资源简介

1.1集合的概念 教学设计
由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。
课程目标
1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．
2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．
3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。
数学学科素养
1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；
2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；
3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；
4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；
5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．
难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
预习课本，引入新课
阅读课本2-5页，思考并完成以下问题
1.集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示？
2.集合有什么特性？
3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？
4.常见的数集有哪些？用什么字母表示？
5.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
6.它们各自有什么特点？
7.它们使用什么符号表示？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
二、知识归纳、梳理
1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的 总体 叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：确定性 、 无序性 、 互异性．
2．元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 a是集合A中的元素 aA a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 aA a不属于集合A
3．常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集
记法 Z Q R
4．列举法
把集合的元素 一一列举出来出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
5．描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征．
三、典例分析、举一反三
题型一 集合的含义
例1　考查下列每组对象，能构成一个集合的是(　　)
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④　　 B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准）
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
跟踪训练一
1．给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________．(填序号)
【答案】①③
题型二 元素与集合的关系
例2　(1)下列关系中，正确的有 (　　)
①∈R；② Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【答案】　 (1) C (2) 0,1,2
解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。
跟踪训练二
2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a B，则a的值为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
3．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A.
【答案】∈　 　
【解析】令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.所以－5 A.
题型三 集合中元素的特性及应用
例3　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【答案】-1　
【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
【答案】a＝2，或a＝，或a＝－　
【解析】若2∈A，则a＝2或a2＝2，即a＝2，或a＝，或a＝－.
变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
【答案】a≠0且a≠1　
【解析】若A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.
变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
【答案】a=0　
【解析】由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.
解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）
题型四 用列举法表示集合
例4　用列举法表示下列集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
【答案】见解析　
【解析】　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
解题技巧（用列举法表示集合的三个步骤）
1.求出集合的元素；
2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
3.用花括号括起来。
跟踪训练四
4．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B　
【解析】集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
5．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.
(2) 方程x2－9＝0的实数根组成的集合B方.
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【答案】见解析　
【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
题型五 用描述法表示集合
例5　 用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
【答案】见解析　
【解析】(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
解题技巧（描述法表示集合的2个步骤）
跟踪训练五
6．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；
(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
【答案】(1)∈　 　(2)∈　
【解析】(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1 A；
(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．
7．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
【答案】见解析　
【解析】(1)列举法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：.
或列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
题型六 集合表示法的综合应用
例6　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝ (　　)
A．1 B．2 C．0 D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
【答案】　(1) D　(2)
【解析】　(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，所以2－a－＝0，解得：a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝ 2－4×＝>0，
所以集合的所有元素的积为方程的两根之积等于.
解题技巧：(集合表示法中元素与集合的关系)
1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键；
2.若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；
跟踪训练六
8．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
【答案】见解析　
【解析】由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，b＝6.
9．设集合B＝.试判断元素1,2与集 合B的关系；用列举法表示集合B.
【答案】见解析　
【解析】(1)当x＝1时，＝2∈N.
当x＝2时，＝ N.所以1∈B,2 B.
(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.
题型七 集合含义的拓展
例7　用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．
【答案】见解析　
【解析】　抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．
变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
【答案】见解析　
【解析】集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．
变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
【答案】见解析　
【解析】集合{ y| y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{ y| y＝x2＋1}＝{ y| y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．
解题技巧（认识集合含义的2个步骤）
一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。
四、课堂小结
培学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
五、板书设计
(
1
.1
集合的概念
1
.
集合与元素的关系
例题
例题
2
.
几何特性
3
.
集合表示方法
例题
例题
)
作业布置
完成教材：第5页 练习 第1，2，3题
第5页 习题1.1 第1,2,3,4题
本节课以学生为主体，采用探究式教学，精讲多练的方法结合多媒体，主要研究集合中的元素来确定集合的三个特性，由于元素的种类不同引入数集，点集，通过学生独立完成、小组讨论最终得出结果，培养了学生的独立思考能力和问题探究能力、问题表达能力
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