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(共27张PPT)
（华师大版）八年级
上
14.1.1 直角三角形三边的关系
勾股定理
第14章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形结合的思想。
2、理解直角三角形的三边关系，会应用勾股定理解决简单的数学问题。
新知讲解
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火
生活中的数学
这要用到直角三角形的知识.怎么用呢？
新知讲解
直角三角形的三边有什么关系？
（图中每一格代表一平方厘米）
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
上面三个正方形的面积之间有什么关系
观察正方形瓷砖铺成的地面.
（3）正方形R的面积是 平方厘米.
（1）正方形P的面积是 平方厘米；
（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
新知讲解
等腰直角三角形中，两直角边的平方和=斜边的平方.
一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
（图中每一格代表一平方厘米）
R
Q
P
A
C
B
想一想
新知讲解
P的面积(单位长度) Q的面积(单位长度) R的面积(单位长度)
图2
图3
P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系
Q
P
R
Q
P
R
A
B
C
A
B
C
9
16
25
9
4
13
SP+SQ=SR
BC2+AC2=AB2
(每一小方格表示1平方厘米)
BC2+AC2=AB2
（图3）
（图2）
如何计算R的面积呢？
新知讲解
Q
P
R
Q
P
R
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.
S正方形R
方法一：
新知讲解
Q
P
R
Q
P
R
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
S正方形R
方法二：
新知讲解
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
13
5
12
A
B
C
52+122=132 上述关系成立
新知讲解
提炼概念
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2＋b2＝c2.
变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；
a
A
B
C
b
c
∟
作用：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，已知其中任意两边可以求出第三边；
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
运用勾股定理：①只有在直角三角形中才可以使用②若分不清哪条边是斜边时，则要分类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解 ．
新知讲解
勾股定理的验证
赵爽弦图
a
b
c
b-a
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
证明：
这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为
2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
知识卡
新知讲解
大正方形的面积可以表示为 ;
也可以表示为 .
(a+b)2
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理吗？
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
典例精析
例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8. 求AC.
解：根据勾股定理，可得
AB2 + BC2 = .
所以 AC =
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.
新知讲解
例2 如图14.1.6, Rt△ABC的斜边AC比直角边
AB长2cm,另一直角边BC长为6 cm.求AC的长.
解： 由已知AB=AC-2,BC=6cm,
根据勾股定理 ,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得 AC = 10( cm).
C
A
B
图14.1.6
新知讲解
例3 如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远
图14.1.7
新知讲解
解 如图14.1.7,在Rt△ABC中，
AC=160米，BC=128米，
根据勾股定理，可得
=96(米).
答:从点A穿过湖到点B有96米.
图14.1.7
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(　　)
A．13　 B．26 C．47 D．94
C
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．
(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长
为
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边
的长为
【综合拓展类作业】
课堂练习
3. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
所以BC=0.7.
课堂总结
认识勾股定理
勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角三角形三边的关系．
由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
明确直角边和斜边
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. 有下列说法：①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长，则必有a2＋b2＝c2；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c，则c2＝a2＋b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则b2＋c2＝a2.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得c＝
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得a＝
(3)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又∵∠C＝90°，c＝5，
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝
作业布置
【综合拓展类作业】
3.观察图14.1 5中的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，
正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边为直径向三角
形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系
式是 (用图中字母表示)；
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，
分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)
中得出的结论求阴影部分的面积．
作业布置
【综合拓展类作业】
(1)根据正方形的面积公式结合勾股定理可得DF2
＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)S1＝π ，S2＝π ，S3＝
π ，另外由勾股定理可知AC2＋BC2
＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直
角三角形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知
两个小半圆形的面积和＝大半圆形的面积，所
以阴影部分的面积＝直角三角形的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 14.1.1 直角三角形三边的关系
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1、会用数格子的方法求正方形的面积. 2、在直角三角形中，已知两边能求第三边.
课前学习任务
复习引入 问题情境 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火
课上学习任务
【学习任务一】 探究一： 图14.1.1是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即AC2+BC2=AB2 在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢 观察图14.1.2,如果每一小方格表示1平方厘米， 那么可以得到: 正方形P的面积=_________平方厘米; 正方形Q的面积=_________平方厘米; 正方形R的面积=__________平方厘米. (每一小方格表示1平方厘米) 图14.1.2 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系___________________________ 由此，我们得出Rt △ABC的三边长度之间存在的关系是________________ 画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 由上面的探索可以发现:对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 这种关系我们称为勾股定理. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 【学习任务二】 探究二： 图14.1.4是弦图的示意图,它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形.大正方形的面积等于c2 ,同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和,于是有4·ab + (b-a)2= c2 ,化简即得a2+ b2= c2,这就证明了勾股定理. 图14.1.4 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图14.1.5所示的图形与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程. 【学习任务三】 例1 在Rt△ABC中，已知∠B=90°,AB=6, BC=8.求AC. 例2 如图14.1.6, Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm,另一直角边BC长为6 cm.求AC的长. 例3 如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远 图14.1.7 注意: (1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。 (2)勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系:两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(　　) A．13　 B．26 C．47 D．94 选做题： 2.已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长． 【综合拓展类作业】 3. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少 【知识技能类作业】 必做题： 1. 有下列说法：①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长，则必有a2＋b2＝c2；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c，则c2＝a2＋b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则b2＋c2＝a2.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 选做题： 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b. 【综合拓展类作业】 3.观察图14.1 5中的图形，回答问题： (1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9， 正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________； (2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是 (用图中字母表示)； (3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级上册第14章
课标要求 1.学生能够理解并掌握勾股定理的概念和几何意义。2.学生能够熟练推导和证明勾股定理（包括几何证明和代数证明）。3.学生能够运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长、判断三角形的形状等。4.学生能够了解直角三角形的判定方法，并掌握通过两边和夹角判断三角形形状的技能。5.学生能够初步了解反证法的思想，并能在简单问题中应用反证法进行证明。
内容分析 本单元的新知内容主要包括以下几个方面：勾股定理的发现：学生需要了解勾股定理的历史背景、发现过程以及它在数学史上的重要地位。这有助于激发学生的学习兴趣和探索欲望。勾股定理的证明：掌握勾股定理的多种证明方法，如赵爽弦图证明法、欧几里得证明法等。这些证明过程不仅加深了学生对勾股定理的理解，还锻炼了他们的逻辑推理能力。勾股定理的应用：学生需要学会如何将勾股定理应用于解决实际问题，如测量距离、判断三角形的形状等。这要求学生具备将实际问题抽象为数学模型的能力。直角三角形的判定方法：除了利用勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形外，学生还需要掌握其他判定方法，如根据角的大小、边的比例关系等。反证法的初步应用：在证明勾股定理或解决相关问题时，学生可能会接触到反证法的思想。这是一种重要的数学证明方法，有助于培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
学情分析 八年级的学生正处于逻辑思维能力和抽象思维能力快速发展的阶段。他们的学习能力具有以下特点：自主学习能力增强：随着年级的升高，学生的自主学习能力逐渐增强。他们能够独立阅读教材、查阅资料并尝试解决问题。这为教师采用探究式、合作式等教学方法提供了可能。逻辑推理能力提高：七年级的代数学面几何学习为学生打下了一定的逻辑推理基础。在勾股定理单元的学习中，学生将进一步提高他们的逻辑推理能力，学会从已知条件出发推导出未知结论。学生之间在数学基础、学习态度和思维习惯等方面存在差异。部分学生对数学的兴趣浓厚，基础扎实，思维敏捷；而部分学生则可能感到数学难度较大，存在畏难情绪。在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的策略。八年级学生已经具备了一定的几何和代数基础，能够理解和运用基本的几何性质和代数运算。他们对于勾股定理这一重要数学定理的理解和应用可能还不够深入。反证法作为一种逻辑推理方法，对学生来说也是一个新的挑战。在教学中需要注重引导学生通过直观感知、动手操作、合作交流等方式，逐步深入理解勾股定理及其应用。
单元目标 教学目标1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会用勾股定理解决相关问题。3、掌握勾股定理的逆定理，会运用勾股定理的逆定理解决相关问题。4、运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。（二）教学重点、难点教学重点：　　(1）引导学生深入理解勾股定理的概念和几何意义，掌握其推导和证明过程;　　(2)通过解决实际问题引导学生运用勾股定理计算直角三角形的边长、判断三角形的形状等;(3)引导学生掌握通过两边和夹角判断三角形形状的技能并理解其背后的几何原理；（4）初步了解反证法，能够运用反证法证明一些简单的几何命题。教学难点：勾股定理的推导和证明过程需要学生具备较高的逻辑推理能力和抽象思维能力，因此在教学过程中需要采用多种方法帮助学生理解并掌握其推导和证明过程。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）教学策略建议本单元的核心聚焦于勾股定理的学习与应用，这一经典定理不仅是平面几何领域的璀璨明珠，也是连接代数与几何的重要桥梁。通过学习本单元，学生将深入理解勾股定理的精髓，掌握其推导过程，并进一步领悟其在解决实际问题中的广泛应用价值。勾股定理的重要性勾股定理，这一古老而又常新的数学定理，揭示了直角三角形三边之间的深刻关系。它表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。这一简洁而有力的公式，不仅在几何学中占据核心地位，而且在物理、工程、计算机科学等多个领域发挥着至关重要的作用。通过本单元的学习，学生将学会如何证明勾股定理，掌握多种推导方法，从而加深对这一经典定理的理解。直角三角形的判定除了勾股定理本身，本单元还将深入探讨直角三角形的判定方法。学生将学习如何通过角、边等条件识别直角三角形，掌握判定定理的应用。这一过程将帮助学生巩固对直角三角形性质的理解，为后续的学习打下坚实的基础。反证法的初步应用在证明勾股定理及探讨直角三角形性质的过程中，学生将接触到反证法这一重要的逻辑推理方法。反证法通过假设某个命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。这种独特的证明方式将极大地锻炼学生的逻辑思维能力，使他们学会从不同角度审视问题，寻找问题的突破口。实际应用能力的培养本单元不仅注重理论知识的传授，更强调实际应用能力的培养。学生将通过一系列贴近生活的实例，学会运用勾股定理解决实际问题。无论是测量高度、距离，还是设计图形、分析数据，勾股定理都将展现出其强大的实用价值。这一过程将帮助学生将数学知识与现实生活紧密相连，提升他们的实践能力和创新意识。本单元以勾股定理为核心，围绕直角三角形的判定、反证法的应用等多个方面展开教学。通过系统的学习和实践，学生将全面掌握勾股定理的相关知识，提升逻辑推理能力和问题解决能力，为后续的数学学习和职业生涯奠定坚实的基础。（三）学生学习能力分析八年级的学生正处于逻辑思维能力和抽象思维能力快速发展的阶段。他们的学习能力具有以下特点：自主学习能力增强：随着年级的升高，学生的自主学习能力逐渐增强。他们能够独立阅读教材、查阅资料并尝试解决问题。这为教师采用探究式、合作式等教学方法提供了可能。逻辑推理能力提高：七年级的代数学面几何学习为学生打下了一定的逻辑推理基础。在勾股定理单元的学习中，学生将进一步提高他们的逻辑推理能力，学会从已知条件出发推导出未知结论。合作探究意愿增强：八年级学生更愿意与同学进行合作探究，共同解决问题。这种合作探究的学习方式有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力和批判性思维能力。学生之间在数学基础、学习态度和思维习惯等方面存在差异。部分学生对数学的兴趣浓厚，基础扎实，思维敏捷；而部分学生则可能感到数学难度较大，存在畏难情绪。在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的策略。（四）学习障碍突破策略为了帮助学生克服在学习勾股定理过程中可能遇到的学习障碍，教师可以采取以下突破策略：直观演示与动手操作相结合：利用多媒体教学工具进行直观演示，如通过动画展示勾股定理的证明过程或直角三角形的构造过程。组织学生进行动手操作活动，如使用尺规作图构造直角三角形、验证勾股定理等。这些活动有助于学生直观感受勾股定理的几何意义，降低学习难度。分层教学与个别辅导相结合：强对学困生的个别辅导和帮助。教师可以利用课余时间对学困生进行一对一辅导或组织小组互助学习，帮助他们解决学习中的困惑和难题。问题解决与反思总结相结合：设计贴近学生生活实际的问题情境，引导学生运用勾股定理解决实际问题。通过解决实际问题，学生不仅能够加深对勾股定理的理解和应用能力，还能够培养他们的问题解决能力和创新意识。通过对八年级学生学习勾股定理单元的学情分析可以看出：学生在进入该单元学习之前已经具备了一定的平面几何和代数基础；然而在学习过程中仍可能面临一定的挑战和困难。为了帮助学生克服这些困难并取得良好的学习效果，教师需要采取直观演示、分层教学、问题解决和激发兴趣等多种教学策略相结合的方法来指导学生进行学习。
课时安排课时编号单元主要内容课时数 14.1.1 直角三角形三边的关系1 14.1.2 直角三角形的判定1　4.1.3 反证法1　14.2.1 勾股定理的应用 教案114.2.2 勾股定理的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务14.1.1 直角三角形三边的关系1、会用数格子的方法求正方形的面积.2、在直角三角形中，已知两边能求第三边.1.在直角三角形中，已知两边能求第三边．2.能根据题意理解直角三角形三边的关系．活动一：完成探究问题和做一做．活动二：例题和练习，培养学生观察，归纳的能力．14.1.2 直角三角形的判定1、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题；2、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题.1.理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用．2.理解勾股定理逆定理的推导．活动一：完成探究问题．活动二：通过例题会运用相关概念解决问题．活动三：理解勾股定理逆定理的推导．4.1.3 反证法1.通过实例，体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题．1.运用反证法进行推理论证．2.理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”．活动一：了解反证法的基本步骤 ．活动二：完成探究问题，合作学习．活动三：解答例题和针对练习．会用反证法证明简单的命题. 14.2.1 勾股定理的应用 教案1、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.2、掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算．1. 掌握勾股定理的应用．2.将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题．活动一：完成探究问题，合作学习．活动二：解答例题和针对练习．掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 14.2.2 勾股定理的应用1.熟记边角边公理的内容．2.能应用边角边公理证明明两个三角形全等．1.学会运用公理证明两个三角形全等．2.找出证明两个三角形全等的条件．活动一：经历探索边角边公理的内容．活动二：会运用公理证明两个三角形全等．活动三：解答例题和针对练习.
《第14章 勾股定理》单元教学设计教学设计
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分课时教学设计
第1课时《14.1.1 直角三角形三边的关系》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会用勾股定理解决相关问题．
学习者分析 深入理解勾股定理的概念和几何意义，掌握其推导和证明过程．
教学目标 1、会用数格子的方法求正方形的面积. 2、在直角三角形中，已知两边能求第三边.
教学重点 掌握勾股定理，会用勾股定理解决相关问题．
教学难点 掌握勾股定理其推导和证明过程．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 问题情境 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评， 借助生活实例让学生独立思考数学问题；从而揭示今天所学的课题， 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题.会用数格子的方法求正方形的面积，体验勾股定理的探索过程． 环节二：教师活动2： 探究一： 图14.1.1是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即AC2+BC2=AB2 在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢 观察图14.1.2,如果每一小方格表示1平方厘米， 那么可以得到: 正方形P的面积=_________平方厘米; 正方形Q的面积=_________平方厘米; 正方形R的面积=__________平方厘米. (每一小方格表示1平方厘米) 图14.1.2 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系___________________________ 由此，我们得出Rt △ABC的三边长度之间存在的关系是________________ 画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 由上面的探索可以发现:对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 这种关系我们称为勾股定理. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 探究二： 图14.1.4是弦图的示意图,它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形.大正方形的面积等于c2 ,同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和,于是有4·ab + (b-a)2= c2 ,化简即得a2+ b2= c2,这就证明了勾股定理. 图14.1.4 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图14.1.5所示的图形与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，能根据题意理解直角三角形三边的关系.环节三：教师活动3 例1 在Rt△ABC中，已知∠B=90°,AB=6, BC=8.求AC. 解：根据勾股定理，可得 AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC = 例2 如图14.1.6, Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm,另一直角边BC长为6 cm.求AC的长. 图14.1.6 解： 由已知AB=AC-2,BC=6cm, 根据勾股定理 ,可得 AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2， 解得 AC = 10( cm). 例3 如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远 图14.1.7 解 如图14.1.7,在Rt△ABC中， AC=160米，BC=128米， 根据勾股定理，可得 =96(米). 答:从点A穿过湖到点B有96米. 注意: (1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。 (2)勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系:两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题．掌握勾股定理，会用勾股定理解决相关问题．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(　　) A．13　 B．26 C．47 D．94 选做题： 2.已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长． 【综合拓展类作业】 3. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 有下列说法：①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长，则必有a2＋b2＝c2；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c，则c2＝a2＋b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则b2＋c2＝a2.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 选做题： 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b. 【综合拓展类作业】 3.观察图14.1 5中的图形，回答问题： (1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9， 正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________； (2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是 (用图中字母表示)； (3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
教学反思
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