资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.2 切线长、三角形的内切圆
学习目标：
1.理解切线长概念；
2.掌握切线长定理，并能初步运用；
3.掌握尺规作三角形内切圆的方法；
4.会进行三角形内切圆的相关计算。
老师告诉你
切线长定理中的基本图形
如图PA，PB是 ☉O的切线， A,B 是切点，则有：
1.一条特殊的角平分线（OP平分∠AOB,PO平分∠APB）
2.两个等腰三角形：（△PAB,△OAB）
3.三个垂直关系：OA⊥PA,OB⊥PB，AB⊥OP
一、知识点拨
知识点1 切线长定理
(1)切线长的定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长,如图中的线段PA,PB.
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形.
(1)分别连接圆心和切点.
(2)连接两切点.
(3)连接圆心和圆外一点.
切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据,必须掌握并能灵活应用.
【新知导学】
例1．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ．
【对应导练】
1．以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ．
2．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．

3．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
4．如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长．
知识点2 三角形的内切圆
1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
2.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
【新知导学】
例2．如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【对应导练】
1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
2．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　）
A．125° B．140° C．130° D．150°
3．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ；
4．如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ．
5．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛．
二、题型训练
1.利用切线长定理求线段的长
1．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长．
2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径BE的长；
（2）求CD的长．
2.利用三角形内心解边之间的关系
3．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)求证：．
4．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．
3.三角形内心外心的综合
5．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？
6．如图，点E为△ABC的内心，AE交△ABC的外接圆于点D，求证：BD＝ED＝CD．
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　）
A．2 B．4 C．1.5 D．2.5
4．如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（ ）cm
A．1，2 B．1， C．2， D．2，2
7．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，是四边形的内切圆．若，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，，，分别切于点，，，如果，那么的周长为 ．
10．在中，，，则的内切圆的半径为 ．
11．如图，点O是的内心，，则 ．
12．在等边中，若，则的内切圆半径 ．
13．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
16．如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．）
17．已知：．
问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）
问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径．
18．如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C．
(1)求证∶．
(2)若，连接，求证：四边形是菱形．
19．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.2 切线长、三角形的内切圆
学习目标：
1.理解切线长概念；
2.掌握切线长定理，并能初步运用；
3.掌握尺规作三角形内切圆的方法；
4.会进行三角形内切圆的相关计算。
老师告诉你
切线长定理中的基本图形
如图PA，PB是 ☉O的切线， A,B 是切点，则有：
1.一条特殊的角平分线（OP平分∠AOB,PO平分∠APB）
2.两个等腰三角形：（△PAB,△OAB）
3.三个垂直关系：OA⊥PA,OB⊥PB，AB⊥OP
一、知识点拨
知识点1 切线长定理
(1)切线长的定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长,如图中的线段PA,PB.
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形.
(1)分别连接圆心和切点.
(2)连接两切点.
(3)连接圆心和圆外一点.
切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据,必须掌握并能灵活应用.
【新知导学】
例1．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：，是的切线，，为切点，
平分，，
，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【对应导练】
1．以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键．
根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长．
【详解】解：在正方形中，，，
∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O，
∴与半圆相切，
，
∵的周长为12，
，
，
∵，
正方形的边长为4．
故答案为：4．
2．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．

【答案】
【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接、，
∵，是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键．
3．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论；
（2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）∵，点是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
4．如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长．
【答案】的半径为和边的长为．
【分析】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理和勾股定理，连接，由与相切则，设的半径为，故在中，由勾股定理得：，即可求出半径；由，为半径证明与相切，根据切线长定理可得，然后在中，由勾股定理得，即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】连接，
∵与相切，
∴，
∴，
设的半径为，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，为半径，
∴与相切，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴．
知识点2 三角形的内切圆
1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
2.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
【新知导学】
例2．如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故B选项正确；
∵的内切圆与，，分别相切于点，，，
∴，，，
∵，，，
设，，，
∴，解得，
∴，，，故C选项正确；
过点C作于点H，
∴，
设，则，
∵在中，，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴，
连接，，，，
设的半径为r，即，
∵的内切圆与，，分别相切于点，，，
∴，，，
∴，
∴，解得：，
∴，故D选项正确；
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
若成立，
则，这与矛盾，
∴不成立，故A选项错误．
故选：A
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键．
【对应导练】
1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
2．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　）
A．125° B．140° C．130° D．150°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数．
【详解】解：过点I分别作，如图
∵点I是的内心，且结合切线性质
∴
∵
∴，
即
∴，
∵点O是的外心，
∴．
故选：B．
3．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ；
【答案】2
【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，
在中，
，，，
，
是的内心，
，
，
，
，
点到边的距离为2；
故答案为：2．
4．如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ．
【答案】/24度
【分析】连接，先计算出，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到，则，利用圆周角定理得到，接着计算出，再根据三角形内心即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵O点为的外心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵I为的内心，
∴平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握内心与外心定义．
5．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作三角形的角平分线，角平分线性质、三角形的内切圆的画法，将的角平分线与边的交点作为圆心，圆心到到、的距离为半径作出即可求解．
【详解】解：如图：半圆为所求，
作的角平分线，交于点，
由点向边作垂线交AB于点．以为圆点，为半径做圆．
由于为角平分线，所以到、的距离相等，圆与、相切，所以半圆为圆心在边上，且面积最大的半圆．
二、题型训练
1.利用切线长定理求线段的长
1．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长．
【答案】AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm
【分析】由切线长定理可得AE=AF，BF=BD，CE=CD，由线段的数量关系列出方程，即可求解．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，
∴AE=AF，BF=BD，CE=CD，
∵AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，
∴AF+BF=18cm，BD+CD=28cm，AE+CE=26cm，
∴
∴
∴AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm．
【点睛】本题考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键．
2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径BE的长；
（2）求CD的长．
【答案】（1）BE=6cm（2）6cm
【分析】（1）连接OD，设半径为r，在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2，得到（2+r）2=42+r2故可求解；
（2）根据切线长定理得到CD=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2得到82＋CD2＝（4＋CD）2，故可求解．
【详解】解：（1）连接OD，设半径为r
则BO=DO=EO=r
∴AO=2+r
在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2
∴（2+r）2=42+r2
解得r=3
∴BE=6；
（2）∵AC、BC都是⊙O的切线
∴CD=BC
∵AB=AE+BE=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2即82＋CD2＝（4＋CD）2，
解得CD＝6cm．
【点睛】此题主要考查切线的性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、切线长定理的应用．
2.利用三角形内心解边之间的关系
3．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断；
（2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到．
【详解】（1）证明：∵点是的内心，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵点是的内心，
∴，
∵，
即，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用．
4．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．
【答案】见解析
【分析】连接OC，根据点O是△ABC的内心，可得∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，然后证明∠COD=∠DCO，即可得到结论．
【详解】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆周角定理得到∠COD=∠DCO．
3.三角形内心外心的综合
5．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？
【答案】DB＝DI，理由见解析
【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI．
【点睛】此题考查的是三角形的内接圆的性质、圆周角定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握三角形的内心是三个角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等和等角对等边是解决此题的关键．
6．如图，点E为△ABC的内心，AE交△ABC的外接圆于点D，求证：BD＝ED＝CD．
【答案】见解析．
【分析】连接BE，内心是三角形三个内角角平分线的交点，由点E为△ABC的内心，可得，结合圆周角定理、三角形外角性质，可证、，根据等角对等边性质可证、，据此解题．
【详解】连接BE，
点E为△ABC的内心，
又
【点睛】本题考查三角形内心的性质、圆周角定理、三角形外角性质及等角对等边等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果．
【详解】∵为外一点，，分别切于，两点，
∴，
故选B．
2．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键．
根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解．
【详解】解：∵分别与相切于两点，
∴，即，，
∵分别与相切于两点，
∴，
∵分别与相切于两点，
∴，
∴，，
∴的周长为，
如图所示，连接，
∵分别与相切于两点，，
∴，，
在中，，
同理，，
∴所对的圆心角，
∴所对圆心角，
∴，
故选：．
3．如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　）
A．2 B．4 C．1.5 D．2.5
【答案】A
【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则，
，，，
，
连接、、，
，，，
，，，，
，
解得，
故选：A．
4．如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的内切圆，
∴分别平分，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故选D．
【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
6．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（ ）cm
A．1，2 B．1， C．2， D．2，2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
设的内切圆半径和外接圆半径分别为，
则，
解得：；
∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，
∴
故选：B
7．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质，菱形的判定定理，正方形的判定定理，角平分线的性质逐项分析判断即可
【详解】①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形；故②不是真命题；
③一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题；
④三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，三条中线的交点是三角形的外心，故③不是真命题．
故真命题有①③，共2个
故选B
【点睛】本题考查了真假命题的判断掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形与矩形的判定定理，正方形的判定定理，三角形的内心和外心的定义，掌握相关定理是解题的关键．
8．如图，是四边形的内切圆．若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵是四边形的内切圆，
∴，，， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故选：A；
【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，，，分别切于点，，，如果，那么的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，即可得到，，，从而可求得的周长．
【详解】解：，，分别切⊙于点，，，
，，，
的周长
，
故答案为：．
10．在中，，，则的内切圆的半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图，
则：四边形为正方形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
11．如图，点O是的内心，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键；
先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可；
【详解】解：，
，
点O是的内心，，
平分，平分，
，
，
故答案为：．
12．在等边中，若，则的内切圆半径 ．
【答案】
【分析】设的内切圆圆心为I，连接，延长交于点H，根据等边三角形内切圆的性质可得，，再由锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：如图，设的内切圆圆心为I，连接，延长交于点H，
∵是等边三角形，
∴，
∵圆I是等边的内切圆，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
即的内切圆半径．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
13．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
【答案】140°
【分析】分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出∠IAB+∠IBA＝55°，进而求出∠CAB+∠CBA＝110°，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，最后根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数．
【详解】解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝180°-∠AIB＝55°，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°，
∴∠ACB＝180°-（∠CAB+∠CBA）＝70°，
∵点O是△ACB是外心，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
故答案为：140°．
【点睛】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，进而利用三角形内心和外心的性质求解．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理；
（1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解；
（2）设，则，根据，即可求解．
【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点，
∴，
∵，
∴即
∴
（2）设，
∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴，解得，
∴
15．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长定理证明即可；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，
是的切线，
CD是的切线，
（2）连接，，
是的切线，， BC＝3，
是等边三角形，
，
是直径
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
16．如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，作圆内接三角形，作角平分线．要使用料的面积最大，所以要与三个边相切即可，分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心．
【详解】解：分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心，作于点，以为圆心，为半径作．如图所示：
与三角形三边都相切时圆的半径最大，故此时圆的面积最大．
17．已知：．
问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）
问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径．
【答案】（1）见解析；（2）r=2
【分析】（1）先作∠B和∠C的平分线交于点O，再过点O作OH⊥AB于H，然后以点O为圆心，OH为半径作圆即可；
（2）连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，则利用S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC得到rAB+rBC+rAC=24，变形得到 r（AB+BC+AC）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r的值．
【详解】解：（1）如图，为所求作的的内切圆；
（2）解：如下图，连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
设它的内切圆的半径为r，则OD=OE=OF=r，
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
∴rAB+rBC+rAC=24，
∴ r（AB+BC+AC）=24，
∴ r24=24，
∴r=2．
即的内切圆的半径为2．
【点睛】本题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径，在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径，掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质，是解答第（2）小题，建立等式的关键．
18．如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C．
(1)求证∶．
(2)若，连接，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，由,证明，，进而得证；
（2）连接，连接，证明，得到，由为的切线得到，，证明，得到，则，得到，又由，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴
即
∵为的切线，
∴，
即．
∴，
∵
∴，
∴．
（2）连接，连接，如图，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴
∵为的切线，
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，添加适当的辅助线是证明的关键．
19．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.
【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC，
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【详解】(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，
即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑