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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.2 直线与圆的位置关系
学习目标：
1. 知道直线和圆的位置关系及有关概念.
2. 会从公共点的个数或d和r的数量关系判定直线和圆的位置关系.
老师告诉你
直线与圆的位置关系、直线与圆的公共点个数、圆心O到直线的距离d与圆的半径r的大小三者之间有如下三种关系：
直线与圆相交 两个公共点 d直线与圆相切 一个公共点 d=r
直线与圆相离 无公共点 d>r
一、知识点拨
知识点1 直线与圆位置关系与公共点个数
如图（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
【新知导学】
例1．如果一条直线与圆有公共点，那么该直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
【对应导练】
1．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为 圆，则⊙O的“整点直线”共有（ ）条
A．7 B．8 C．9 D．10
2．⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的距离为d，那么d与R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）

A．相切 B．相交 C．平行 D．相离
知识点2 直线与圆的位置关系的判定
设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
d＜r <=>直线l与⊙O相交
d=r <=>直线l 与⊙O相切
d＞r<=>直线l 与⊙O相离
【新知导学】
例2．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【对应导练】
1．在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个．
2．已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
3．已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
4．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问：
(1)当R为何值时，和直线相离？
(2)当R为何值时，和直线相切？
(3)当R为何值时，和直线相交？
知识点3 直线与圆的位置关系的性质
设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交<=> d＜r
直线l 与⊙O相切<=> d=r
直线l 与⊙O相离<=> d＞r
【新知导学】
例3．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（ ）
A．142 B．96 C．192 D．124
【对应导练】
1．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ．
3．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ．
4．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．
5．已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
题型训练
直线与圆的位置关系在作图中的应用
1．如图，在Rt中，，点在边上．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)若以为直径的圆经过点．求证：直线是圆的切线．
2．如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作，要求：圆心O在边上，长为半径，且与相切于点D；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．
利用直线与圆的位置关系判定相切
3．实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．
（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BAC的平分线，交BC于点O．
②以O为圆心，OC为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，（1）直线AB与⊙O存在怎样的位置关系，请说明理由．
（2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为 　 　．
4．如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°．
（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）：
①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；
②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD＝∠BAC．
（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由．
5．如图，在Rt△中，∠=90°．（1）先作∠的平分线交边于点，再以点为圆心，为半径作⊙（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中与⊙的位置关系，并证明你的结论．
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
2．的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
3．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．外离
5．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
7．如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　）
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知的斜边，直角边．以点C为圆心，当半径r取 值时，与边只有一个公共点．
10．在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ．
11．已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
12．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是 ，若⊙P与相离，则r满足的条件是 ．
13．如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（6分）圆的直径是，如果圆心与直线的距离分别是：
（1）；（2）；（3）．
那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
(2)判断与轴的位置关系： ．
16．（8分）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆，
(1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ；
(2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ；
(3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ；
(4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ；
17．（9分）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，
(1)当半径为何值时，与直线相切；
(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
18．（8分）已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
19．（9分）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.2 直线与圆的位置关系
学习目标：
1. 知道直线和圆的位置关系及有关概念.
2. 会从公共点的个数或d和r的数量关系判定直线和圆的位置关系.
老师告诉你
直线与圆的位置关系、直线与圆的公共点个数、圆心O到直线的距离d与圆的半径r的大小三者之间有如下三种关系：
直线与圆相交 两个公共点 d直线与圆相切 一个公共点 d=r
直线与圆相离 无公共点 d>r
一、知识点拨
知识点1 直线与圆位置关系与公共点个数
如图（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
【新知导学】
例1．如果一条直线与圆有公共点，那么该直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】有公共点分为有两个交点和一个交点两种情况，当直线与圆只有一个交点时位置关系为相切，当直线与圆有两个交点时，位置关系为相交．
【详解】一条直线与圆有公共点，当直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交
故选：D
【点睛】考查直线和圆的位置关系，理解并熟记直线与圆的位置关系是解决本题的关键．
【对应导练】
1．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为 圆，则⊙O的“整点直线”共有（ ）条
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】由题意可得圆上的整点个数为4个，分直线与圆有两个交点和一个交点两种情况讨论，可求解．
【详解】解：∵圆的半径为，
∴圆上的整数点有四个：（2，2），（2， 2），（ 2，2），（ 2， 2），
若直线与圆有两个交点，则两点确定一直线，可以画6条，
若直线与圆只有一个交点，则分别过这四个点画圆的切线，可以有4条，
∴一共有10条，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，读懂题意并能运用新知识解决问题是本题的关键．
2．⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的距离为d，那么d与R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可得到答案．
【详解】∵直线l与⊙O有公共点，
∴直线与圆相切或相交，即．
故选B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记三种关系．
3．如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）

A．相切 B．相交 C．平行 D．相离
【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离，
故选：D．
知识点2 直线与圆的位置关系的判定
设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
d＜r <=>直线l与⊙O相交
d=r <=>直线l 与⊙O相切
d＞r<=>直线l 与⊙O相离
【新知导学】
例2．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“时直线与圆相交，时直线与圆相切，时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨论即可得解．
【详解】解：由得，
，
解得，，
∴或．
∵圆心O到直线l的距离，
∴当时，，则直线l与相切，
当时，，则直线l与相交，
∴直线l与的位置关系是相交或相切．
故选：D．
【对应导练】
1．在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C到的距离d，比较d与半径的大小判断即可．
【详解】解：如图，
∵在平行四边形中，，，
设点C到的距离为d，
∴点C到的距离，
∴直线与圆C相交，即有2个交点，
故选：B．
2．已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相切
【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案．
【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离，
∴，
∴直线和圆的位置关系是相切．
故答案为：相切．
3．已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】解：把点代入直线得，
，
；
由向上平移个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为，
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，如图所示
当时，；当时，，
，，
即，；
在中，，
过点O作于D，
，
，解得，
由直线与圆的位置关系可知，解得
故答案为：
【点睛】此题主要考查直线与圆的关系，一次函数图象的平移，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答．
4．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问：
(1)当R为何值时，和直线相离？
(2)当R为何值时，和直线相切？
(3)当R为何值时，和直线相交？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可．
【详解】（1）解：过点C作于点D，

∵中，，
∴，
∴，
∴当，和直线相离；
（2）解：当时，和直线相切；
（3）解：当时，和直线相交．
知识点3 直线与圆的位置关系的性质
设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交<=> d＜r
直线l 与⊙O相切<=> d=r
直线l 与⊙O相离<=> d＞r
【新知导学】
例3．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（ ）
A．142 B．96 C．192 D．124
【答案】A
【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142．
【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，点G是的中点，
∴，
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即四边形面积的最小值是142．
故选：A．
【对应导练】
1．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可．
【详解】解：∵直线l与圆有公共点，
∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径，
∵的半径为，
∴，
故选：B．
2．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键．
如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可．
【详解】解：如图，作于，
∵，
∴，
∴当时，与射线相切，此时只有一个交点；
当时，与射线有两个交点；
∴当时，与射线只有一个交点；
综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或，
故答案为：或．
3．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ．
【答案】或
【分析】本题需要分两种情况进行讨论：圆与斜边相切时， 点在圆内部、点在圆上或圆外时．首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆与斜边的位置关系与公共点数量之间的联系进行分类讨论．其中，圆与斜边相切时的半径的长可利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：如图，在中，
根据勾股定理，，
分两种情况：
圆与斜边相切时，
连接圆心与切点，
根据切线的性质可知：，
，
，
即；
点在圆内部、点在圆上或圆外时，
此时，
即，
，
此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
4．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．
【详解】解：如图，连接，作于，于．
，
，
，
，，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，
在中，，，
，
，
，
当，，共线，且与重合时，的值最小，
的最小值为，
的最大值，
故答案为．
5．已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）如图作于，求出的值即可判断；
（）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ；
（）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图作于，

在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴当半径时，直线与相切，
故答案为：；
（2）观察图形可知，
当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ，
故答案为：或；
（3）观察图形可知，
当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或．
题型训练
直线与圆的位置关系在作图中的应用
1．如图，在Rt中，，点在边上．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)若以为直径的圆经过点．求证：直线是圆的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了基本作图-作角平分线，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．
（1）根据“作角平分线的基本作法”作图；
（2）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明∶ 设的中点为，连接，
则∶
，
的平分线交于点，
，
，
∴，
，
∵在圆上，
∴是圆的切线．
2．如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作，要求：圆心O在边上，长为半径，且与相切于点D；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】此题考查了角平分线、垂线和圆的作图，勾股定理，切线的判定等知识．
（1）作的角平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为半径，为半径作即可；
（2）设的半径为．则,，在中，，即，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
∵平分，，
∴，
∵和都是的半径，
∴圆心O在边上，长为半径，且与相切于点D；
（2）解：设的半径为．
则,，
在中，，，
则，
即，
解得
即的半径为1．
利用直线与圆的位置关系判定相切
3．实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．
（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BAC的平分线，交BC于点O．
②以O为圆心，OC为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，（1）直线AB与⊙O存在怎样的位置关系，请说明理由．
（2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为 　 　．
【答案】实践操作：见解析；综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）3
【分析】实践操作：以点A为圆心作弧交AC、AB，分别以两交点为圆心作弧，且两弧相交，连接A与两弧交点延长与BC相交的点为点O；
综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB与⊙O的位置关系是相切；
（2）首先根据勾股定理计算出AB的长，设半径为x，则，，，在中，由勾股定理求得，得出，再次利用勾股定理可得方程，解方程即可．
【详解】实践操作，如图所示：
综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切．
∵AO是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，∠ADO=90°，
∴DO=CO，
∴AB与⊙O相切；
（2）设半径为x，则，，，
在中，，
，
在中，，
解得：．
⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、勾股定理以及切线的判定，掌握相关知识点是解题的关键．
4．如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°．
（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）：
①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；
②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD＝∠BAC．
（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）直线BD与⊙A相切，理由详见解析．
【分析】（1）①以点A为圆心，以BC的长度为半径画圆即可；
②以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与边AB、AC相交于两点E、F，再以点B为圆心，以同等长度为半径画弧，与AB相交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧相交于点N，作射线BN即可得到∠ABD；
（2）根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再根据平行线间的距离相等可得点A到BD的距离等于BC的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线BD与⊙A相切．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）直线BD与⊙A相切．
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AC∥BD，
∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，
∴点A到直线BD的距离等于BC，
∴直线BD与⊙A相切．
【点睛】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，直线与圆的位置关系的判断，是基本作图，难度不大．
5．如图，在Rt△中，∠=90°．（1）先作∠的平分线交边于点，再以点为圆心，为半径作⊙（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中与⊙的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）AB与⊙O相切，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线BO；
（2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案．
试题解析：
（1）如图：
（2）AB与⊙O相切．
理由如下：如图，作OD⊥AB于D，
∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，
∴OD=OC，
∴AB与⊙O相切．
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
【答案】B
【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．
【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3，
直线与圆的位置关系为相交．
故选：B
2．的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，且，
设斜边上的高为，则，
∴，
∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切，
故选：C．
3．直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线l和相交，进行判断即可．
【详解】解：∵直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，
∴．
故选：C．
4．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．外离
【答案】A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】过点A作于点D，
根据等腰三角形三线合一得：，
根据勾股定理得：，
∴，
以长为半径作，则与的位置关系是相交，
故选：A．
5．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过C作于D，
∵，
∴，
∵与相离，
∴半径r满足，
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
【答案】D
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，圆与直线的距离，勾股定理，利用分类讨论的关系解决问题是关键．由题意可知，圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：圆心的坐标为，
圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3，
当圆与轴相切时，与轴相交，此时圆与坐标轴有且只有3个公共点，，
当圆经过原点时，圆与坐标轴有且只有3个公共点，，
即r的值是4或5，
故选：D．
7．如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围；
【详解】
解：过原点作交于点C，
直线与坐标轴的交点为A、B两点，
令解得，故A点坐标为：
令解得，故B点坐标为：
故直线到坐标原点的距离为：，
直线与圆有公共点，
故；
故选：C．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　）
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8
【答案】C
【详解】解：由题意可知，线段AB必须经过圆C才有两个交点，过点C作AB的垂线，
因为AC＝6，BC＝8，通过等面积法计算得出垂线段为，
当r<，AB与圆C没有交点，当r>6时与AB最多只有一个交点，所以.
考点：圆于直线的位置关系
点评：该题是常考题，主要考查学生对圆与直线交点的个数与半径长度之间的关系，建议学生通过作图分析计算．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知的斜边，直角边．以点C为圆心，当半径r取 值时，与边只有一个公共点．
【答案】或
【分析】分当圆和斜边相切和当圆和斜边相交两种情况求解即可．
【详解】如图，
∵斜边，直角边，
∴．
当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高；
当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则．
故答案为或．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解．
10．在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案； ②相交，画出图形如图所示，进而确定R的取值范围，从而使问题得解．
【详解】∵
∴，
分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．

由三角形的面积公式得：，
∴，
∴，
即．
②如图2，当时，与只有一个公共点，

故答案为：或．
【点睛】本题侧重考查直线与圆的位置关系类型的习题，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识．
11．已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若直线和圆相离，则应满足即可．
【详解】解：直线和圆相离，且点到直线的距离为5，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足是解题的关键．
12．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是 ，若⊙P与相离，则r满足的条件是 ．
【答案】 相离
【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可．
【详解】解：过点P作，垂足为D，则，
∵，cm，
∴．
当cm时，，
∴⊙P与相离，
即⊙P与位置关系是相离．
当⊙P与相离时，，
∴r需满足的条件是：．
故答案为：相离；．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系，是解题的关键．
13．如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以D为圆心，AD的长为半径画圆，分BC与圆相交和相切时分情况讨论，即可求出．
【详解】以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝DE，
∵AB＝2，DA＝DE，
∴AD+AD＝2，
∴AD＝2﹣2；
②如图，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝AB＝1，
∴AD的取值范围是2﹣2≤AD≤1．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的作法，圆与直线的位置关系，圆的相关性质，分情况讨论并画出图形是解题的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（6分）圆的直径是，如果圆心与直线的距离分别是：
（1）；（2）；（3）．
那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
【答案】（1）相交，两个；（2）相切，一个；（3）相离，无
【分析】直线和圆的位置关系：
① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
【详解】解：圆的半径为＝6.5（cm）．
（1）∵6.5 cm＞4.5 cm，∴直线与圆相交，有两个公共点．
（2）∵6.5cm ＝6.5cm，∴直线与圆相切，有一个公共点．
（3）∵8cm＞6.5 cm，∴直线与圆相离，无公共点．
【点睛】考核知识点：直线与圆的位置关系．理解直线与圆的位置关系的条件是关键．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
(2)判断与轴的位置关系： ．
【答案】(1)见解析，
(2)相交
【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；
（1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求；
（2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断；
【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示：
点坐标为：
故答案为：；
（2）∵，
即：的半径，
点到轴的距离，
∵，
∴与轴相交，
故答案为：相交．
16．（8分）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆，
(1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ；
(2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ；
(3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ；
(4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ；
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可．
（1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案；
（2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案；
（3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点；
（4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接，
∴轴，
∵，
∴，
当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点，
∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接，
∴轴，
∵，
∴，
∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点，
当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点，
∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是，
故答案为：；

（3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点，
∴当时，与坐标轴有3个交点；
如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点，
∴此时；
综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点，
故答案为：或；

（4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点，
故答案为：或．

17．（9分）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，
(1)当半径为何值时，与直线相切；
(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
【答案】(1)当半径为3时，与直线相切
(2)当半径为2.4时，与直线相切
(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；
（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；
（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵圆心到边的距离为，与直线相切，
∴，
则当半径为3时，与直线相切；
（2）连接，过作，交于点，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴圆心到边的距离，
又与直线相切，
∴，则当半径为2.4时，与直线相切；
（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，
∴，
又与直线相离，圆心到的距离为，
∴，
则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．
【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．
18．（8分）已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
【答案】（1）相切；（2）0cm＜r＜12cm．
【分析】（1）过点P作PC⊥OB，垂足为C，根据含30度角的直角三角形性质求出PC的长，根据PC=r，即可得出⊙P与OB位置关系是相切；
（2）根据相切时半径=12cm，再根据当r＜d时相离，即可求出答案．
【详解】过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．
∵∠AOB=30°，OP=24cm，
∴PC=OP=12cm．
（1）∵PC =r=12cm，
∴⊙P与OB相切，
即⊙P与OB位置关系是相切．
（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，
∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系.解题的关键是判断出圆心到直线的距离与半径的大小关系.
19．（9分）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．
【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为；
当点在直线右侧时，，解得；
∴；
当点在直线左侧时，，得，
∴，

∴当与直线相切时，点的坐标为或．
（2）解：由（1）可知当时，与直线相交
当或时，与直线相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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