资源简介

第3章 圆锥曲线与方程
3.5 圆锥曲线的应用
教案
学习目标
1.了解圆锥曲线的发展和应用.
2.掌握圆锥曲线在天体运行轨道、斜抛物体轨迹、光学性质以及现代建筑中的应用与体现.
教学重难点
1.教学重点：圆锥曲线的应用.
2.教学难点：圆锥曲线的应用.
教学过程
新课导入
前面，我们利用实验的手段初步认识了圆锥曲线，并通过代数方法来研究圆锥曲线的几何性质. 事实上，圆锥曲线在自然界客观存在. 人们通过科学研究发现了它，并利用其独特的物理性质，在科学探索和生产实践中发挥着重要的作用.
新知积累
1.天体运动的轨道
翻开人类科学探索史，仰望星空、测量并记录日月星辰的运动以理解我们所处的宇宙是人们孜孜以求的重要主题. 在相当长一段时间内，人们都认为地球是宇宙的中心，而所有恒星和行星都围绕地球旋转. 直到1543年，波兰人哥白尼提出“日心说”才纠正了这一错误，但他和其他天文学家认为行星运行的轨道是圆形的. 德国人开普勒根据第谷观测行星运动的大量数据提出：火星是沿着一条椭圆的轨道围绕太阳运行，而太阳不是椭圆的中心，而是在椭圆的一个焦点上.
开普勒将其研究发现总结为开普勒行星运动定律，这激发了人们更深入的思考. 牛顿根据开普勒定律得出了万有引力定律，人们按照万有引力定律可以推出，太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在椭圆轨道上运行，而某些天体的运行速度若增大到某种程度，它就会沿抛物线或双曲线运行.
2.斜抛物体的轨迹
运动场上推出的铅球、投出的篮球，都是斜抛物体，它们的运动轨迹近似于抛物线. 喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体，水柱的形状也接近于抛物线.
3.光学性质及其应用
椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都具有丰富的光学性质. 下面分別举例说明.
椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面. 以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点F1发射的光线，经旋转椭球面的反射后，都聚集在另一个焦点F2处，如图所示.
人们利用这一性质来设计电影放映机的聚光灯的反射镜面，将光源安置在椭圆的一个焦点处，将电影胶片放于另一个焦点处，这样，光源发出的光线经镜面反射后全部聚于另一焦点处，以最强的光线照亮电影胶片，如图所示.
双曲线绕实轴旋转一周形成一个旋转双曲面. 从旋转双曲面的一个焦点F2发射的光线，经过旋转双曲面的反射，会使得光线散开，而且这些光线就好像是从另一个焦点F1发射出来的一样，如图所示.
双曲线这种反向虚聚焦的性质，在天文望远镜的设计中有着重要的应用.
抛物线绕它的对称轴旋转一周形成一个旋转抛物面，将光源放在焦点F处，光源发出的光线，经旋转抛物面反射后，成为一束平行于对称轴的光线，如图所示.
汽车前灯和探照灯的制作就是利用这一性质.
再根据光的可逆性，当旋转抛物面的轴与光线平行时，光线经反射后集中于焦点处，如图所示.
利用抛物线的这一光学性质，人们将射电望远镜设计成旋转抛物面，可以接收宇宙中极远距离发出的光线，这将有助于拓宽人类的视野，以探寻茫茫宇宙的奥秘.
4.圆锥曲线在现代建筑中的应用
圆锥曲线广泛存在于现实世界，它线型简洁美观而富有张力，同时还具有某些很好的力学性质，故而被建筑设计师们所推崇并采用. 一座座曲线优美并富有现代感的钢结构建筑拔地而起，会给人带来美的享受.
圆锥曲线的发现源于古希腊几何学的研究，随着17世纪笛卡儿坐标系以及解析几何方法的出现，圆锥曲线这一沉睡千余年的几何明珠又焕发新的生机. 伽利略曾说过：“大自然这本书是用数学语言写成的.”当人们用数学的眼光来观察世界、用数学的思维来分析世界、用数学的语言来表达世界时，原来天地之间，圆锥曲线无处不在. 回溯圆锥曲线的研究历程，其内涵和形式闪耀光芒，而数学的发现与应用更是激动人心，这将促使我们在科学之路上继续努力去开拓、去创造.
例题巩固
例1 某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处. 小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为，是天文学的一种长度单位）. 求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位.
解 如图，设椭圆的焦点为，，焦距为，太阳位于焦点处.
小行星P到两焦点的距离之和等于一个固定值2a. 要使最大，必须距离之差最大. 但，当且仅当，，P成一条直线且在和P之间时，达到最大值，达到最大值.
又当达到最大值时，达到最小值，可见
解得，.
利用计算器可算得.
故椭圆的长半轴长为3.5245天文单位，短半轴长为2.8752天文单位.
例2 将物体向斜上方抛出，抛出时的速度大小为，方向与水平方向的夹角为. 假如只考虑重力，不计空气阻力，证明斜抛物体的运动轨迹是抛物线的一部分，并求这条抛物线的焦点与准线之间的距离.
解 如图，设物体运动轨迹的最高点为O，以O为原点在运动轨迹所在平面内建立平面直角坐标系，以1m为单位长度，使x轴指向物体在点O前进的方向，y轴的正方向竖直向上.
设物体在点O的时刻为0，物体在t时刻的位置坐标为. 这里允许t取负值，表示物体到达最高点O之前的情况.
斜抛物体的运动可以分解为水平方向的运动和竖直方向的运动. 物体在水平方向（即x轴方向）没有受力，其运动是匀速直线运动，速度为，则物体在时刻t的横坐标为.
物体在竖直方向（即y轴方向）上有重力加速度，到达最高点O时（即时）的速度为0，则物体在时刻t的纵坐标为.
故物体在时刻t的位置坐标.
由解得，再代入纵坐标表达式，得，则.
它具有抛物线标准方程的形式，其中.
这证明了斜抛物体的运动轨迹是抛物线，这个抛物线的焦点与准线之间的距离为.
例3 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出. 已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.
（1）将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点. 光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
（2）为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变. 求探照灯的深度.
解 （1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度，则可设抛物线的标准方程为.
灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为，代入抛物线方程得，解得，则焦点坐标为.
故光源应安置在与顶点相距处.
（2）由（1）可得抛物线方程为.
灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为. 故将代入抛物线方程求得.
此时，探照灯的深度为48. 4cm.
课堂练习
1.开普勒第一定律也称椭圆定律，其内容为：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，太阳处在椭圆的一个焦点上.行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线，若行星H的近日点距离和远日点距离之和是20（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是81，则( )
A.181 B.97 C.52 D.19
答案：A
解析：行星H的运行轨道（椭圆）的长半轴长和短半轴长分别为，，半焦距为，所以行星H的近日点距离为，远日点距离为.由题意得解得，，所以.
2.为了增强某会议主席台的亮度，且为了避免主席台就座人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当与恰好相等时，( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：离心率，.又，则根据双曲线的定义可知，，
.故选A.
3.抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射加热的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面的表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.如图的太阳灶中，焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为，若灶口直径AB是灶深CD的4倍，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：设抛物线的方程为.由焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为，知，所以，即抛物线的方程为.设，则点，，所以.由于灶口直径AB是灶深CD的4倍，因此，解得或（舍去），所以.故选A.
小结作业
小结：本节课学习了圆锥曲线的应用.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
3.5 圆锥曲线的应用
1.天体运动的轨道
2.斜抛物体的轨迹
3.光学性质及其应用
4.圆锥曲线在现代建筑中的应用

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