资源简介

1.3集合的基本运算
教学设计
集合的基本运算是人教版普通高中课程标准实验教科书，数学必修1第一章第三节的内容. 在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础. 本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用. 本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点.
课程目标
1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；
2. 理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；
3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
数学学科素养
1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；
2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；
3.数学运算：求 两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；
4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及；
5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；
2全集与补集的定义.
难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
问题导入：
实数有加、减、乘、除等运算.集合是否也有类似的运算.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
预习课本，引入新课
阅读课本10-13页，思考并完成以下问题
1. 两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？
2.怎样用Venn图表示集合的并集和交集？
3.全集与补集的含义是什么？如何用Venn图表示给定集合的补集？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
（一）知识整理
1、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B（读作：“A并B”）即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示
2 交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作：
A∩B（读作：“A交B”）即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
Venn图表示
3．全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
4．补集：
对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA={x|x∈U，且xA}
补集的Venn图表示
（二）知识扩展
根据集合的基本关系和集合的基本运算，你能得到哪些结论？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。
结论：
1.A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
2.AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
3.（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=
4. 若A∩B=A，则AB，反之也成立
5. 若A∪B=B， 则AB，反之也成立
四、典例分析、举一反三
题型一 集合的交集运算、并集运算与补集运算
例1 （单一运算）
1.求下列两个集合的并集和交集:
(1) A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};
(2) A={x|x+1>0},B={x|-22.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝(　　)
A．U 　　B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
【答案】见解析
【解析】 1.(1)如图所示,
A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,3}.
(2)由题意知A={x|x>-1},用数轴表示集合A和B,如图所示,
则数轴上方所有“线”下面的实数组成了A∪B,故A∪B={x|x>-2},数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了A∩B,故A∩B={x|-12.因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知 UM＝{3,5,6}．故选C
解题技巧：（求两个集合的并集、交集及补集的常用方法）
1.定义法:对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.
2.数形结合法：对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示.
跟踪训练一
1. 若集合A={x|1≤x≤3,x∈N},B={x|x≤2,x∈N},则A∩B=(　　)
A. {3} B. {x|x≥1} C. {2，3} D. {1，2}
2.若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B等于(　　)
A．{x|x＞－2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－2＜x＜－1} D．{x|－1＜x＜2}
3.设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则 UA＝________.
【答案】1. D 2.A 3. {x|x≤2或x＞5}
例2 （混合运算）
（1）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝ (　　)
A．{2}　　　　　　　 　 B．{1，2，4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2则 R(A∪B)＝________，( RA)∩B＝________.
【答案】(1)B　(2){x|x≤2，或x≥10}　{x|2【解析】(1)A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，
则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
(2)把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
∵ RA＝{x|x<3，或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2跟踪训练二
1．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩ UB等于 (　　)
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．
2．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则( RS)∪T等于(　　)
A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1} 　 D．{x|x≥1}
【答案】1. A 2. C
题型二 已知集合的交集、并集求参数
例3（由并集、交集求参数的值）
已知M＝{1,2，}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
【答案】见解析
【解析】∵M∩N＝{3}，∴3∈M；
∴，即，，解得＝－1或4.
当＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴＝4.
例4（由并集、交集的定义求参数的范围）
设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】如图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
例5（由交集、并集的性质求参数的范围）
已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．
【答案】见解析
【解析】∵A∪B＝A，∴B A，
①当B＝ 时，k＋1＞2k－1，∴k＜2.
②当B≠ ，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为.
变式． [变条件]把例5题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．
【答案】见解析
【解析】∵A∩B＝A，∴A B.
又A＝{x|－3＜x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，
可知B≠ .
由数轴可知解得k∈ ，
即当A∩B＝A时，k不存在．
解题技巧：（由集合交集、并集的性质解题的方法）
当利用交集和并集的性质解题时,常借助于交集、并集的定义将其转化为集合间的关系去求解,如A∩B=A A B,A∪B=A B A等.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引发解题失误
跟踪训练三
1.已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
【答案】见解析
【解析】∵A∪B=A,∴B A.
∵A={x|0≤x≤4}≠ ,∴B= 或B≠ .
当B= 时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠ 时,用数轴表示集合A和B,如图所示,
∵B A,∴解得-1≤m≤0.
检验知m=-1,m=0符合题意.综上所得,实数m的取值范围是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1.
变式：[变条件]将本例中“A∪B=A”改为“A∩B=A”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【答案】见解析
【解析】∵A∩B=A,∴A B.如图,
∴
解得m≤-3.检验知m=-3符合题意.故实数m的取值范围是m≤-3.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
1
.3
集合的基本运算
1
.
并集
例1
例3
例
5
2
.
交集
3
.
补集（全集）
例2
例
4
变式
)
七、作业
课本14页习题1.3
高中数学，相比于初中和小学阶段的数学，比较注重逻辑思考。因此，教师在讲解新的知识的时候，要先回顾教学需要用到的基础知识，做好新旧知识的衔接，不让学生觉得突兀，同时激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。
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