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(共26张PPT)
第五章 一元一次方程
5.3.2一元一次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.借助表格寻找等量关系。
2.能利用一元一次方程解决简单的与销售有关的实际问题
3.能从实际问题中抽象出数学问题，找出等量关系，用一元一次方程解决
03
新知导入
《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》
中最重要的一部。
《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题:
“今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四。问
人数、物价各几何 ”
你知道我国古人是如何解决这个问题的吗
02
新知探究
今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四。问:人数、物价各几何 题目大意:几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱;若每人出7 钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少
(1)问题中有哪些已知量和未知量 它们之间有怎样的等量关系
已知量:每人出8钱,多3钱;每人出7钱,少4钱。
未知量:人数、物价。
等量关系:每人出8钱 x人数一多出的3钱=每人出7钱x人数+还少的4钱。
02
新知探究
(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗 请完成下表。
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数
出钱总数
金价
x
8x-3
x
7x+4
8x
7x
利用表格分析数量关系是一种有效方法。
03
新知讲解
(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程
设人数为x。
根据等量关系，列出方程:________________。
解这个方程，得x=_____。
因此，人数为_________，物价为______钱。
8x-3=7x+4
7
7
53
03
新知讲解
如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程 与同伴进行交流。
设物价为y，可列方程为=
03
新知讲解
例1 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金，人出四百，盈三千四百;人出三百，盈一百。问:人数、金价各几何
题目大意:几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱;每人出300 钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少
分析:设人数为x，你能把下表补充完整吗
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数
出钱总数
金价
x
400x-3400
x
300x-100
400x
300x
03
新知讲解
解:设合伙人数为x，则金价可表示为(400x-3400)钱，还可表示为(300x-100)钱，根据等量关系，列出方程:
400x-3400 =300x-100。
解这个方程，得x=33。
300x33-100=9 800。
因此，人数为33，金价为9800 钱。
方程的两边就是金价的两种不同的表达式。
03
新知讲解
思考 交流
(1)对于例1，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程
解：设金价为y钱,根据题意列方程,得=,
解这个方程,得y=9800.
==33.
因此,人数为33,金价为9800钱.
03
新知讲解
(2)《九章算术》给出了一种算法:
人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差
物价=每人出的钱数x人数-剩余钱数
你能理解这种解法吗 与方程的求解过程相比，有什么不同
与同伴进行交流。
03
新知讲解
能理解。
人数为(3 400-100)÷(400-300)=33。
金价为 400x33-3400=9800(钱)。
方程的求解过程是根据等式的性质求未知数的值,而这种解法是直接列算式进行运算。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：共有几个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，则下面所列方程正确的是（　　）
A．9x + 11 = 6x - 16 B．9x - 11 = 6x + 16
C．6x - 11 = 9x + 16 D．6x + 11 = 9x - 16
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 牛奶是家家户户早餐的选择，现某奶站每天需要配送若干瓶牛奶，若每个送奶员配送 10 瓶，还剩 6 瓶；若每个送奶员配送 12 瓶，还差 6 瓶。设该奶站现有送奶员 x 人，根据题意列方程为（　　）
A．10x + 6 = 12x - 6
B．10x - 6 = 12x + 6
C．10 + 6x = 12 - 6x
D．10 - 6x = 12 + 6x　
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:“庭前孩童闹如簇,不知人数不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齐足.”其大意是:孩童们在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4个梨,多12个梨;每人分6个梨,恰好分完.设梨有x个,则可列方程为　　　　　.
=
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问城中家几何 大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.则城中有　　　　户人家.
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04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。问:人、银各几何 (选自《算法统宗》)
题目大意:几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两;若每人分9两，则差8两。有多少个人 有多少两银子
解:设有x个人,根据题意,得7x+4 = 9x-8，
解得x = 6。 7x+4 = 7x6+4= 46。
所以有6个人,有46两银子。
05
课堂小结
实
际
问
题
建立
模型
确
定
等
量
关
系
列表
分析
列
方
程
并
求
解
归纳
总结
求
解
思
路
应用
求解古
数学盈
亏问题
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.把一些笔记本分给某班学生,如果每人分2本,则剩余20本;如果每人分3本,则还缺30本,设该班有x名学生,可列一元一次方程为( )
A.2x-20=3x-30 B.2x+20=3x+30
C.2x-20=3x+30 D.2x+20=3x-30
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.幼儿园王阿姨给小朋友分苹果,如果每人分3个.则剩余1个;如果每人分4个,则还差2个.问有多少个苹果 设幼儿园有x个小朋友,则可列方程为( )
A.3x-1=4x+2 B.3x+1=4x-2
C.= D.=
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.程大位,明代珠算发明家,被称为卷尺之父.少年时,读书极为广博,对数学颇感兴趣,60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简称《算法统宗》).《算法统宗》中有这样一道题,其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两.请问:这一群人共有多少人 所分的银子共有多少两 若设共有x人,则可
列方程为______________.
　7x+4=9x-8　
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.近年来,网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送,若每个快递员派送10件,还剩6件;若每个快递员派送12件,还差6件,那么该分派站现有 件包裹
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06
作业布置
【综合拓展类作业】
5、某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行,租用同型号客车4辆,
还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位.求该客车的载客量.
解：设该客车的载客量为x人,
根据题意得:4x+30=5x-10,
解得x=40.
答:该客车的载客量为40人.
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第五章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。3.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是北师大版七年级（上）数学第3章《一元一次方程》，属于《标准》中的“数与代数”领域中的“方程和不等式”。本章主要学习一元一次方程的概念、等式的基本性质、一元一次方程的解法及应用。重点是理解等式的基本性质。掌握解一元一次方程的一般步骤，列方程解决实际问题的基本思路;难点在于解一元一次方程，并利用一元一次方程解决简单的实际问题。列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。
学情分析 学生大多活泼、好动，注意力时间比较短，喜欢多变、宽松的教学环境。利用多媒体计算机通过声、像、动画等学生喜闻乐见的形式，以其新颖性艺术性吸引学生的注意力，为学生创设符合童心理特点的教学情境不断地给学生以新的刺激，使学生的大脑始终保持兴奋状态，激发了学生强烈的学习欲望，增强了学习兴趣
单元目标 教学目标1.经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。2.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及在解方程中的作用。3.会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想。了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活应用。4.能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。（二）教学重点、难点教学重点：根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程;解一元一次方程的步骤;运用一元一次方程解决实际问题。教学难点:根据题意找出“等量关系”，列出一元一次方程解应用题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1认识方程15.2一元一次方程的解法45.3一元一次方程的应用3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1认识方程1.理解方程、方程的解的概念2.根据问题情境寻找等量关系，根据等量关系列出方程．1.能区分方程、代数式2.通过计算找出方程的解3.正确分析问题中的相等关系，并列出方程任务1：认识方程任务2：理解方程的概念任务3：方程的解和解方程5.2一元一次方程的解法1.理解并掌握等式的性质2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程3.学会合并(同类项)，去括号的方法，去分母的方法解一元一次方程，进一步体会化归思想4.掌握解一元一次方程的一般步骤1.掌握等式的性质2.利用等式的性质解一元一次方程3.掌握解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、去括号、去分母、系数化为1并能正确对一元一次方程进行求解任务1.探究等式性质1，2任务2：利用合并同类项解一元一次方程任务3：利用移项解一元一次方程任务4：利用去括号解一元一次方程任务5：利用去分母解一元一次方程任务6：归纳解一元一次方程的一般步骤5.3一元一次方程的应用1、经历运用方程解决几何这一类实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.2.经历运用方程解决盈亏类实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.3.通过行程问题的探究，进一步探究实际问题中的数量关系，找出主要的相等关系，解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力正确分析问题中的相等关系，列出方程并根据实际得出问题的解决方案任务1.借助几何图形的面积或周长关系列方程 任务2.根据实际问题中的盈亏关系列方程 任务3.根据行程问题中的等量关系列方程。
《一元一次方程》单元教学设计
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究方程，一元一次方程的概念
5.1认识方程
活动3：区分方程的解和解方程
活动1：引入课题
活动2：探究等式的性质1
一元一次方程
5.2一元一次方程的解法(第1课时)
活动3：探究等式的性质2
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第2课时)
活动2：探究合并同类项，移项
活动3：通过探究会解一元一次方程
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第3课时)
活动2：探究去括号解一元一次方程
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
5.2一元一次方程的解法(第4课时)
活动2：探究去分母解一元一次方程
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：应用几何图形中的等量关系列方程
5.3一元一次方程的应用(第1课时)
活动3：例题讲解
一元一次方程
活动4：总结一元一次方程应用的步骤
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
5.3一元一次方程的应用(第2课时)
活动2：探究生活中的盈亏问题
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：复习行程问题中的等量关系式
5.3一元一次方程的应用(第3课时)
活动3：探究行程问题的一元一次方程的应用
活动4：例题讲解
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分课时教学设计
《5.3.2一元一次方程的应用》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容主要是通过研究盈不足问题进一步巩固学习一元一次方程知识，是在学生已经掌握一元一次方程解法以及解决几何问题后又一节列方程解应用题的内容，进一步要求学生能够提取现实问题中的数学信息，能快速分析出各数量间的关系，有效地解决问题。
学习者分析 通过上一节内容的学习，学生已经积累了一定的用方程解决实际问题的经验和基础，掌握了列方程解应用题的一些规律和方法，能够正确分析和理解题意，找到题目中隐藏的等量关系，具备了进一步学习的知识基础和能力要求。
教学目标 1.借助表格寻找等量关系； 2.能利用一元一次方程解决简单的与销售有关的实际问题； 3.能从实际问题中抽象出数学问题，找出等量关系，用一元一次方程解决。
教学重点 确定“盈不足”问题中包含的等量关系
教学难点 将“盈不足”的实际问题转化为数学问题，构建一元一次方程解决问题
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题:“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问 人数、物价各几何 ” 你知道我国古人是如何解决这个问题的吗 学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：通过实际问题，让学生了解什么是“盈不足”问题，初步掌握这类问题的规律，从而调动学生的学习热情，积极投入到下面的探究学习之中环节二：新知探究教师活动2： 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问:人数、物价各几何 题目大意:几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7 钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少 (1)问题中有哪些已知量和未知量 它们之间有怎样的等量关系 已知量:每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱。 未知量:人数、物价。 等量关系:每人出8钱 x人数一多出的3钱=每人出7钱x人数+还少的4钱。 (2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗 请完成下表。 利用表格分析数量关系是一种有效方法。 (3)根据等量关系，你能列出怎样的方程 设人数为x。 根据等量关系，列出方程:________________。 解这个方程，得x=_____。 因此，人数为_________，物价为______钱。 如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程 与同伴进行交流。 设物价为y，可列方程为=学生活动2： 让学生仔细阅读问题，然后确定等量关系，填写表格，列方程求解，并在小组内交流解题思路，最后小组选派代表发言，教师集体讲评活动意图说明：引导学生认真分析题意，注重分析的方法，让学生感受利用表格分析数量关系是一种有效的方法.环节三：探究新知教师活动3： 例1 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问:人数、金价各几何 题目大意:几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300 钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少 分析:设人数为x，你能把下表补充完整吗 解:设合伙人数为x，则金价可表示为(400x-3400)钱，还可表示为(300x-100)钱，根据等量关系，列出方程: 400x-3400 =300x-100。 解这个方程，得x=33。 300x33-100=9 800。 因此，人数为33，金价为9800 钱。学生活动3： 让学生利用表格进行分析，然后独立列出方程求解，指名回答，并说明理由.活动意图说明：通过表格分析，再次感受分析实际应用题的过程，提高学生解决实际问题的能力.环节四：新知探究教师活动4： 思考 交流 (1)对于例1，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程 解：设金价为y钱，根据题意列方程，得=， 解这个方程，得y=9800. ==33. 因此，人数为33，金价为9800钱. (2)《九章算术》给出了一种算法: 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差 物价=每人出的钱数x人数-剩余钱数 你能理解这种解法吗 与方程的求解过程相比，有什么不同 与同伴进行交流。 能理解。 人数为(3 400-100)÷(400-300)=33。 金价为 400x33-3400=9800(钱)。 方程的求解过程是根据等式的性质求未知数的值，而这种解法是直接列算式进行运算。学生活动4： 让学生利用表格进行分析，小组内交流解题思路，最后小组选派代表发言，教师集体讲评.活动意图说明：通过变式，让学生体会利用一元一次方程解决实际问题的不同方法，感受思考的角度不同，设未知数的方法也不同，体会解题方法的不唯一性，培养学生多角度考虑问题的能力.
板书设计 5.3.2一元一次方程的应用 1.例题： 2.解决盈不足问题的思路
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：共有几个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，则下面所列方程正确的是（　　） A．9x + 11 = 6x - 16 B．9x - 11 = 6x + 16 C．6x - 11 = 9x + 16 D．6x + 11 = 9x – 16 2. 牛奶是家家户户早餐的选择，现某奶站每天需要配送若干瓶牛奶，若每个送奶员配送 10 瓶，还剩 6 瓶；若每个送奶员配送 12 瓶，还差 6 瓶。设该奶站现有送奶员 x 人，根据题意列方程为（　　） A．10x + 6 = 12x - 6 B．10x - 6 = 12x + 6 C．10 + 6x = 12 - 6x D．10 - 6x = 12 + 6x　 选做题： 3.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨.每人四梨多十二，每人六梨恰齐足.”其大意是:孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子.每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完.设梨有x个，则可列方程为　　　　　. 4.《孙子算经》中有这样一道题，原文如下:今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽.问城中家几何 大意为:今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完.则城中有　　　　户人家. 【综合拓展类作业】 5.隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。问:人、银各几何 (选自《算法统宗》) 题目大意:几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两。有多少个人 有多少两银子
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.把一些笔记本分给某班学生，如果每人分2本，则剩余20本；如果每人分3本，则还缺30本，设该班有x名学生，可列一元一次方程为( ) A.2x-20=3x-30 B.2x+20=3x+30 C.2x-20=3x+30 D.2x+20=3x-30 2.幼儿园王阿姨给小朋友分苹果，如果每人分3个.则剩余1个；如果每人分4个，则还差2个.问有多少个苹果 设幼儿园有x个小朋友，则可列方程为( ) A.3x-1=4x+2 B.3x+1=4x-2 C.= D.= 选做题 3.程大位，明代珠算发明家，被称为卷尺之父.少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简称《算法统宗》).《算法统宗》中有这样一道题，其大意为:有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问:这一群人共有多少人 所分的银子共有多少两 若设共有x人，则可列方程为______________. 4.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有 件包裹 【综合拓展类作业】 5、某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车的载客量.
教学反思 本节课从古算术“盈不足”问题入手，让学生充分体验生活中数学的应用价值，感受数学文化，体会数学知识的博大精深.在知识落实上，主要采用问题串的模式，有效针对学生接受知识的思维习惯，有条不紊地进行知识的探究，使不同层面的学生有不同程度的收获.在教学实施中自始至终精心设计问题，引导学生探索、归纳，注重过程教学，如此既有利于培养学生的分析归纳能力，也真正体现了以学生为主体的教学理念.
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