资源简介

2.2基本不等式
教学设计
《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
课程目标
1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养
1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；
2.逻辑推理：基本不等式的证明；
3.数学运算：利用基本不等式求最值；
4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；
5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；
难点：基本不等式的推导以及证明过程．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入：
在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本44-45页，思考并完成以下问题
1. 重要不等式的内容是？
2.基本不等式的内容及注意事项？
3.常见的不等式推论？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.重要不等式
2.基本不等式
(1)基本不等式成立的条件:_____________.
(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.
注意：一正二定三等.
3.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥______(a,b∈R).
(2) ≥____(a,b同号).
(3) (a,b∈R).
(4) (a,b∈R).
4. 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均
数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.
四、典例分析、举一反三
题型一 利用基本不等式求最值
例1 求下列各题的最值.
（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；
（2）x>0,求 的最小值；
（3）x<3，求 的最大值；
【答案】见解析
【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10.
当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.
(2)∵x>0,
等号成立的条件是 即x=2,
∴f(x)的最小值是12.
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,
当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.
解题技巧：（利用基本不等式求最值）
(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；
(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；
(3)根据两式的符号求积或和的最值.
总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.
跟踪训练一
（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值；
（2）已知x< 求函数 的最大值;
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
【答案】见解析
【解析】
题型二 利用基本不等式解决实际问题
例2　（ １ ） 用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？
（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？
【答案】见解析
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为m.
(1)由已知
由 ≥，可得
所以,
当且仅当=10时，上式等号成立.
(2)由已知得，矩形菜园的面积为
由 = = 9,可得81，
当且仅当=9时，上式等号成立.
解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)
设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）
跟踪训练二
1. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.
（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？
（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
【答案】见解析
【解析】（1）设的长为米，则米
由矩形的面积大于得：
又，得：，解得：或
即长的取值范围为：
（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：
当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值
故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本48页习题2.2
对于数学的学习，不在于做了多少的题，而是在做每一种类型的题目的时候能够领悟其中用到的数学思维方法。一旦掌握了解题的思维方法，至于计算，就是一些基础技能的考查了。教师要引导学生在掌握数学思维方法的基础上，在解题过程中能够通过分析题目，想到用哪一种思维方法来解决问题，或者通过适当地转换形式，以适用某个数学思维方法。本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，通过几何证明基本不等式，在充分了解基本不等式的含义后，再进一步运用其求最值。切记：利用基本不等式的条件是一正二定三等。
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