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第五章 一元一次方程
5.1.1 从算式到方程
【学习目标】
1．让学生在掌握算式和简单方程的基础上，过渡到一元一次方程的学习；
2．理解方程的意义，会根据实际情境列方程；
3．掌握方程的解的概念，会判断方程的解；
4．掌握一元一次方程的概念，会判断所给方程是否为一元一次方程.
【学习重难点】
重点：掌握一元一次方程的概念．
难点：从实际问题中寻找等量关系，进而列出方程．
【教学内容】
新知探究1：方程的概念
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？
你会用算术方法解决这个问题吗？列算式试试.
甲、乙两队相距 km，
甲、乙两队的速度差是 km/h，
所以甲队追上乙队需要 h.
下面，我们引入一种新的方法来解决这个问题.
思考：在这个问题中，
已知： 甲乙两队的行进速度及甲乙两队到大本营的距离.
未知： 行进的时间和路程.
如果设两队的行进时间为x h，根据“路程=速度×时间”，甲队和乙队行进路程可以分别表示为1.2x km和0.8x km.
甲队距大本营的路程：(1.2x+1)km
乙队距大本营的路程：(0.8x+3)km
想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？
甲队追上乙队时，他们距大本营的路程相等.
比较：列算式和列方程
用算术方法解题时，列出的算式只含有已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难；
而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，解决问题比较方便.
问题探究
问题1 用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
思考：本题的等量关系是什么？
设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5)元.
根据“单价×数量=总价”，可以列方程
12x = 16(x-5).
由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的单价.
思考：若将小水杯的单价设为x元？你会列方程吗？
设小水杯的单价为x元，那么大水杯的单价为 元.
根据“单价×数量=总价”，可以列方程
12(x+5) =16x.
由这个含有未知数x的等式可以求出小水杯的单价，进而可以求出大水杯的单价.
问题2 下图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4 000mm2，长和宽的比为8:5(即宽是长的). 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？
如果设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽可以表示为x mm，依据长方形的面积公式，面积可以表示为x2 mm.已知纪念币面积为4 000mm2，所以
x2 =4 000.
由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长，进而可以求出纪念币的宽.
像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.
注意：方程必须满足两个条件：(1)是等式；(2)化简后含有未知数. 二者缺一不可.
考点解析
例 下列式子中，是方程的有（ ）
① 8+2=10； ② 3x+y=10； ③ x-1； ④ - =1； ⑤ x ＞3；
⑥ x=1； ⑦ a2-1=0； ⑧ b2 ≠-1.
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
注意:方程一定是等式，但等式不一定是方程.
巩固练习
1.下列各式中，是方程的是( )
A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t= -5 D.a-6<3
2.下列各式中，不是方程的是 .(填序号)
①3x+1=4； ② x2+2x+1=0； ③ 4-3=1； ④ |x|-1=0；
⑤ 3x+1； ⑥ =a+1. ⑦ x>0.
3. 判断下列各式哪些是方程？是的标记“√”，不是的标记“×”.
(1) 5x+3y-6x=37 ( ) (2) 4x-7 ( )
(3) 5x ≥ 3 ( ) (4) 1+2=3 ( )
(5) 6x2+x-2=0 ( ) (6) - - m=11 ( )
注意：
(1)方程中的未知数可以用字母x表示，也可以用其他字母表示，如y、z等.
(2)方程中未知数的个数可以是一个，也可以是两个或两个以上，如x+y=12等.
总结归纳
用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数，不含未知数；
而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便.
通过今后的学习，你会逐步认识到：从算式到方程是数学的一大进步.
新知探究2：列方程
典例解析
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？
思考：本题的等量关系是什么？
解：设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x，根据“女生比男生多80人”，列得方程0.52x - (1-0.52)x = 80.
(2) 如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长.
解：设正方形绿地的边长为x m，依据
扩大后的绿地面积= 500m2
列得方程x(x+5)=500→x2+5x=500.
巩固练习
1.《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题,大意如下：用绳子测水井深度，若将绳子折成三等份，则井外余绳4尺；若将绳子折成四等份，则井外余绳 1尺.问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为 .
解析：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3(x+4)；
根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4(x+1).
故3(x+4)=4(x+1)．
2.甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是 10千米/时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发25分钟后，乙骑车出发，问乙出发后多少小时两人相遇？(只列方程)
莉莉：设乙出发后x小时两人相遇，列出的方程为25×10+8x+10x=30.
请问莉莉列出的方程正确吗？如果不正确，请说明理由并列出正确的方程.
解：莉莉列出的方程不正确.
理由：列方程时未统一单位.
正确方程：设乙出发后x小时两人相遇，等量关系为：甲的路程+乙的路程=30千米依题意得×10+10x+8x=30.
总结提升
归纳 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下：
列方程的基本思路：
(1)理解题意，弄清已知是什么，未知是什么；
(2)找出题目中的相等关系；
(3)根据相等关系列方程。
准确找出相等关系是列方程的关键，一般可以从以下几个方面入手：
(1) 根据周长、面积、体积等公式列方程；
(2) 根据题目中的不变量确定相等关系；
(3) 根据关键词确定相等关系，如和差关系通常用
“一共有……”、“比……多………”、“比……少……”表示，
倍数关系通常用“是……的几倍”表示.
课堂练习
根据下列问题，设未知数并列出方程：
1.甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元，用23元钱买这两种铅笔一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？
解：设买甲种铅笔x支，则有1.4x+1.8(15-x)=23.
2.有两条电线，第一条长90m，第二条长40 m.要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计).
解：设截下x m，则有90-x=40+x.
根据下列问题，设未知数并列出方程：
3.某圆环形状的工件如图所示，它的面积是200cm2，外沿大圆的半径是10cm，内沿小圆的半径是多少厘米
解：设內沿小圆半径为x cm，则有等量关系：
大圆面积-小圆面积=200
可以列方程：π×102-πx2 = 200
新知探究3：方程的解
列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值.
1.2x+1= 0.8x+3
尝试将x=4，x=5，x=6分别代入方程左右两边，看看会有什么发现？
当x=4时，方程左边：1.2×4+1=5.8；方程右边：0.8×4+3=6.2.
当x=5时，方程左边：1.2×5+1=7；方程右边：0.8×5+3=7.
当x=6时，方程左边：1.2×6+1=8.2；方程右边：0.8×6+3=7.8.
可以发现只有当x=5时，方程左、右两边的值相等.
一般地，使方程左、右两边的值相的未知数的，叫作方程的解(solu-tion).例如，x=5就是方程 1.2x+1=0.8x+3的解.
求方程的解的过程，叫作解方程。
方程的解与解方程的区别与联系
典例解析
例2 (1) x=2，x= 是方程 2x=3的解吗？
解：当x=2时，
方程2x=3的左边=2×2=4，右边=3，方程左、右两边的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解.
当x= 时，
方程2x=3的左边=2×=3，右边=3，方程左、右两边的值相等，所以x= 是方程2x=3的解.
(2) x=10，x=20是方程12x=16(x-5)的解吗？
解：当x=10时，
方程12x=16(x-5)的左边=12×10=120，右边=16 ×(10-5)=80，方程左、右两边的值不相等，所以x=10不是方程12x=16(x-5)的解.
当x=20时，
方程12x=16(x-5)的左边=12×20=240，右边=16×(20-5)=240，方程左、右两边的值相等，所以x=20是方程12x=16(x-5)的解.
总结提升
思考：x=60是方程x2=4 000的解吗？x=80呢？
解：当x=60时，
方程左边= ×602 = ×3 600=2 250.
方程右边=4 000.
因为左边≠右边，所以x=60不是方程x2=4 000的解.
当x=80时，
方程左边= ×802 = ×6400=4 000.
方程右边=4 000.
因为左边=右边，所以x=80是方程x2=4 000的解.
新知探究4：一元一次方程
思考：观察方程1.2x+1=0.8x+3，12x=16(x-5)，0.52x-(1-0.52)x=80，它们有什么共同特征？
共同特征：
1. 只含有一个未知数；
2. 未知数的次数是1；
3. 方程两边都是整式.
一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
一元一次方程的三个特征：
1.只含有一个未知数；
2.等式两边都是整式；
3.未知数的次数都是1.
巩固练习
1.下列哪些是一元一次方程
①2x ＋1； ②3x -5=5x＋4 ； ③-3x ＋1.8 = 3y； ④2x2＋5-2(x2+x)=3；
⑤x ＋2x -6=0； ⑥3a ＋9 ＞ 15； ⑦ = 1
2．已知下列方程：
①；②2x＝3；③ ；④x2-4x＝3；⑤x＝0；⑥3x+y＝0．
其中是一元一次方程的有 　 　（填序号）．
3.下列方程：①x=x+5；②x+2y=1；③x- =2；④0.2x=1；⑤x2-3x=18.其中一元一次方程的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
注意：判断一个方程是不是一元一次方程，不能只看形式，如果方程不是最简形式，首先要将方程化简、整理成最简形式，然后根据一元一次方程的三个特征判断。
课堂练习
1. 判断x=2和x=4是不是方程2x-3=5 的解.
解：当x=2时，方程左边=2×2-3=1，方程右边=5；因为左边≠右边，所以x=2不是方程2x-3=5的解.
当x=4时，方程左边=2×4-3=5，方程右边=5；因为左边=右边，所以x=4是方程2x-3=5的解.
2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①2+3=3+2；没有未知数
②8y-9=9-y；
③ x2+2x+1＝4．未知数最高次数为2
解： ② ③为方程； ②为一元一次方程.
随堂检测
1. x =1是下列哪个方程的解 ( )
A.1-x = 2 B. 2x -1 =4 -3x
C. = x -2 D. x -4 =5x -2
2. 若 x =1是方程x2 -2mx +1=0的一个解，则m的值为( )
A. 0 B. 2 C. 1 D. -1
3.下列各式中，是方程的是( )
A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t=-5 D.a-6<3
4.下列各式中，不是方程的是 .(填序号)
①3x+1=4； ②4-3=1； ③3x+1； ④x>0；
⑤x2+2x+1=0； ⑥|x|-1=0； ⑦ =a+1.
5. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔(60-x)支.
等量关系：x支铅笔的总价+(60-x)支圆珠笔的总价=87，
列方程：1.2×0.8x＋2×0.9 (60-x)=87.
6. 根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.
(1)环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？
一周长×周数=总路程
解：设沿跑道跑x周.
400x=3000，
是一元一次方程.
(2)甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？
买甲种铅笔用的钱+买乙种铅笔用的钱=9元
甲种铅笔支数+乙种铅笔支数=20支
解：设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了(20-x)支.
0.3x+0.6(20-x)=9，是一元一次方程.
(3)一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底．
(上底＋下底) ×高=梯形面积
解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm.
(x＋x＋2) ×5=40
化简：5x+5=40是一元一次方程.
7. 已知方程(m－2)x|m|－1＋3=m－5是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程。
解：因为方程(m－2)x |m|－1 ＋3=m-5
所以|m|-1 = 1，且m-2≠0，得m = -2.
所以原方程为-4x +3 = -7.
课堂小结

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