资源简介

(共26张PPT)
第五章 一元一次方程
5.3.1一元一次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1. 能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想；
2.通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系；
3.通过列方程解应用题，培养学生分析问题、解决实际问题的能力；
4.借助列表分析问题中的数量关系,体会列表的简洁性、直观性。
03
新知导入
h
r
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变.
=
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
02
新知探究
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米
(1)这个问题中包含哪些量 它们之间有怎样的等量关系
包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、
高、容积
02
新知探究
“容积不变”
等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积
改造前
改造后
直径(半径)减少，高如何变化？
03
新知讲解
　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息
03
新知讲解
(3)根据等量关系，列出方程
设新包装的高度为 x cm
根据等量关系列出方程
=
答：新包装的高度为14.52cm
列方程的关键找出问题中的等量关系
解这个方程得：x=14.52
03
新知讲解
例1、用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形.
(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米
(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化
(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化
03
新知讲解
分析：本题涉及哪些量 它们之间有怎样的数量关系？
铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积.
等量关系： (长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度)
解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m.
根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10
解得 x=1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
03
新知讲解
(2)解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m.
根据题意，得 2(x+0.8)＋2x＝10
解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，
长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2)
(1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大
6.09-5.76＝0.33(m2)
03
新知讲解
(3)设正方形的边长为x m
根据题意，得 4x=10
解得 x=2.5
正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)，
比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2)
03
新知讲解
在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量
列方程的思路是什么 与同伴进行交流
思考·交流
所列方程的两边分别表示：
长方形的周长和铁丝的长度
列方程的思路：
先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(　　)
A．6 cm　B．7 cm　C．8 cm　D．9 cm
2.欲将一个长、宽、高分别为150 mm、150 mm、20 mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100 mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是(　　)
A.1200 mm B. mmC．120π mm D．120 mm
B
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图,在一张正方形纸板的四角处各剪去一个小正方形,并将剩下的部分折成一个无盖长方体盒子,若折成的长方体盒子的底面边长为30 cm,体积为9000 cm3,则原正方形纸板的边长为　 cm.
50
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图,轩轩将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条的面积为多少 为解决这个问题,轩轩设原正方形的边长为x cm,则依题意可得方程 。
4x=5(x-4)
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm、8 cm的长方体钢块锻造成一个底面为正方形的长方体零件钢坯,其中底面正方形的边长为12 cm,试问锻造前长方体的钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大 请你计算比较.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解:设锻造后的长方体零件钢坯的高为x cm.
根据题意,得15×12×8=12×12×x,解得x=10.所以锻造前长方体的钢块表面积为2×(15×12+15×8+12×8)=792(cm2);锻造后的长方体零件钢坯的表面积为2×(12×12+12×10+12×10)=768(cm2).因为792>768,所以锻造前长方体的钢块表面积大.
05
课堂小结
一元一次方程的应用
图形等长变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等积变化
列
⑤检
④解
设
审
⑥答
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 如图，根据图中给出的信息，可列出方程为（　A　）
A. π· · x ＝π· ·（ x ＋5）
B. π· · x ＝π· ·（ x －5）
C. π·82· x ＝π·62·（ x ＋5）
D. π·82· x ＝π·62·5
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( )
A．20 cm B．24 cm
C．48 cm D．144 cm
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 已知一个长方形的周长为36cm，若将长方形的长减少1cm，
宽扩大为原来的2倍，则该长方形变为正方形.设原来长方形的
长为 x cm，则可列方程为 .
4.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面圆半径为10cm，
原容器内水的高度为12cm.把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入
水中后，容器内的水将升高 厘米（圆柱的体积＝底面积
×高）
x -1＝2（18－ x ）　
0.5
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米.你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？
篱笆
墙壁
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，
根据题意得：2x+（x+5）=35
解得：x=10．
因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．
根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米，
根据题意得2y+（y+2）=35
解得：y=11．
因此小王设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11 ×13=143（平方米）．
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第五章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。3.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是北师大版七年级（上）数学第3章《一元一次方程》，属于《标准》中的“数与代数”领域中的“方程和不等式”。本章主要学习一元一次方程的概念、等式的基本性质、一元一次方程的解法及应用。重点是理解等式的基本性质。掌握解一元一次方程的一般步骤，列方程解决实际问题的基本思路;难点在于解一元一次方程，并利用一元一次方程解决简单的实际问题。列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。
学情分析 学生大多活泼、好动，注意力时间比较短，喜欢多变、宽松的教学环境。利用多媒体计算机通过声、像、动画等学生喜闻乐见的形式，以其新颖性艺术性吸引学生的注意力，为学生创设符合童心理特点的教学情境不断地给学生以新的刺激，使学生的大脑始终保持兴奋状态，激发了学生强烈的学习欲望，增强了学习兴趣
单元目标 教学目标1.经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。2.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及在解方程中的作用。3.会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想。了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活应用。4.能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。（二）教学重点、难点教学重点：根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程;解一元一次方程的步骤;运用一元一次方程解决实际问题。教学难点:根据题意找出“等量关系”，列出一元一次方程解应用题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1认识方程15.2一元一次方程的解法45.3一元一次方程的应用3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1认识方程1.理解方程、方程的解的概念2.根据问题情境寻找等量关系，根据等量关系列出方程．1.能区分方程、代数式2.通过计算找出方程的解3.正确分析问题中的相等关系，并列出方程任务1：认识方程任务2：理解方程的概念任务3：方程的解和解方程5.2一元一次方程的解法1.理解并掌握等式的性质2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程3.学会合并(同类项)，去括号的方法，去分母的方法解一元一次方程，进一步体会化归思想4.掌握解一元一次方程的一般步骤1.掌握等式的性质2.利用等式的性质解一元一次方程3.掌握解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、去括号、去分母、系数化为1并能正确对一元一次方程进行求解任务1.探究等式性质1，2任务2：利用合并同类项解一元一次方程任务3：利用移项解一元一次方程任务4：利用去括号解一元一次方程任务5：利用去分母解一元一次方程任务6：归纳解一元一次方程的一般步骤5.3一元一次方程的应用1、经历运用方程解决几何这一类实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.2.经历运用方程解决盈亏类实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.3.通过行程问题的探究，进一步探究实际问题中的数量关系，找出主要的相等关系，解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力正确分析问题中的相等关系，列出方程并根据实际得出问题的解决方案任务1.借助几何图形的面积或周长关系列方程 任务2.根据实际问题中的盈亏关系列方程 任务3.根据行程问题中的等量关系列方程。
《一元一次方程》单元教学设计
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究方程，一元一次方程的概念
5.1认识方程
活动3：区分方程的解和解方程
活动1：引入课题
活动2：探究等式的性质1
一元一次方程
5.2一元一次方程的解法(第1课时)
活动3：探究等式的性质2
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第2课时)
活动2：探究合并同类项，移项
活动3：通过探究会解一元一次方程
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第3课时)
活动2：探究去括号解一元一次方程
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第4课时)
活动2：探究去分母解一元一次方程
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：应用几何图形中的等量关系列方程
5.3一元一次方程的应用(第1课时)
活动3：例题讲解
一元一次方程
活动4：总结一元一次方程应用的步骤
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
5.3一元一次方程的应用(第2课时)
活动2：探究生活中的盈亏问题
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：复习行程问题中的等量关系式
5.3一元一次方程的应用(第3课时)
活动3：探究行程问题的一元一次方程的应用
活动4：例题讲解
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分课时教学设计
《5.3.1一元一次方程的应用》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 学生学习一元一次方程的含义，并掌握了解法后，通过分析图形问题中的数量关系，建立一元一次方程并用之解决实际问题，是学生运用数学知识解决生活中实际问题中的典型素材，可提高学生解决问题的能力，提高学习数学的兴趣，形成学以致用的思想，认识方程运用模型的重要环节。
学习者分析 学生已经掌握了解、列方程的基本方法，在此过程中也初步掌握了运用方程解决实际问题的一般过程，基本会通过分析简单问题中已知量与未知量的关系列出方程解应用题，但学生在列方程解应用题时常常会遇到从题设条件中找不到所依据的等量关系，或虽能找到等量关系，但不能列出方程的问题。
教学目标 1. 能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想； 2.通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系； 3.通过列方程解应用题，培养学生分析问题、解决实际问题的能力； 4.借助列表分析问题中的数量关系,体会列表的简洁性、直观性。
教学重点 使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，列出方程．
教学难点 关键是让学生抓住问题变化中的不变量，确定等量关系
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ 我们通过本节课的学习一起来探究这个问题吧！学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：创设情境，让学生带着问题，激发学生探究新知识的兴趣，引出课题。环节二：新知探究教师活动2： 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米 (1)这个问题中包含哪些量 它们之间有怎样的等量关系 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 (2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程，= 解这个方程得x=14.52 答：新包装的高度为14.52cm学生活动2： 老师展示内容后，让学生独立思考完成，老师巡堂，并给予指导． 活动意图说明：将上述环节中体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节学的解方程方法解决实际问题，引导学生通过填表，找到等量关系，正确列出方程.环节三：探究新知教师活动3： 例1、用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米 (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化 (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化 分析：本题涉及哪些量 它们之间有怎样的数量关系？ 解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m. 根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10 解得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. (2)解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m. 根据题意，得 2(x+0.8)＋2x＝10 解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m， 长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2) (1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)， 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09-5.76＝0.33(m2) (3)设正方形的边长为x m 根据题意，得 4x=10 解得 x=2.5 正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)， 比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2)学生活动3： 给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 活动意图说明：让学生手、眼、脑等感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.环节四：新知探究教师活动4： 思考·交流 在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量 列方程的思路是什么 与同伴进行交流 所列方程的两边分别表示： 长方形的周长和铁丝的长度 列方程的思路： 先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程.学生活动4： 师生共同总结活动意图说明：通过小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点
板书设计 5.3.1一元一次方程的应用 列方程解应用题的关键： 找出题目中的等量关系，当题目中的等量关系不止一个时，一般选包含已知量和未知量条件较多的等量关系列方程，另一个等量关系用来设未知数. 等积变形型应用题是指物体的形状发生了改变，但物体的体积(面积、周长)未发生改变，这种问题解决的方案是抓住变形中的不变量列方程求解．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(　　) A．6 cm　B．7 cm　C．8 cm　D．9 cm 2.欲将一个长、宽、高分别为150 mm、150 mm、20 mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100 mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是(　　) A.1200 mm B. mm C．120π mm D．120 mm 选做题： 3.如图,在一张正方形纸板的四角处各剪去一个小正方形,并将剩下的部分折成一个无盖长方体盒子,若折成的长方体盒子的底面边长为30 cm,体积为9000 cm3,则原正方形纸板的边长为　 cm. 4.如图,轩轩将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条的面积为多少 为解决这个问题,轩轩设原正方形的边长为x cm,则依题意可得方程 。 【综合拓展类作业】 5.将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm、8 cm的长方体钢块锻造成一个底面为正方形的长方体零件钢坯,其中底面正方形的边长为12 cm,试问锻造前长方体的钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大 请你计算比较.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图，根据图中给出的信息，可列出方程为（　　） A.π· ·x ＝π· ·（ x ＋5） B.π· ·x ＝π· ·（ x －5） C. π·82· x ＝π·62·（x ＋5） D. π·82· x ＝π·62·5 2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( ) A．20 cm B．24 cm C．48 cm D．144 cm 选做题 3. 已知一个长方形的周长为36cm，若将长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍，则该长方形变为正方形.设原来长方形的长为 x cm，则可列方程为 . 4.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面圆半径为10cm，原容器内水的高度为12cm.把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，容器内的水将升高 厘米（圆柱的体积＝底面积×高） 【综合拓展类作业】 5.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米.你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？
教学反思 本节课的优点在于创设问题情境，联系生活实际，激发学生的学习动机，以最正确的状态投入到课堂中。所设置的问题难度逐层递进，让这些连续的阶段性问题持续的激发学生的学习热忱和探究学问的爱好，促使学习到达最正确境界。充分发挥学生的主体作用，让学生自觉参加到课堂中来。让学生口语表达或板书，缔造时机，鼓舞学生动手动口，以到达教学要求。并借助多媒体展示来指导学生，促进思维实力的开展，最终再指导学生用简练的语言概括教学问题。增加学生的自主学习实力，而且让学生从数学的角度去分析和总结生活中的问题学会能在不同的角度去探求生活经历，从而让学生驾驭学问的同时使思想水平和情感看法价值观都得到提高。
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