资源简介

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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 14.1.3 反证法
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.通过实例，体会反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
课前学习任务
复习引入 小故事:路边苦李 从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎推理方法是:有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法
课上学习任务
【学习任务一】 想一想 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么 【学习任务二】 做一做 画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形, 你发现了什么 (1)a= 1.0，b=2.4, c=2.6;(2)a=2，b=3,C=4;(3)a=1.5，b=2.5,c=3. 我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致. 而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形. 由此，可以猜想: 当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2 +b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 然而,想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论,十分困难.注意a、b、c 的大小关系:a≤b≤c.我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论: (1)假设它是一个直角三角形; (2)根据勾股定理,一定有a2+b2=c2,与已知条件a2+b2≠c2矛盾; (3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.这种证明方法叫做“反证法”. 回想一下，以前用过类似的方法吗 思考：反证法”其步骤为什么？ 【学习任务三】 例5 求证:两条直线相交只有一个交点. 已知:两条相交直线l1与l2. 求证:l1与l2只有一个交点. 例6 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知:△ABC. 求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，第一步应假设（ ） A.∠A=60° B.∠A＜60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60° 2.试说出下列命题的反面： (1) a是实数； (2) a大于2； (3) a小于2； 　　 (4) 至少有2个； (5) 最多有一个； 　(6) 两条直线平行； 选做题： 3.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角. 【综合拓展类作业】 4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行. 【知识技能类作业】 必做题： 1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ） A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交 2. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确的顺序应为(　　) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 选做题： 3、用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1=∠A+∠B． 【综合拓展类作业】 4.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等．
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级上册第14章
课标要求 1.学生能够理解并掌握勾股定理的概念和几何意义。2.学生能够熟练推导和证明勾股定理（包括几何证明和代数证明）。3.学生能够运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长、判断三角形的形状等。4.学生能够了解直角三角形的判定方法，并掌握通过两边和夹角判断三角形形状的技能。5.学生能够初步了解反证法的思想，并能在简单问题中应用反证法进行证明。
内容分析 本单元的新知内容主要包括以下几个方面：勾股定理的发现：学生需要了解勾股定理的历史背景、发现过程以及它在数学史上的重要地位。这有助于激发学生的学习兴趣和探索欲望。勾股定理的证明：掌握勾股定理的多种证明方法，如赵爽弦图证明法、欧几里得证明法等。这些证明过程不仅加深了学生对勾股定理的理解，还锻炼了他们的逻辑推理能力。勾股定理的应用：学生需要学会如何将勾股定理应用于解决实际问题，如测量距离、判断三角形的形状等。这要求学生具备将实际问题抽象为数学模型的能力。直角三角形的判定方法：除了利用勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形外，学生还需要掌握其他判定方法，如根据角的大小、边的比例关系等。反证法的初步应用：在证明勾股定理或解决相关问题时，学生可能会接触到反证法的思想。这是一种重要的数学证明方法，有助于培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
学情分析 八年级的学生正处于逻辑思维能力和抽象思维能力快速发展的阶段。他们的学习能力具有以下特点：自主学习能力增强：随着年级的升高，学生的自主学习能力逐渐增强。他们能够独立阅读教材、查阅资料并尝试解决问题。这为教师采用探究式、合作式等教学方法提供了可能。逻辑推理能力提高：七年级的代数学面几何学习为学生打下了一定的逻辑推理基础。在勾股定理单元的学习中，学生将进一步提高他们的逻辑推理能力，学会从已知条件出发推导出未知结论。学生之间在数学基础、学习态度和思维习惯等方面存在差异。部分学生对数学的兴趣浓厚，基础扎实，思维敏捷；而部分学生则可能感到数学难度较大，存在畏难情绪。在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的策略。八年级学生已经具备了一定的几何和代数基础，能够理解和运用基本的几何性质和代数运算。他们对于勾股定理这一重要数学定理的理解和应用可能还不够深入。反证法作为一种逻辑推理方法，对学生来说也是一个新的挑战。在教学中需要注重引导学生通过直观感知、动手操作、合作交流等方式，逐步深入理解勾股定理及其应用。
单元目标 教学目标1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会用勾股定理解决相关问题。3、掌握勾股定理的逆定理，会运用勾股定理的逆定理解决相关问题。4、运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。（二）教学重点、难点教学重点：　　(1）引导学生深入理解勾股定理的概念和几何意义，掌握其推导和证明过程;　　(2)通过解决实际问题引导学生运用勾股定理计算直角三角形的边长、判断三角形的形状等;(3)引导学生掌握通过两边和夹角判断三角形形状的技能并理解其背后的几何原理；（4）初步了解反证法，能够运用反证法证明一些简单的几何命题。教学难点：勾股定理的推导和证明过程需要学生具备较高的逻辑推理能力和抽象思维能力，因此在教学过程中需要采用多种方法帮助学生理解并掌握其推导和证明过程。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）教学策略建议本单元的核心聚焦于勾股定理的学习与应用，这一经典定理不仅是平面几何领域的璀璨明珠，也是连接代数与几何的重要桥梁。通过学习本单元，学生将深入理解勾股定理的精髓，掌握其推导过程，并进一步领悟其在解决实际问题中的广泛应用价值。勾股定理的重要性勾股定理，这一古老而又常新的数学定理，揭示了直角三角形三边之间的深刻关系。它表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。这一简洁而有力的公式，不仅在几何学中占据核心地位，而且在物理、工程、计算机科学等多个领域发挥着至关重要的作用。通过本单元的学习，学生将学会如何证明勾股定理，掌握多种推导方法，从而加深对这一经典定理的理解。直角三角形的判定除了勾股定理本身，本单元还将深入探讨直角三角形的判定方法。学生将学习如何通过角、边等条件识别直角三角形，掌握判定定理的应用。这一过程将帮助学生巩固对直角三角形性质的理解，为后续的学习打下坚实的基础。反证法的初步应用在证明勾股定理及探讨直角三角形性质的过程中，学生将接触到反证法这一重要的逻辑推理方法。反证法通过假设某个命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。这种独特的证明方式将极大地锻炼学生的逻辑思维能力，使他们学会从不同角度审视问题，寻找问题的突破口。实际应用能力的培养本单元不仅注重理论知识的传授，更强调实际应用能力的培养。学生将通过一系列贴近生活的实例，学会运用勾股定理解决实际问题。无论是测量高度、距离，还是设计图形、分析数据，勾股定理都将展现出其强大的实用价值。这一过程将帮助学生将数学知识与现实生活紧密相连，提升他们的实践能力和创新意识。本单元以勾股定理为核心，围绕直角三角形的判定、反证法的应用等多个方面展开教学。通过系统的学习和实践，学生将全面掌握勾股定理的相关知识，提升逻辑推理能力和问题解决能力，为后续的数学学习和职业生涯奠定坚实的基础。（三）学生学习能力分析八年级的学生正处于逻辑思维能力和抽象思维能力快速发展的阶段。他们的学习能力具有以下特点：自主学习能力增强：随着年级的升高，学生的自主学习能力逐渐增强。他们能够独立阅读教材、查阅资料并尝试解决问题。这为教师采用探究式、合作式等教学方法提供了可能。逻辑推理能力提高：七年级的代数学面几何学习为学生打下了一定的逻辑推理基础。在勾股定理单元的学习中，学生将进一步提高他们的逻辑推理能力，学会从已知条件出发推导出未知结论。合作探究意愿增强：八年级学生更愿意与同学进行合作探究，共同解决问题。这种合作探究的学习方式有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力和批判性思维能力。学生之间在数学基础、学习态度和思维习惯等方面存在差异。部分学生对数学的兴趣浓厚，基础扎实，思维敏捷；而部分学生则可能感到数学难度较大，存在畏难情绪。在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的策略。（四）学习障碍突破策略为了帮助学生克服在学习勾股定理过程中可能遇到的学习障碍，教师可以采取以下突破策略：直观演示与动手操作相结合：利用多媒体教学工具进行直观演示，如通过动画展示勾股定理的证明过程或直角三角形的构造过程。组织学生进行动手操作活动，如使用尺规作图构造直角三角形、验证勾股定理等。这些活动有助于学生直观感受勾股定理的几何意义，降低学习难度。分层教学与个别辅导相结合：强对学困生的个别辅导和帮助。教师可以利用课余时间对学困生进行一对一辅导或组织小组互助学习，帮助他们解决学习中的困惑和难题。问题解决与反思总结相结合：设计贴近学生生活实际的问题情境，引导学生运用勾股定理解决实际问题。通过解决实际问题，学生不仅能够加深对勾股定理的理解和应用能力，还能够培养他们的问题解决能力和创新意识。通过对八年级学生学习勾股定理单元的学情分析可以看出：学生在进入该单元学习之前已经具备了一定的平面几何和代数基础；然而在学习过程中仍可能面临一定的挑战和困难。为了帮助学生克服这些困难并取得良好的学习效果，教师需要采取直观演示、分层教学、问题解决和激发兴趣等多种教学策略相结合的方法来指导学生进行学习。
课时安排课时编号单元主要内容课时数 14.1.1 直角三角形三边的关系1 14.1.2 直角三角形的判定1　4.1.3 反证法1　14.2.1 勾股定理的应用 教案114.2.2 勾股定理的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务14.1.1 直角三角形三边的关系1、会用数格子的方法求正方形的面积.2、在直角三角形中，已知两边能求第三边.1.在直角三角形中，已知两边能求第三边．2.能根据题意理解直角三角形三边的关系．活动一：完成探究问题和做一做．活动二：例题和练习，培养学生观察，归纳的能力．14.1.2 直角三角形的判定1、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题；2、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题.1.理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用．2.理解勾股定理逆定理的推导．活动一：完成探究问题．活动二：通过例题会运用相关概念解决问题．活动三：理解勾股定理逆定理的推导．4.1.3 反证法1.通过实例，体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题．1.运用反证法进行推理论证．2.理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”．活动一：了解反证法的基本步骤 ．活动二：完成探究问题，合作学习．活动三：解答例题和针对练习．会用反证法证明简单的命题. 14.2.1 勾股定理的应用 教案1、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.2、掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算．1. 掌握勾股定理的应用．2.将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题．活动一：完成探究问题，合作学习．活动二：解答例题和针对练习．掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 14.2.2 勾股定理的应用1.熟记边角边公理的内容．2.能应用边角边公理证明明两个三角形全等．1.学会运用公理证明两个三角形全等．2.找出证明两个三角形全等的条件．活动一：经历探索边角边公理的内容．活动二：会运用公理证明两个三角形全等．活动三：解答例题和针对练习.
《第14章 勾股定理》单元教学设计教学设计
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（华师大版）八年级
上
14.1.3 反证法
勾股定理
第14章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.（重点）
2.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.（难点）
新知讲解
情境导入
合作探究
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
新知讲解
王戎的推理方法是：
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
新知讲解
思考
知识点 反证法
若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才王戎的方法推理吗？
(1)假设它是一个直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
新知讲解
提炼概念
反证法 先假设结论的反面是正确的；
然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
从而说明假设不成立，近而得出原结论正确.
像这样的证明方法叫“反证法”.
反证法
即：一、反设；
二、推理得矛盾；
三、假设不成立，原命题正确.
新知讲解
读一读
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
新知讲解
思考
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
典例精析
例1
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
求证：两条直线相交只有一个交点.
想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
分析
新知讲解
证明
假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
新知讲解
例2
解
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°.
于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180 °，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，第一步应假设（ ）
A.∠A=60° B.∠A＜60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60°
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.试说出下列命题的反面：
(1) a是实数； (2) a大于2；
(3) a小于2； 　　 (4) 至少有2个；
(5) 最多有一个； 　(6) 两条直线平行；
a不是实数
a小于或等于2
a大于或等于2
没有2个
一个也没有
两直线相交
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
3.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角.
已知：△ABC是等腰三角形，∠B，∠C为底角.
求证：∠B与∠C都是锐角.
证明：①假设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，
则∠B+∠C=180°，
而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，
这与三角形内角和等于180°矛盾；
②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，
则∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；
所以等腰三角形两底角必为锐角.
【综合拓展类作业】
课堂练习
4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行.
证明：假设这两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，内错角相等，这与已知条件矛盾，∴假设不成立，∴这两条直线不平行.
课堂总结
反证法
反证法的含义：
反证法证明的步骤
否定结论
推出矛盾
肯定结论
反证法证明时需注意
一种间接的证明方法
结论反面找准找全
注意步骤
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确的顺序应为(　　)
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
D
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3、用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1=∠A+∠B．
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=180°-∠2，
∴∠1=∠A+∠B，
与假设相矛盾，∴假设不成立，
∴原命题成立,即∠1=∠A+∠B．
作业布置
【综合拓展类作业】
4.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所 对的角也不相等．
证明：假设这两条边所对的角相等。根据等角对等边，这两条边也相等，但这与已知条件矛盾，故假设不成立。所以这两条边所对的角也不相等。中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第3课时《14.1.3 反证法》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 探索了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题．
学习者分析 让学生通过实例，体会反证法的含义，理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”．
教学目标 1.通过实例，体会反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
教学重点 运用反证法进行推理论证．
教学难点 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 小故事:路边苦李 从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎推理方法是:有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评， 借助生活实例让学生独立思考数学问题；从而揭示今天所学的课题， 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题.让学生通过实例，体会反证法的含义，理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”． 环节二：教师活动2： 想一想 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么 小芳全家没有外出旅游. 小假设小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾， 所以假设不成立，所以小芳全家没有外出旅游. 华是如何推断该命题的正确性的 王戎的推理方法是:假设李子不苦，则因树在“道”边，李子早就被人采摘而没有了，这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立，李为苦李. 例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华说：“昨天晚上下雨了.” 您能对假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 小华的判断说出理由吗？ 做一做 画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形, 你发现了什么 (1)a= 1.0，b=2.4, c=2.6;(2)a=2，b=3,C=4;(3)a=1.5，b=2.5,c=3. 我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致. 而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形. 由此，可以猜想: 当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2 +b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 然而,想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论,十分困难.注意a、b、c 的大小关系:a≤b≤c.我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论: (1)假设它是一个直角三角形; (2)根据勾股定理,一定有a2+b2=c2,与已知条件a2+b2≠c2矛盾; (3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.这种证明方法叫做“反证法”. 回想一下，以前用过类似的方法吗 反证法”其步骤为: 先假设结论的反面是正确的; 然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾; 从而说明假设不成立,进而得出原结论正确. 反证法是数学证明的一种重要方法,历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”. 因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法. 思考 现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c, BC=a, CA=b,且∠C=90° , 那么a2+b2 =c2”是一个真命题. 先思考作什么假设,再用反证法写出推理过程. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢 即“在△ABC中,如果AB=c, BC=a, CA=b,且∠C≠90°,那么 a2+b2≠c2”是真命题吗 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.环节三：教师活动3 例5 求证:两条直线相交只有一个交点. 已知:两条相交直线l1与l2. 求证:l1与l2只有一个交点. 分析 :想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法. 证明 假设两条相交直线l1与l2不止一个交点， 不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2. 例6 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知:△ABC. 求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°, 即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°. 于是 ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题．掌握运用反证法进行推理论证．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，第一步应假设（ ） A.∠A=60° B.∠A＜60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60° 2.试说出下列命题的反面： (1) a是实数； (2) a大于2； (3) a小于2； 　　 (4) 至少有2个； (5) 最多有一个； 　(6) 两条直线平行； 选做题： 3.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角. 【综合拓展类作业】 4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题 1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ） A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交 2. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确的顺序应为(　　) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 选做题： 3、用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1=∠A+∠B． 【综合拓展类作业】 4.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所 对的角也不相等．
教学反思
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