习二十二”第2题。
本题图形是队旗，在例题里已经对其进行了简单的分析，这里可以让学生思考“能用几种方法计算”，拓展学生的思维。 学生可能会想到：把队旗分成两个梯形，求两个梯形面积的和；或者把队旗分成一个长方形和两个三角形，求它们的面积之和；或者用一个长方形的面积减去一个三角形的面积求队旗的面积。
3．教材第101页“练习二十二”第3题。
先独立思考如何计算，再自主算一算。通过这两道题的练习，让学生知道计算组合图形的面积时，不只是能用加法计算，有时也可以用一个图形面积减去另一个图形的面积。
四、课堂小结
师：这节课你学会了什么？有哪些收获？
引导总结： 1.由两个或两个以上的简单图形组成的不规则图形叫组合图形。
2．求组合图形的面积时，可以把它分割成我们学过的简单图形，计算出简单图形的面积后再相加。
3．计算组合图形的面积时，不只是能用加法计算，有时也可以用一个图形的面积减去另一个图形的面积。
第5课时　方格图中不规则图形的面积估算
教学目标
1．初步掌握通过将不规则图形近似地看作可求面积的多边形来求图形的面积。
2．用数格子方法和近似图形求面积法估测不规则图形的面积。
重难点
重点：将规则的简单图形和形似的不规则图形建立联系。
难点：掌握估算的习惯和方法的选择。
教学准备
课件、树叶、透明方格纸。
教学设计
一、情境导入
出示图片：秋天的图片。
师：秋天一到，到处都是飘落的树叶，老师想把这些美丽的树叶带入数学课里来研究，我们可以研究它的什么呢？
学生回答，并根据学生的回答板书课题：树叶的面积。
出示一片树叶，先让学生指一指树叶的面积是哪一部分？指名几名学生上台指一指。
引导学生思考：它是一个不规则的图形，那么面积如何计算呢？
学生通过交流，会想到用方格数出来，如果想不到教师可以提醒学生。
二、探究新知
1．出示教材第100页情境图中的树叶。
师：这片叶子的形状不规则，怎么计算面积呢？
让学生思考，并在小组内交流。
学生可能会想到：可以将树叶放在透明方格纸上来计数。
对学生的回答要给予肯定，并强调还是要用一个统一的标准的方格进行计数。
2．出示教材第100页情境全图。
引导学生观察情境图，说一说发现了一些什么情况？
学生可能会看出：树叶在方格纸中，出现了满格、半格，还出现了大于半格和小于半格的情况。
3．自主探索树叶的面积。
明确：为了计算方便，要先在方格纸上描出叶子的轮廓图。
师：同学们请估一估，这片叶子的面积大约是多少平方厘米。
让学生自主猜测。 再让学生数一下整格的：一共有18格。
师：不满一格的怎么办？
小组交流讨论，汇报。
通过讨论，学生可能会想到：可以把少的与多的拼在一起算一格；也可以把大于等于半格的算一格，小于半格的舍去不算。
提示：如果把不满一格的都按半格计算，这片叶子的面积大约是多少平方厘米？ 学生通过数方格可以得出：这片叶子的面积大约是27cm2。
质疑：为什么这里要说树叶的面积是“大约”？
学生自主回答：因为有的多算，有的不算，算出的面积不是准确数。
4．让学生拿出树叶及小方格纸，以小组为单位研究树叶面积的计算。
小组合作进行测量、计算，并汇报本组测量的树叶的面积大约是多少。
5．引导：你还能用其他方法来计算树叶的面积吗？
小组讨论、交流。学生有了前面学习的经验后，会想到可以把叶子的图形转化成学过的平面图形来估算。 让学生观察叶子的形状近似于我们学过的哪种图形。(平行四边形。)
师：你能将树叶的图形近似转化成平行四边形吗？
学生回答，师根据学生的回答出示将叶子转化成平行四边形的过程(即教材第100页第三幅情境图)。 再让学生数一数这个平行四边形的底与高分别是多少，再尝试计算。 (平行四边形的底是5cm，高6cm。)
学生自主解答，并汇报。 根据学生汇报板书计算过程：
S＝ah＝5×6＝30(cm2)
6．让学生再说一说，你是怎样估算树叶的面积？
学生可能会回答：通过数方格估算面积，把不规则图形转化为学过的图形来估算。
三、巩固应用
1．教材第102页“练习二十二”第8题。
先让学生数一数阴影部分的面积大约是多少。汇报时让学生说一说是怎么数的。
学生可能数的是阴影部分；也有的把阴影部分填补成学过的图形，算出图形的面积再减去填补的图形的面积。让学生对这两种方法进行比较，从中选出较简单的方法计算。
提示：第一幅图还可以把图形添上一个三角形填补成一个梯形，算出梯形的面积再减去三角形的面积，从而求出准确值。
2．教材第102页“练习二十二”第9题。
通过上一题对计算方法的选择，师引导学生先把这个图形转化成学过的近似图形，再估算。
3．教材第102页“练习二十二”第10题。
先让学生运用自己喜欢的方法估计一下图上手掌的面积，再估一估自己手掌的面积大约是多少。
四、课堂小结
师：这节课你学会了什么？有哪些收获？
引导总结： 1.求不规则图形的面积时，可以通过数方格来估算图形的面积，也可以把不规则图形转化为学过的图形来估算。2.不规则图形的面积都不是准确值，而是一个近似数。
第6课时　整理和复习
教学目标
1．进一步理解并巩固平面图形面积的计算方法，并能正确运用公式进行面积的计算。掌握各种平面图形的面积公式之间的联系，使学生形成知识网络。
2．巩固利用分割、填补等方法求组合图形面积的方法。
重难点
重点：理解平面图形面积计算公式之间的内在联系，完善知识结构体系。
难点：掌握“转化”的数学思想，建构知识网络。
教学准备
课件。
教学设计
一、复习回顾
师：想一想我们学过了哪些平面图形的面积？请同学们将它们的字母公式写出来。
学生自由发言，说出各个图形的面积公式。
1．回顾公式的推导过程。(出示教材第103页第1题。)
(1)师：这些平面图形的面积计算公式分别是怎样推导出来的呢？
请在小组内交流下，并思考：这几个面积公式在推导的过程中分别用了什么方法？
学生小组交流讨论，让学生选择一个图形的面积公式说一说是怎么推导出来的。教师根据学生说的分别展示。
(2)沟通公式间的联系，完善知识体系。
师：在小学阶段，我们为什么首先学习长方形的面积计算公式？
生：正方形、平行四边形面积公式都是在长方形面积的基础上推导出来的，三角形、梯形的面积公式又是在平行四边形面积公式的基础上推导出来的。
生：在推导图形的面积公式时将这些图形转化成我们学过的图形进行研究。转化是一种重要的数学思想，在这些面积公式的研究过程中用的就是转化的思想。
(3)引导：这几种平面图形之间存在着内在的联系。让学生试着用图形表示出它们之间的联系。
2.出示教材第103页第2题。
师：想一想，我们在求组合图形的面积时，经常用到哪几种方法？
学生回忆交流：切割法和填补法。
让学生尝试做一做。在小组内交流做法，并说一说想出了几种方法。
二、巩固应用
1．教材第104页“练习二十三”第1题。
让学生先说一说各种图形的面积计算公式再独立完成。
2．教材第104页“练习二十三”第3题。
让学生思考要想求共需要多少块砖要先算什么？这是一个组合图形，它的面积应该怎样计算？
学生独立完成后交流汇报：要先算墙面。把它看成一个正方形和一个三角形的面积之和进行计算。
3.教材第104页“练习二十三”第4题。
先让学生说一说解题思路，再列式计算。
4．教材第105页“练习二十三”第7题。
先让学生说一说火箭分别是由哪些图形组成的，再算一算。
5．教材第105页“练习二十三”第8题。
学生独立数一数，然后估算方格图中不规则图形的面积，小组交流。
三、课堂小结
这节课你学会了哪些内容？
学生自由发言，全班交流汇报。

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