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第3章 圆锥曲线与方程
3.3.2 抛物线的简单几何性质
教案
学习目标
1.理解抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题.
教学重难点
1.教学重点：椭圆的几何性质.
2.教学难点：椭圆性质的理解和应用.
教学过程
新课引入
下面，我们根据抛物线的标准方程①来研究它的一些几何性质.
新知积累
1.范围
在方程①中，因为，，所以抛物线①上的点的横坐标都满足. 于是，抛物线在y轴的右侧，并且向右无限延伸. 当x的值增大时，也增大，说明这条抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
在标准方程中，将y换成，方程①不变，说明这条抛物线关于x轴对称，x轴是它的对称轴.
每一条抛物线有唯一一条对称轴，称为抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点. 在方程①中，当时，，因此，抛物线①的顶点为坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，用e表示. 由定义可知，.
例题巩固
例3 已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，求该抛物线的标准方程.
解 由于抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，因此可设它的标准方程为.
将点的坐标代入方程，得，即.
因此，所求抛物线的标准方程为.
例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求.
解 （方法一）设，.
由已知可得直线l的方程为.①
又抛物线的焦点坐标为，故抛物线的方程为.②
联立①、②，消去y可得.③
由一元二次方程的根与系数的关系得，.
于是
（方法二）如图. 设，. 过A，B分別向准线作垂线，垂足为，.
由抛物线的定义可知，，
于是.
由方法一中的方程③可知，
于是.
例5 已知抛物线C:，直线l过定点. 讨论直线l与抛物线的公共点的情况.
解 （I）若直线l的斜率存在，记为k. 又直线过定点，可设直线l的方程为.①
由方程组②，消去y，并整理得.③
（1）当时，由方程③得. 代入方程①，得.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
（2）当时，方程③的判別式.
若，解得.
于是，当，且时，方程③有两个不相等的实数解，从而方程组②有两组实数解. 这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点.
若，解得.
于是，当时，方程③有两个相等的实数解，从而方程组②只有一组实数解.
这时，直线l与抛物线有一个公共点.
若，解得.
于是，当时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解. 这时，直线l与抛物线没有公共点
（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线相切，即有一个公共点.
综上可得：
当，或，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当，且时，直线l与抛物线有两个公共点；
当时，直线l与抛物线没有公共点.
直线l与抛物线C的位置关系如图所示.
课堂练习
1.若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值为( )
A. B.0 C.或0 D.8或0
答案：C
解析：若，则直线与抛物线只有一个交点；若，由得，则，所以.综上可知或，故选C.
2.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则该等边三角形的边长为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：依据抛物线的对称性，可设另外两个顶点的坐标分别为，，则，解得，故该等边三角形的边长为.
3.已知A，B是抛物线上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点是线段AB的中点，则( )
A.C的准线方程为
B.当直线AB的斜率k存在时，
C.当A，B，F三点共线时，
D.若，则的最小值为
答案：BC
解析：抛物线的准线方程为，A错误；设点，，因为A，B在抛物线C上，所以，，所以，若直线AB的斜率k存在，则，B正确；当A，B，F三点共线时，，C正确；，，，所以，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以的最小值为，D错误.
小结作业
小结：本节课学习了椭圆的简单几何性质.
作业：完成本节课课后习题.
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3.3.2 抛物线的简单几何性质
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.离心率

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