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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.2 切线的判定和性质
学习目标：
1.会判定一条直线是圆的切线并会过圆上的一点作圆的切线；
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理；
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题。
老师告诉你
证切线时作辅助线的“两个方法”
1.若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条垂线段的长度等于半径，即“作垂直，证半径”
2.若直线与圆一个公共点已指明，则连接这点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径，即“连半径，证垂直”
一、知识点拨
知识点1 切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
几何语言：
∵ OA是半径，OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切线。
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常用的辅助线方法：
①证切线时辅助线的添加方法：
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
【新知导学】
例1—1．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接．若，，求的长．
例1-2．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．
(1)求证∶与相切；
(2)若正方形的边长为4，求的半径．
【对应导练】
1．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
2．如图，在中，，的平分线交于点，以为圆心，为半径画．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
3．如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作，垂足为点，的反向延长线交于点．
(1)求证∶是的切线；
(2)若圆的半径为，，求的长．
知识点2 切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
几何符号表达：
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点.
∴直线l ⊥OA.
有切线时常用辅助线添加方法：
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆
【新知导学】
例2．如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．如图，，是的切线，若，， ．
2．如图，为的内接三角形，为的直径，为的切线，，的延长线交于点D．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)设与交于点M，求证：．
3．如图，分别与相切于点是的直径，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
4．如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若．求的长．
二、题型训练
1.切线的判定在解题中的应用
（1）无交点---“作垂直，证半径”判定切线
1．如图，在四边形中，，，以为直径作，
求证：与相切．

2．（1）如图1，中，，平分交于点，以为半径作．判断直线是否为的切线，并说明理由；
（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形型环湖路，．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的，圆心在上且与，相切．求作．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）有交点型---“连半径证垂直”判定切线
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上， CA＝CD，∠ACD＝120°．
(1)试探究直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD为2．5，求△ACD中CD边的高．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长．
2.切线的性质的应用
5．如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)的半径是3，，求的长．
6．如图， 是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E．
(1)求证：；
(2)连接，若为的直径，，，求的半径．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ）
A． B． C．点O到直线的距离是5 D．
2．如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（ ）
A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
B．垂线段最短
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等
3．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（ ）时，直线是的切线．
A． B． C． D．
4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
5．如图，内接于，过A点作直线，当（ ）时，直线与相切．
A． B． C． D．
6．如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
8．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（ ）
A．36° B．30° C．27° D．45°
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为 ．
10．如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是 ．
11．如图，⊙O的半径为4 cm，BC是直径，若AB＝10 cm，则AC＝ cm时，AC是⊙O的切线．
12．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为点D．
若AC=8，CD=4，则BC的长为 ．
13．如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求线段的长．
15．已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接．
(1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小；
(2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长．
16．如图，已知：在中，．
求作：半圆，使半圆与三角形的两边、相切，切点分别为、．

17．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，当，时，求的长．
18．如图，线段经过圆心O，交于点为的弦，连结
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长度．
19．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.2 切线的判定和性质
学习目标：
1.会判定一条直线是圆的切线并会过圆上的一点作圆的切线；
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理；
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题。
老师告诉你
证切线时作辅助线的“两个方法”
1.若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条垂线段的长度等于半径，即“作垂直，证半径”
2.若直线与圆一个公共点已指明，则连接这点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径，即“连半径，证垂直”
一、知识点拨
知识点1 切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
几何语言：
∵ OA是半径，OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切线。
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常用的辅助线方法：
①证切线时辅助线的添加方法：
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
【新知导学】
例1—1．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
（1）如图，连接，，证明即可；
（2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题；
熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】（1）如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
例1-2．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．
(1)求证∶与相切；
(2)若正方形的边长为4，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切；
（2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可．
【详解】（1）证明∶过作于，连接，
与相切于点，
，
四边形为正方形，
，
，
又为正方形对角线，
，
∴，
，
与相切；
（2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，
设，
∴
，
在中，，
∴，
，
．
，
，
的半径为.
【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
【对应导练】
1．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查了切线的判定，圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；
（1）连接，由等腰三角形的性质得，由角的平分线及等量代换得，即可求证；
（2）由直径所对的圆周角为直角得，由等角得余角相等得 ，即可求证；
（3）由等腰三角形的性质得，，，由直角三角形的特征得，即可求证；
掌握切线的判定方法：“连半径，证垂直”，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．如图，在中，，的平分线交于点，以为圆心，为半径画．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
【答案】(1)见解析
(2)的半径为．
【分析】（1）连接，由“”可证，可得，由切线的判定可得结论；
（2）由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：过点作于点，
则，
，平分，
，
，，，
，
，，
是半径，
是半径，
又，
是的切线；
（2）解：在中，，
，
设，，
，
，
解得，（舍去），
，，
由（1）得，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
，
解得．
所以的半径为．
【点睛】本题是考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
3．如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作，垂足为点，的反向延长线交于点．
(1)求证∶是的切线；
(2)若圆的半径为，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是综合运用知识解题．
（）连接，根据已知条件得到，即可得到结论；
（）过作于，构建矩形，设，则有，，在中，利用勾股定理，得到进而可求得．
【详解】（1）证明∶ ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解∶ 如图， 过点作 于点， 则
∴四边形是矩形，
∴， ，
设，
则 ，
∵，
∴，
在 中， 由勾股定理知∶
即
解得 ， (不合题意， 舍去)，
∴，
∵，
∴
∴．
知识点2 切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
几何符号表达：
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点.
∴直线l ⊥OA.
有切线时常用辅助线添加方法：
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆
【新知导学】
例2．如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中．
连接，并延长交于点F，连接，根据弦切角的性质，得，再由已知条件可得，从而求出．
【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示：
∴，
∴，
是切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
平分，
，
，
，
．
故选：A．
【对应导练】
1．如图，，是的切线，若，， ．
【答案】
【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
2．如图，为的内接三角形，为的直径，为的切线，，的延长线交于点D．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)设与交于点M，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由连接并延长交于点N，连接，先证明垂直平分可得，再由为的切线，可得得出．最后由平行四边形的判定可得结果；
（2）连接．由圆周角定理可得，得出，再由可得，从而得出，可推出，再求证即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点N，连接．
垂直平分
，
为的切线，
．
四边形为平行四边形；
（2）证明：连接．
为的直径，
．
．
，
，
．
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了、切线的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及圆周角定理，解决此题的关键是熟练掌握圆的有关性质．
3．如图，分别与相切于点是的直径，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查圆周角定理，切线的性质定理及平行线的判定，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）连接，根据切线的性质定理得出平分，再由圆周角定理及平行线的判定即可证明；
（2）设交于点G，根据切线的性质定理及勾股定理得出，再由等面积法计算即可．
【详解】（1）解：连接．
分别与相切于点，
平分．
，
是直径，
，即，
∴；
（2）设交于点G．
与相切于点A，
．
由（1）知，
，
，
，
．
4．如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，加上，于是利用等量代换得到结论；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系结合勾股定理得到，然后证明得到即可．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了圆的知识，涉及切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质以及含30度的直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟悉圆的知识．
二、题型训练
1.切线的判定在解题中的应用
（1）无交点---“作垂直，证半径”判定切线
1．如图，在四边形中，，，以为直径作，
求证：与相切．

【答案】见解析
【分析】延长交于点，过点作，证、即可求证．
【详解】解：延长交于点，过点作

∵
∴
又
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即圆心到的距离等于圆的半径
∴与相切．
【点睛】本题考查求证某条直线是圆的切线，涉及了全等三角形的判定与性质．熟记相关几何结论进行几何推理是解题关键．
2．（1）如图1，中，，平分交于点，以为半径作．判断直线是否为的切线，并说明理由；
（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形型环湖路，．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的，圆心在上且与，相切．求作．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）直线是的切线，理由见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点O作与点D，利用角平分线的性质可得，
（2）延长，相交于点E，作的平分线交于点O，以O为圆心，为半径画圆即可．
【详解】解：（1）直线是的切线，
理由：过点O作与点D，
，
∵，平分，
∴，
∴直线是的切线；
（2）如图所示，即为所求．
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，切线的判定等知识，掌握切线的判定定理是解题的关键．
（2）有交点型---“连半径证垂直”判定切线
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上， CA＝CD，∠ACD＝120°．
(1)试探究直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD为2．5，求△ACD中CD边的高．
【答案】（1）直线CD与⊙O相切．（2）7.5.
【分析】（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠A=30°，∠COD=60°，所以∠OCD=90°，从而得证；
（2）作AE⊥DC，交DC的延长线于E点．运用三角函数知识，在△OCD中求出OD，从而知AD长度，然后在△ADE中即可求出AE的长．
【详解】（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°．∴∠CAD=∠CDA=30°．
连接OC．
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形．
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
在△COD中，
又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°．
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
（2）过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于E点．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=10，AD=AO+OD=15．
∵在Rt△ADE中，∠EDA=30°，
∴点A到CD边的距离为：AE=AD sin30°=7.5．
【点睛】此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长．
【答案】解：（1）证明：连接OD．
∵OD=OB？（⊙O的半径），
∴∠B=∠ODB（等边对等角）；
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）；
∴∠C=∠ODB（等量代换），
∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ODE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）；
∵DE⊥AC（已知），
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∴AD⊥CD；
在Rt△ACD和Rt△DCE中，
∠C=∠C（公共角），
∠CED=∠CDA=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DCE（AA），
∴=；
又由（1）知，OD∥AC，O是AB的中点，
∴OD是三角形ABC的中位线，
∴CD=BC；
∵BC=8，AB=5，AB=AC，
∴CE=．
【详解】略
2.切线的性质的应用
5．如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)的半径是3，，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为4
【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识．
（1）连接，由切线的性质得到，由圆周角定理得到，又由得到，则，利用直角三角形性质即可得到答案；
（2）连接，由圆周角定理得到，再证明，在中，根据勾股定理得，，设，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，
∵是的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：连接，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
在中，，
根据勾股定理得，
设，由，得，
解得，
∴的长为4．
6．如图， 是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E．
(1)求证：；
(2)连接，若为的直径，，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接，并延长交于点F，根据切线性质得出，得出，根据平行线的性质得出，证明，根据垂径定理得出，说明垂直平分，即可得出答案；
（2）根据中位线性质得出，设的半径为r，则，根据勾股定理得出，解方程得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，并延长交于点F，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：∵为的直径，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
设的半径为r，则，
在和中根据勾股定理得：，
，
∴，
解得：或（舍去），
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，平行线的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的性质．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ）
A． B． C．点O到直线的距离是5 D．
【答案】A
【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可．
【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意；
B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意；
C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意；
D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
2．如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（ ）
A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
B．垂线段最短
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等
【答案】A
【分析】连接，即可证得，即可证得是的切线，由此可得依据．
【详解】解：如图：连接，
作以为直径的圆，两圆交于点Q，
，
又是的半径，
是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，熟练掌握和运用切线的判定定理是解决本题的关键．
3．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（ ）时，直线是的切线．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线．
【详解】解：当时，直线是的切线．
证明：如图，连接OA．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键．
4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【分析】连接，由中点的性质可得到，利用垂径定理可证出，即可得出结论．
【详解】解：连接
∵为中点
∴
∴
∴为小圆的切线
故选：
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，灵活运用垂径定理是解题的关键．
5．如图，内接于，过A点作直线，当（ ）时，直线与相切．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切．
【详解】解：当时，直线与相切．
理由如下：
作AF交圆O于F点，连接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．
故选：C
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°．
6．如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
与圆相切于点，
，
，
，
，
故选：C．
7．如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
8．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（ ）
A．36° B．30° C．27° D．45°
【答案】A
【分析】由切线的性质可得∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算出∠POA=72°，最后根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及等边对等角即可求出∠B．
【详解】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB=90°，
∵∠P=18°，
∴∠POA=90°-18°=72°，
∵∠POA =∠OCB+∠B，OC=OB，
∴∠B=∠OCB==36°，
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】/20度
【分析】因为点为的切点，连接，得，，可知的度数，根据是的外角，又因为，得到，由此即可求解．
【详解】解：∵点为的切点，
∴是的切点，即有，，且，
∴，
连接，得，
∴，且，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，理解切线的性质，即切点到圆心的连线垂直与切线，垂直为切点，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是 ．
【答案】或
【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可．
【详解】解：若添加BD=CD，理由如下：
如图，连接OD，
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线；
若添加AB=AC，理由如下：
如图，连接AD，
∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴点D是BC的中点，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键．
11．如图，⊙O的半径为4 cm，BC是直径，若AB＝10 cm，则AC＝ cm时，AC是⊙O的切线．
【答案】6
【分析】根据切线的判定定理当∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,然后根据勾股定理计算AC.
【详解】∵⊙O的半径为4 cm，
∴BC=8cm，
∵BC是直径，
∴∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,
∴.
故答案为6.
【点睛】本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线.也考查了勾股定理.
12．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为点D．
若AC=8，CD=4，则BC的长为 ．
【答案】2
【详解】连接OD，根据切线的性质可得∠ODC=90°，然后利用切线定理求出BC的长．
解：连接OD，
∵CD是⊙O的一条切线，
∴∠ODC=90°，
∵AC=8，CD=4，
，
13．如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据同弧所对的圆周角相等推出，得出的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求线段的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明；
（2）根据，的半径为2，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，即，
是的直径，
，
，
，
；
（2）解：在中，，，
，
，
15．已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接．
(1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小；
(2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出的度数，根据等弧所对的角等得到，根据直径所对的角为直角求出，即可求出结果；
（2）连接，得到，根据等边三角形性质，再求出，再利用勾股定理即可求出；
本题主要考查切线的性质，圆周角定理，弧，弦，等边三角形等知识．
【详解】（1）解：连接．
，
．
∵点C是的中点，
．
．
∵AB是的直径，
．
．
．
（2）解：连接．
∵点D是半圆的中点，
．
．
，
．
，
．
，，
．
是等边三角形．
．
．
∵切于点C，
．即．
．
．
．
．
．
在中，．
16．如图，已知：在中，．
求作：半圆，使半圆与三角形的两边、相切，切点分别为、．

【答案】作图见解析
【分析】本题考查了作图应用与设计作图，切线的判定与性质．以的平分线与的交点为圆心，以交点到的距离为半径的半圆即为所求．
【详解】解：先作的角平分线，
以的平分线与的交点为圆心，
以交点到的距离为半径画半圆，如图：

半圆即为所求．
17．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
点必在上，即：是直径，
，
，
，
，
∵，
，
，
，即：，
点在上，
是的切线；
（2）解：，
，
，
即，
，，
在中，，
，
．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
18．如图，线段经过圆心O，交于点为的弦，连结
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），根据圆周角定理求出，可得，即可得出答案；
对于（2），先根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，再根据三角形外角的性质得出，然后根据“等角对等边”得，最后根据正切得定义得出答案．
【详解】（1）∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图，连结，
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，正切，三角形外角的性质等，构造直角三角形是求线段长的常用方法．
19．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论．
（2）过点作于，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点作的垂线，垂足为于，如图：
则四边形为矩形，
∵的半径为，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
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