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(共25张PPT)
第五章 一元一次方程
5.3.3一元一次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，
建立数学模型
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列
方程解应用题
3.能从实际问题中抽象出数学问题，找出等量关系，用一元一次方程解决
03
新知导入
小明和小华相距 100 米，他们同时出发，相向而行，小明每秒走 3 米，小华每秒走 4 米，他们能相遇吗？几秒钟可以相遇？
这道题是小学做过的一种很常见的应用题：行程问题，
用到的数量关系主要有：
路程=平均速度×时间；
时间=路程÷平均速度.
行程问题就是要抓住速度、路程、时间三个量之间的关系，找出等量关系，正确地列出方程，解决实际问题.
02
新知探究
小明每天早上要到距家1000 m的学校上学.一天,小明以80 m/min的速度出发,出发后5 min,小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是,爸爸立即以180 m/min的速度沿同一条路去追小明,并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间 追上小明时,距离学校还有多远
(1)问题中有哪些已知量和未知量
已知量：家与学校的距离1000m，,
,爸爸比小明晚5分钟
未知量：追及时间，追上时离校距离
02
新知探究
(2)想象一下追及的过程,你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗
设爸爸追上小明用了x min.当爸爸追上小明时,两人所行路程相等,如图所示.
80×5
80x
180x
家
学校
小明
爸爸
画图分析数量关系是一种有效方法。
03
新知讲解
根据等量关系，可列出方程:_______________。
解这个方程，得x=__________。
因此，爸爸追上小明用了______min，此时距离学校还有_____m。
80×5＋80x=180x.
4
4
180×4=720（m），1000－720=280（m）.
280
根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。
03
新知讲解
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
（1）对于同向同时不同地的问题，
甲的行程＝两出发地的距离+乙的行程；
甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：
(2) 对于同向同地不同时的问题，
甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．
注意：同向而行注意始发时间和地点．
03
新知讲解
例1、小明和小华两人在400 m的环形跑道上练习长跑,小明每分钟跑260 m,小华每分钟跑300 m,两人起跑时站在跑道同一位置.
(1)如果小明起跑后1 min小华才开始跑,那么小华用多长时间能追上小明
(2)如果小明起跑后1 min小华开始反向跑,那么小华起跑后多长时间两人首次相遇
03
新知讲解
(1)解:设小华用x min追上小明,根据等量关系,可列出方程260+260x=300x.
解这个方程,得x=6.5.
因此,小华用6.5 min追上小明.
(2)解:设小华起跑后x min两人首次相遇,根据等量关系,可列出方程260x+300x=400-260.
解这个方程,得x=0.25.
因此,小华起跑后0.25 min两人首次相遇.
03
新知讲解
思考 交流
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么 与同伴进行交流。
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示:
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
实际问题的解
数学问题的解
（一元一次方程的解）
抽象
寻找等量关系
解释
验证
解方程
03
新知讲解
回顾 反思
回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验
借助表格和线段图寻找等量关系。
培养了数形结合思想的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6米，甲先跑 10 秒，乙开始跑，设乙 x 秒后追上甲，依题意列方程得 ( )
A. 6x = 4x B. 6x = 4x + 40
C. 6x = 4x-40 D. 4x + 10 = 6x
2. 甲车在乙车前 500 千米，同时出发，速度分别为每小时 40 千米和每小时 60 千米，多少小时后，乙车追上甲车？设 x 小时后乙车追上甲车，则下面所列方程正确的是 ( )
A. 60x = 500 B. 60x = 40x - 500
C. 60x = 40x + 500 D. 40x = 500
B
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为 　150(12＋x)＝240x　 ．
150(12＋x)＝240x　
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.甲、乙两站的距离为450 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85 km.两车同时开出，相向而行， 　3　 小时后两车相遇．
3　
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5．汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时．已知船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时，求甲、乙两地之间的距离．
解：设甲、乙两地之间的距离为x千米．
根据题意，得-＝1.5.
解得x＝120.
答：甲、乙两地之间的距离为120千米．
05
课堂小结
行程问题
相遇问题：甲路程+乙路程=总路程
追击问题：快车路程-慢车路程=路程差
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.A，B两地相距37千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，甲比乙晚出发1小时，乙出发5小时后两人在途中相遇，已知甲每小时比乙多走1千米，设甲每小时走x千米．根据题意可列方程（　A　）
A．4x＋5(x－1)＝37 B．5x＋4(x－1)＝37
C．4x＋5(x＋1)＝37 D．5x＋4(x＋1)＝37
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2．一列火车匀速行驶，经过一条长2 000 m的隧道需要50 s，隧道顶部的一盏固定灯，在火车上垂直照射的时间为10 s，则火车的长为（　B　）
A．400 m B．500 m
C． m D．600 m
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则由题意可列方程 .
x(x＋12)＝864
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4．环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米．
(1)如果两人同时同地反向而行，那么经过 　16　 秒两人第一次相遇；
(2)如果两人同时同地同向而行，那么经过 　　 秒两人第一次相遇．
16　
　
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.某中学学生步行到距离学校20千米的郊外游玩．女学生组成前队，步行速度为4千米/时，男学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．后队追上前队需要多长时间？这段时间联络员走的路程是多少？
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：设后队追上前队需要x小时．
根据题意，得(6－4)x＝4×1.解得x＝2.
则10×2＝20(千米)．
答：后队追上前队需要2小时，这段时间联络员走的路程是20千米．
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第五章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。3.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是北师大版七年级（上）数学第3章《一元一次方程》，属于《标准》中的“数与代数”领域中的“方程和不等式”。本章主要学习一元一次方程的概念、等式的基本性质、一元一次方程的解法及应用。重点是理解等式的基本性质。掌握解一元一次方程的一般步骤，列方程解决实际问题的基本思路;难点在于解一元一次方程，并利用一元一次方程解决简单的实际问题。列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。
学情分析 学生大多活泼、好动，注意力时间比较短，喜欢多变、宽松的教学环境。利用多媒体计算机通过声、像、动画等学生喜闻乐见的形式，以其新颖性艺术性吸引学生的注意力，为学生创设符合童心理特点的教学情境不断地给学生以新的刺激，使学生的大脑始终保持兴奋状态，激发了学生强烈的学习欲望，增强了学习兴趣
单元目标 教学目标1.经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。2.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及在解方程中的作用。3.会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想。了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活应用。4.能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。（二）教学重点、难点教学重点：根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程;解一元一次方程的步骤;运用一元一次方程解决实际问题。教学难点:根据题意找出“等量关系”，列出一元一次方程解应用题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1认识方程15.2一元一次方程的解法45.3一元一次方程的应用3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1认识方程1.理解方程、方程的解的概念2.根据问题情境寻找等量关系，根据等量关系列出方程．1.能区分方程、代数式2.通过计算找出方程的解3.正确分析问题中的相等关系，并列出方程任务1：认识方程任务2：理解方程的概念任务3：方程的解和解方程5.2一元一次方程的解法1.理解并掌握等式的性质2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程3.学会合并(同类项)，去括号的方法，去分母的方法解一元一次方程，进一步体会化归思想4.掌握解一元一次方程的一般步骤1.掌握等式的性质2.利用等式的性质解一元一次方程3.掌握解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、去括号、去分母、系数化为1并能正确对一元一次方程进行求解任务1.探究等式性质1，2任务2：利用合并同类项解一元一次方程任务3：利用移项解一元一次方程任务4：利用去括号解一元一次方程任务5：利用去分母解一元一次方程任务6：归纳解一元一次方程的一般步骤5.3一元一次方程的应用1、经历运用方程解决几何这一类实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.2.经历运用方程解决盈亏类实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.3.通过行程问题的探究，进一步探究实际问题中的数量关系，找出主要的相等关系，解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力正确分析问题中的相等关系，列出方程并根据实际得出问题的解决方案任务1.借助几何图形的面积或周长关系列方程 任务2.根据实际问题中的盈亏关系列方程 任务3.根据行程问题中的等量关系列方程。
《一元一次方程》单元教学设计
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究方程，一元一次方程的概念
5.1认识方程
活动3：区分方程的解和解方程
活动1：引入课题
活动2：探究等式的性质1
一元一次方程
5.2一元一次方程的解法(第1课时)
活动3：探究等式的性质2
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第2课时)
活动2：探究合并同类项，移项
活动3：通过探究会解一元一次方程
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第3课时)
活动2：探究去括号解一元一次方程
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第4课时)
活动2：探究去分母解一元一次方程
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：应用几何图形中的等量关系列方程
5.3一元一次方程的应用(第1课时)
活动3：例题讲解
一元一次方程
活动4：总结一元一次方程应用的步骤
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
5.3一元一次方程的应用(第2课时)
活动2：探究生活中的盈亏问题
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：复习行程问题中的等量关系式
5.3一元一次方程的应用(第3课时)
活动3：探究行程问题的一元一次方程的应用
活动4：例题讲解
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分课时教学设计
《5.3.3一元一次方程的应用》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 这节课选自北师大版初中数学七年级上册第五章第3节第三课时，属于“数与代数”知识领域。它是在学生已经学习了一元一次方程的认识及求解的基础上进行教学的，学生学好这部分知识将为今后进一步学习应用题及二元一次方程等知识打好基础，因此，这部分内容起着承上启下的作用，要使学生切实学好。
学习者分析 学生在小学已经学过有关行程问题的应用题，熟悉路程、时间、速度之间的关系，已能利用“线段图”来解决一些简单的应用题。通过本章前几节的学习，对一元一次方程的有关知识及应用也有了一定的了解及掌握，已初步感受到方程是解决实际问题的一种有效途径。
教学目标 1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型 2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题 3.能从实际问题中抽象出数学问题，找出等量关系，用一元一次方程解决
教学重点 会画“线段图”分析行程问题中的等量关系;
教学难点 借助“线段图”分析行程问题中的等量关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 小明和小华相距 100 米，他们同时出发，相向而行，小明每秒走 3 米，小华每秒走 4 米，他们能相遇吗？几秒钟可以相遇？ 这道题是小学做过的一种很常见的应用题：行程问题， 用到的数量关系主要有： 路程=平均速度×时间； 时间=路程÷平均速度. 行程问题就是要抓住速度、路程、时间三个量之间的关系，找出等量关系，正确地列出方程，解决实际问题.学生活动1： 通过回顾知识的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：通过复习，唤起学生对行程问题的认知，温习路程、时间、速度之间的关系，培养学生的预习习惯。环节二：新知探究教师活动2： 小明每天早上要到距家1000 m的学校上学.一天,小明以80 m/min的速度出发,出发后5 min,小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是,爸爸立即以180 m/min的速度沿同一条路去追小明,并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间 追上小明时,距离学校还有多远 (1)问题中有哪些已知量和未知量 已知量：家与学校的距离1000m，, ,爸爸比小明晚5分钟 未知量：追及时间，追上时离校距离 (2)想象一下追及的过程,你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗 设爸爸追上小明用了x min.当爸爸追上小明时,两人所行路程相等,如图所示. 画图分析数量关系是一种有效方法。 根据等量关系，可列出方程:_______________。 解这个方程，得x=__________。 因此，爸爸追上小明用了______min，此时距离学校还有_____m。 180×4=720（m），1000－720=280（m）. 根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题： （1）对于同向同时不同地的问题， 甲的行程＝两出发地的距离+乙的行程； (2) 对于同向同地不同时的问题， 甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程． 注意：同向而行注意始发时间和地点．学生活动2： 让学生仔细阅读问题,然后确定等量关系,画出线段图,列方程求解,并在小组内交流解题思路,最后小组选派代表发言,教师集体讲评活动意图说明：让学生感受生活中我们常常会遇到类似的问题，从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边的、感兴趣的“能否追上小明”这一事件，激发学生的好奇心，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题、便于引起每位同学的兴趣。环节三：探究新知教师活动3： 例1、小明和小华两人在400 m的环形跑道上练习长跑,小明每分钟跑260 m,小华每分钟跑300 m,两人起跑时站在跑道同一位置. (1)如果小明起跑后1 min小华才开始跑,那么小华用多长时间能追上小明 (2)如果小明起跑后1 min小华开始反向跑,那么小华起跑后多长时间两人首次相遇 (1)解:设小华用x min追上小明,根据等量关系,可列出方程260+260x=300x. 解这个方程,得x=6.5. 因此,小华用6.5 min追上小明. (2)解:设小华起跑后x min两人首次相遇,根据等量关系,可列出方程260x+300x=400-260. 解这个方程,得x=0.25. 因此,小华起跑后0.25 min两人首次相遇.学生活动3： 让学生利用线段图进行分析,然后独立列出方程求解,指名回答,并说明理由.活动意图说明：通过线段图分析,再次感受分析实际应用题的过程,提高学生解决实际问题的能力.环节四：新知探究教师活动4： 思考 交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么 与同伴进行交流。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 回顾 反思 回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验 借助表格和线段图寻找等量关系。 培养了数形结合思想的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力。学生活动4： 师生交流，归纳小结活动意图说明：师生交流、归纳小结的目的是让学生学习表述自己的收获，培养及时归纳知识的习惯和提炼归纳的能力。
板书设计 5.3.3一元一次方程的应用 行程问题： 相遇问题：路程=速度和×时间 追及问题：路程=速度差×时间
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6米，甲先跑 10 秒，乙开始跑，设乙 x 秒后追上甲，依题意列方程得 ( ) A. 6x = 4x B. 6x = 4x + 40 C. 6x = 4x-40 D. 4x + 10 = 6x 2. 甲车在乙车前 500 千米，同时出发，速度分别为每小时 40 千米和每小时 60 千米，多少小时后，乙车追上甲车？设 x 小时后乙车追上甲车，则下面所列方程正确的是 ( ) A. 60x = 500 B. 60x = 40x - 500 C. 60x = 40x + 500 D. 40x = 500 选做题： 3．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为 　 　 ． 4.甲、乙两站的距离为450 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85 km.两车同时开出，相向而行， 　　 小时后两车相遇． 【综合拓展类作业】 5．汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时．已知船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时，求甲、乙两地之间的距离．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.A，B两地相距37千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，甲比乙晚出发1小时，乙出发5小时后两人在途中相遇，已知甲每小时比乙多走1千米，设甲每小时走x千米．根据题意可列方程（　A　） A．4x＋5(x－1)＝37 B．5x＋4(x－1)＝37 C．4x＋5(x＋1)＝37 D．5x＋4(x＋1)＝37 2．一列火车匀速行驶，经过一条长2 000 m的隧道需要50 s，隧道顶部的一盏固定灯，在火车上垂直照射的时间为10 s，则火车的长为（　B　） A．400 m B．500 m C． m D．600 m 选做题 3.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则由题意可列方程 . 4．环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米． (1)如果两人同时同地反向而行，那么经过 　　 秒两人第一次相遇； (2)如果两人同时同地同向而行，那么经过 　　 秒两人第一次相遇． 【综合拓展类作业】 5.某中学学生步行到距离学校20千米的郊外游玩．女学生组成前队，步行速度为4千米/时，男学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．后队追上前队需要多长时间？这段时间联络员走的路程是多少？
教学反思 关于线段图学生接触得不多，但是有所了解，昨天让学生完成了本节课的预习作业，早晨看了一下，发现大家还是喜欢用列表的方式解决，我想原因有两个:一是列表法曾经学过，二是列表比画线段图要简单得多。但是，简单的列表，并不能清楚地呈现题目的条件和问题，更无法体现他们之间的内在联系，今天的新课上，一定要让学生体会画图的优越性，不能只图列表简单，要从解题的实用价值出发。
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