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6.2.2 线段的比较与运算知识点讲解
知识点 1 线段的长短比较
【举例讲解】
1.图1-4-2是几个小朋友对臂长、手掌大小及绳子长短的比较方法，你能得到什么启发
比较臂长的同学把两臂伸开，一只手对齐，看另一只手所在的位置；比较绳子长短的同学将绳子的一端对齐，看另一端所在的位置；比较手掌大小的同学将手掌的下端对齐，看手指所在的位置.这种比较方法称为叠合法.
2.图1-4-3是一个四棱锥，由图形可知，这个四棱锥由八条棱组成，这八条棱实际是八条线段，你能比较出这八条线段的长短吗
对于四棱锥来说，利用叠合法比较困难，不容易操作，那么四棱锥的棱的长短怎样比较呢 可以利用刻度尺测量每条棱的长短，通过测量数值的大小来说明棱的长短.这种方法称为度量法.
【归纳总结】
知识归纳
(1)度量法：分别测出两条线段的长度，比较测量结果数值的大小，以此确定线段的长短.这是最科学的方法，不但能够比较出大小，而且能够求出两条线段的差.比如两条线段的长分别为AB=3.5cm,CD=3.6cm,则有ABAB).使用这种方法一般采用相同的测量标准，单位统一，精确程度一致，保证比较的结果真实可信.这是我们小学学过的方法.
(2)叠合法：把所要比较的两条线段放在同一条直线上进行比较.如图1﹣4﹣4所示，画一条直线l，在l上先作出线段AB，再作出线段 CD，并使点C与点A重合，点D 与点B位于点A的同侧.那么：
①如果点 D 与点 B 重合，就说线段AB 与线段 CD 相等，记作AB=CD,如图1﹣4﹣4(a)所示;
②如果点 D 在线段AB 的内部，就说线段AB 大于线段CD，记作AB>CD,如图1-4-4(b)所示;
③如果点 D 在线段AB 的外部，就说线段AB 小于线段 CD，记作AB拓展点：截取法
张开圆规的两脚，使之与一条线段的两个端点重合，保持圆规的张开程度不变，移到另一条线段上，使圆规的一脚对准一个端点(即以该端点为圆心)，保持原来的张开程度(即以第一条线段的长为半径)画圆(或弧)，如果第二条线段的另一个端点落在圆的内部，则第一条线段的长度大于第二条线段的长度；如果第二条线段的另一个端点落在圆的外部，则第一条线段的长度小于第二条线段的长度；如果第二条线段的另一个端点正好落在圆上，则第一条线段的长度等于第二条线段的长度.由于这种方法相当于在一条线段(或者它的延长线)上截取另一条线段的长，所以叫做“截取法”.
方法归纳
叠合法是“形”的一种比较，度量法是“数”的一种比较，要注意这两种方法的区别与联系.
知识点 2 线段的性质与两点间的距离
【举例讲解】
情境一：如图1-4-7，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢 试用所学数学知识来说明这个问题.
情境二：如图1-4-8所示，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问：抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短 请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由.
你认为运用数学知识为人类服务时应注意什么
在情境一的问题中，可以看出学生所走的路线是一条线段，如果不这样走，绕草坪走，则走的距离要远一些.距离就是两点间线段的长度，与这条线段相比，其他走法都是远的；在情境二的问题中，要想使管道最短，只有两个点与抽水站在同一条线段上，所以连接AB，线段AB 与河流的交点就是抽水站.
【归纳总结】
知识归纳
两点之间的距离：两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离.
线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短.简单地说，两点之间，线段最短.
方法归纳
要强调两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，而不是两点间的线段，线段是几何图形，线段的长度是数值.
知识点 3 线段的画法
【举例讲解】
老师让同桌之间相互出题，小明给同桌出了几个画线段的题，如图1-4-11所示，要求同桌所画的线段与他所画的线段相等，小明的同桌尝试了几次，总是画得有偏差，你能帮助他吗
虽然叠合法和度量法都能比较线段的长短，但是在作线段时，因为测量会有误差，所以用度量法得到的线段的长短有差异，因此可以利用圆规作线段，作法是把圆规的一端与线段的一个端点对齐，另一端与线段的另一个端点对齐，固定圆规的张角.再画出一条射线，然后将圆规的一端与这条射线的端点对齐，另一端在射线上画一个弧，这样画出的线段与原线段是等长的.
【归纳总结】
知识归纳
尺规作图法，如图1-4-12所示：
(1)作射线A'C'.
(2) 以点A'为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A'C'于点 B'，A'B'就是所要作的线段.
说明：(1) 尺规是指没有刻度的直尺与圆规.
(2) 作图时要正确使用作图工具，尽量减小误差，要求用铅笔作图，保留作图痕迹.
(3) 求作线段的和与差，都可以先画一条射线，然后在这条射线上截取相应的线段，求和时顺次截取叠加，求差时从线段中截去.
方法归纳
线段的和差画法：
已知两条线段a,b(a>b),如图1-4-13所示.
和的画法：①先画线段AB=a；②在线段AB的延长线上截取BC=b,则线段AC就是线段a,b的和,如图1-4-14所示.
差的画法:①先画线段AB=a;②在线段AB上截取AC=b,则线段BC就是线段a，b的差，如图1-4-15所示.
知识点4 线段的中点
【举例讲解】
1.如图1-4-19所示，小明在一张透明的纸上画了一条线段AB，他利用折叠的方法让两个端点A，B重合，发现折痕与线段有一个交点，这个交点把线段分成两部分，这两部分相等，这个点是线段的一个特殊点.
这个点把线段分成相等的两份，这个点称为线段的中点.
2.如图1-4-20所示，你能用两条线段的和(或差)表示另外一条线段吗 请试一试.
从图形中可以看出线段AC 是由两条线段组成的，一条线段是AD，另一条线段是DC，所以可以得到AC=AD+DC，同理可以得到AD=AC-DC,DC=AC-AD.某一条线段可以利用两条线段的和或差来表示.
【归纳总结】
知识归纳
线段的中点的概念：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，那么这个点叫做这条线段的中点.
借助图形，利用线段的和或差可以表示某条线段.
说明：线段中点的表达.
如图1-4-21 所示,若 C 是线段 AB 中点,则( 点 C 也叫线段 AB 的二等分点.
拓展点：点C和点 D把线段AB分成三条相等的线段，如图1-4-22 所示,点 C 和点 D 叫做线段 AB 的三等分点,依此类推，有四等分点、五等分点等.
方法归纳
线段中点的概念有两层含义：一方面体现了线段中点的性质，即已知中点得线段相等；另一方面可用来判定线段的中点，即已知线段相等得中点.
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课后满分闯关
1.平面上A，B两点间的距离是指( )
A.直线AB B.射线AB
C.线段AB D.线段AB的长度
2.下列说法正确的是( )
A.两点确定两条直线
B.三点确定一条直线
C.过一点只能作一条直线
D.过一点可以作无数条直线
3.如图1-4-30，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是( )
A.两点之间，线段最短
B.两点之间，直线最短
C.两点确定一条直线
D.三个点不能在同一直线上
4.把两条线段AB 和 CD 放在同一条直线上比较长短时，下列说法错误的是( )
A.如果线段 AB 的两个端点均落在线段 CD 的内部,那么ABB.如果 A,C 重合,B 落在线段 CD 的内部,那么ABC.如果线段AB 的一个端点在线段 CD 的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB>CD
D.如果B,D 重合,A,C 位于点 B的同侧,且A落在线段CD的外部,那么AB>CD
5. M是线段AB 上的一点，其中不能判定点 M 是线段 AB 中点的是( )
A. AM+BM=AB B. AM=BM
C. AB=2BM
6.下列语句正确的是( )
A.画直线AB=10 cm
B.画直线l的中点
C.画射线 OB=3c m
D.延长线段AB到点 C,使得 BC=AB
7.如图1-4-31,完成下列填空:
(1)图中的线段有 , , , , 共六条;
+ ,CB= + ;
BC- ;
(4)AB= + .
8.(1)已知线段AB 等于15 cm,在线段AB 上画线段BC等于5cm,则线段AC的长为 cm;
(2)已知线段AB 等于15 cm,在直线AB 上画线段BC等于5cm,则线段AC的长为 cm.
9. 如图1-4-32,已知点C是线段AB 上的一点,AC:BC=1:2,AB=12 cm,D,E两点分别是线段AC,BC的中点，那么DE 的长度是多少呢 如果把AC：BC改为1：5，其他条件不变，那么DE的长度为多少呢
1.答案：D 解析：距离是一个数值，不能把它理解为几何图形，本题中A，B两点间的距离就是线段AB的长度.
2.答案：D 解析：过一点可以作无数条直线，正确.故选 D.
3.答案：C 解析：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是两点确定一条直线.
4.答案：C 解析：A项，如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么ABCD，故本选项正确.故选 C.
5.答案：A 解析：A不能判定，并且A 中点M的位置都不确定.
6.答案：D 解析：A项，直线没有长度；B项，直线没有中点；C项，射线没有长度；D项，正确.
7.答案:(1)AC AD AB CD CB DB
(2)AC CD DB;AC CD;CD DB
(3)BC;AC;DB
(4)AD DB 或AC CB
8.答案:(1)10 (2)10或20
解析:(1)点C一定要在线段AB上,所以AC=AB-BC=10 cm.
(2)点C 可在线段AB上，也可在线段AB 的延长线上.当点 C 在线段AB 上时(如图1-3所示),AC=AB-BC=10cm;当点C在线段AB的延长线上时(如图1-4所示),AC=AB+BC=20cm,所以AC的长度为10 cm或20cm.
9.解:因为 D,E分别是AC,BC的中点,所以 所以 所以不论AC 与BC之比为多少,DE的长均为6 cm.

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