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第3章 圆锥曲线与方程
3.3.1 抛物线的标准方程
教案
学习目标
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合思想.
教学重难点
1.教学重点：抛物线的定义、标准方程.
2.教学难点：抛物线标准方程的推导.
教学过程
情境引入
实验：任给一个定点F和一条直线l，其中.设计适当的方法或装置画出到F和l距离相等的点的轨迹，并观察轨迹的形状.
如图，将一直尺固定在直线l上，取一个直角三角板，以它的一条直角边靠紧直尺的一边l . 在另一条直角边上取定点A，设三角板的直角顶点为C. 再取一条长度正好等于AC的细线，将这条细线的一端固定在三角板上的点A处，另一端用大头针固定在点F处. 用铅笔将细线绷紧，使铅笔尖贴在三角板的边AC之上. 让三角板沿着直尺滑动，则铅笔尖所在的点P就画出所要作的轨迹的一段.
观察画出的轨迹的形状，我们可以猜想它是抛物线. 实质上，它是拋物线的一部分. 另外，从本章开篇的“数学实验”中可以知道，用平面截圆锥面也可得到抛物线，它也是一种圆锥曲线.
新知积累
已知定点F与一条定直线l，. 动点P到F与l的距离相等. 建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹方程.
如图，过点F作直线l的垂线，交l于点D. 设. 取FD的中点O为原点，以的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系.
点到点的距离，
点到直线l的距离.
.
因此，所求轨迹的方程为.
如果以O为原点、的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则可得轨迹方程为，即，这是以x为自变量、y为因变量的二次函数，在初中数学中就知道它的图象是抛物线. 而的图象是将开口向上的抛物线 绕顶点沿顺时针方向旋转得到的.
1.抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线（）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线叫作抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
对于任意，焦点为，准线方程为的抛物线方程为，这个方程称为抛物线的标准方程.
按其他方式建立直角坐标系，可以得出抛物线其他形式的方程. 如果建立的坐标系满足条件“原点是焦点到准线的垂线段的中点，一条坐标轴垂直于准线”，所得的抛物线方程就称为标准方程. 这样的标准方程及其图象有如下四种情况.
图象 标准方程 焦点坐标 准线方程
由上表可以看出，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的. 如不特别声明，表示抛物线焦点到准线的距离，而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指上表中这四种形式之一.
例题巩固
例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2），其中.
解（1）方程具有标准形式，其中，从而，.
于是，焦点在x轴的正半轴上，且坐标为， 准线方程为.
（2）方程可化为，具有标准形式，其中，从而，.
于是，焦点在y轴的正半轴上， 且坐标为，准线方程为.
例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
焦点为；
准线方程为；
焦点在坐标轴上，经过点.
解（1）因为焦点在y轴的负半轴上，并且，即.
因此，所求抛物线的标准方程为.
（2）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且，即.
因此，所求抛物线的标准方程为.
（3）若抛物线的焦点在x轴上，由于它过第三象限的点，可知抛物线开口向左（如图），因此可设其方程为，把点M的坐标代入，得到，解得. 从而抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在y轴上，由于它过第三象限的点，可知抛物线开口向下（如图），因此可设其方程为，把点M的坐标代入，得到，解得. 从而抛物线的方程为.
因此，所求抛物线的标准方程为或.
课堂练习
1.若抛物线的准线方程为，则实数( )
A. B. C.-4 D.-2
答案：A
解析：因为抛物线的方程可化为，所以准线方程为.由题意可知，解得.故选A.
2.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则点P的横坐标为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
答案：B
解析：抛物线，.设点，由抛物线的定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离相等，，.故选B.
3.已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则( )
A. B. C.2 D.4
答案：C
解析：如图，，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则，又，所以，则，即直线FA的斜率是，解得.故选C.
4.（多选）已知点在抛物线（）上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.抛物线的准线方程为 B.抛物线的焦点坐标为
C.点B的坐标为 D.的面积为8
答案：ABD
解析：将的坐标代入抛物线方程，得，因此抛物线的方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确.易知轴，所以，故C错误.易得，所以，故D正确.故选ABD.
小结作业
小结：本节课学习了抛物线及其标准方程.
作业：完成本节课课后习题.
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3.3.1 抛物线的标准方程
1.抛物线的定义
2.抛物线的标准方程

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