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24.3　正多边形和圆（第2课时）
1．掌握用等分圆周的方法画正多边形，并能借助圆或正多边形设计一些美丽的图案．
2．经历借助圆画正多边形的过程，感受数学来源于生活，又服务于生活，体会事物之间是相互联系、相互作用的．
能用不同的方法画正多边形，并能设计一些美丽的图案．
掌握用等分圆周的方法画正多边形．
量角器、圆规、直尺．
新课导入
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．要制造下图中的零件，也需要等分圆周．
新知探究
一、探究学习
【问题】正多边形在生产和生活中有着广泛的应用，会画正多边形是我们必备的能力之一．
想一想：如何画一个正六边形？
【分析】要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆周n等分，然后顺次连接各分点即可．
【师生活动】教师给出分析，提出问题：如何等分圆周？
学生认真思考、交流，得出答案；教师在学生回答的基础上进行补充：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以作相等的圆心角就可以等分圆周．
教师提出问题：利用你手中的工具如何画一个正六边形？学生思考、交流，教师组织学生进行作图，方法不限．
【答案】解：方法1：（1）作一个⊙O；
（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到6个等分点；
（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
方法2：（1）作一个⊙O；
（2）用量角器画∠AOB＝＝60°，再用圆规依次截取＝＝＝＝＝，就得到圆的6个等分点；
（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
【追问】还有其他方法吗？
【师生活动】教师提示学生用尺规作图，学生小组讨论，教师组织学生作图、归纳．
【答案】解：方法3：先作一个⊙O，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．
【设计意图】学生通过思考、交流、操作，利用圆和正多边形的相关知识探索正多边形的画法，初步掌握用等分圆周的方法画正多边形．
【问题】如图，作⊙O的内接正方形．
【师生活动】学生组内交流，每组派出代表发言，然后教师给出正确答案．
【答案】解：用直尺和圆规作两条相互垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出⊙O的内接正方形，如图所示．
【归纳】用等分圆周画正多边形的方法：
1．只用量角器：在半径为R的圆中，用量角器把360°圆心角n等分，即可把半径为R的圆周n等分，顺次连接各分点即可得到正n边形．
2．用量角器和圆规：在半径为R的圆中，先用量角器画出一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的；再用圆规在圆周上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆周的n等分点，顺次连接各分点即可得到正n边形．
3．用圆规和直尺：用尺规等分圆周，只能作正方形、正六边形等特殊正多边形．
【思考】这三种方法的优点和缺点各是什么？
【归纳】方法1可以将圆周任意等分，但当边数很多时，容易有较大的误差，而且操作比较麻烦；
方法2相对比较简单，但当边数很多时，容易产生较大的误差；
方法1和方法2限制条件少，可以作为画圆内接正多边形的通法．
方法3是一种比较准确的等分圆周的方法，但由于它不能将圆周任意等分，故有很大的局限性．
【设计意图】学生经历画正六边形和正方形的过程，总结出正多边形的不同画法，并掌握不同画法的优点和缺点．
二、典例精讲
【例1】如图，画⊙O的内接正三角形．
【师生活动】学生组内交流，每组派出代表展示成果，教师进行评价．
【答案】解：先画⊙O的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，△DBF是⊙O的内接正三角形．
【例2】如图，画⊙O的内接正八边形．
【师生活动】教师引导学生独立思考作答，然后给出正确答案．
【答案】解：先画圆的内接正四边形，再在正四边形的基础上用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，即可作正八边形．如图，八边形AHBFCGDE是⊙O的内接正八边形．
【归纳】按照例2的方法可以作出正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……也可以作出正十二边形、正二十四边形……
【设计意图】通过例题，巩固学生对用等分圆周的方法画正多边形的掌握，让学生会用不同的方法画正多边形，培养学生利用所学内容解决问题的能力．
三、知识应用
【新知】许多图案设计都和圆有关，下图就是一些利用等分圆周设计出的图案．
其中一个图案的设计过程如下：
利用某些正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还可以设计出一些美丽的图案，如图．
【练习】试一试：利用圆或正多边形设计一些图案．
【师生活动】学生独立画图，小组之间进行展示、交流，教师给出示例．
【设计意图】通过练习，学生独立设计图案，让学生体会数学的美．
课堂小结
板书设计
一、等分圆周
二、设计图案
完成教材第108页练习第1～2题．
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