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第五章 一元一次方程
5.1.2 等式的性质
【教学目标】
1. 理解、掌握等式的性质，能用文字和数学符号表达等式的性质，培养学生的观察、归纳、推理能力；
2、能正确利用等式的性质进行等式的变形、解简单的一元一次方程。体会化归思想.
【教学重难点】
重点：理解和应用等式的性质．
重难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=m”．
【教学内容】
探究点1：等式的性质
像 2x=3，x+1=3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，下面方程的解，你能直接看出来吗？
(1) 3x+508=420
(2) 0.13x-0.6=0.28x+3
对于比较复杂的方程，仅靠观察解方程是比较困难的.
本节课，我们来研究怎样解方程，首先，我们来看看等式有什么性质.
像m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y，这样的式子，都是等式.
我们可以用a=b表示一般的等式.
等式的两个基本事实：
等式两边可以交换.如果a=b，那么b=a.
相等关系可以传递.如果a=b，b=c，那么a=c.
思考：
在小学，我们已经知道：等式两边同时加(或减)同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等.引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试.
要点归纳：
等式的性质1
等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等.
如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的性质2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b，那么ac=bc；
如果a=b，c≠0，那么.
总结提升
等式的性质抓“两同”：
(1) 同一种运算：等式的两边必须同时进行同一种运算；
(2) 同一个数(或式子)：等式两边加(或减)的必须是同一个数(或式子)，乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为0的数.
典例剖析
例3 (1) 如果2x=5-x，那么2x+ x =5；
根据等式的性质1，等式两边加x，结果仍相等.
(2) 如果m+2n=5+2n，那么m= 5 ；
根据等式的性质1，等式两边减2n，结果仍相等.
(3) 如果x=-4，那么 -7 ·x =28；
根据等式的性质2，等式两边乘-7，结果仍相等.
(4) 如果3m=4n，那么m= 2 ·n.
根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等.
巩固练习
1. 根据等式性质进行变形，下列变形错误的是( )
A.若x-a=y-a，则x=y B.若 ac =bc2，则a=b
C.若2x=x+y，则x=y D.若 = ，则x=y
2.下列选项中，不能由已知等式a=b推出的是( )
A.a+3x=b+3x B.a-2=b-2
C.ac=bc D.= .
3.下列变形一定正确的是( )
A.由x=y，得x+2=y-2 B.由x=y，得2x-1=2y-1
C.由x=y+1，得2x=2y+1 D.由x2=y2，得x= y
4. 用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明变形的依据和过程.
(1)若3x+5=8，则3x=8- ，依据是 ，等式的两边 .
(2)若-4x=则x= ，依据是 ，等式的两边 .
(3)若2m-3n=7，则2m=7+ ，依据是 ，等式的两边 .
探究点2：利用等式的性质解方程
例3 利用等式的性质解下列方程：
（1）x + 7 = 26 ； (2) －5x = 20； （3）
解：(1)方程两边同时减去7，得x + 7－7= 26－7
于是 x=19.
小结：解一元一次方程要“化归”为“ x=a ”的形式.
(2)方程两边同时除以－5，得－5x÷(－5)= 20 ÷(－5)
化简，得x =－4．
(3)方程两边同时加上5，得
化简，得
方程两边同时乘－3，
得x =－27.
一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 例如，将 x = －27 代入方程的左边，，方程的左右两边相等，所以x = －27是原方程的解.
巩固练习
利用等式的性质解下列方程并检验：
(1) 2+3x=-x+6；(2) -=3； (3) x- = ； (4) --3=5.
解：(1) 两边减2，得2+3x-2=-x+6-2.
化简，得3x=-x+4.
两边加x，得3x+x=-x+4+x.
化简，得4x=4.
两边除以4，得x=1.
检验：将x=1代入方程2+3x=-x+6的左边，得2+3×1=5.将x=1代入方程2+3x=-x+6的右边，得-1+6=5.方程的左右两边相等，所以x=1是方程2+3x=-x+6的解.
(2) 两边乘-3，得y=-9.
检验：将y=-9代入方程-=3的左边，得-=3.
方程的左右两边相等，所以y=-9是方程-=3的解.
(3) 两边加，得x- + = + .
化简，得x= ，两边乘，得x= .
检验：将x= 代入方程x- = 的左边，得×- = .
方程的左右两边相等，所以x= 是方程x- = 的解.
(4) 两边加3，得- - 3+3=5+3.
化简，得- = 8.
两边乘-2，得a =-16.
检验：将a =-16代入方程- - 3=5的左边，得- - 3=5.
方程的左右两边相等，所以a =-16是方程- - 3=5的解.
课堂练习
1.根据等式的性质填空：
(1) 如果x=y，那么x+1=y+ ；
(2) 如果x+2=y+2，那么 =y；
(3) 如果x=y，那么 ·x=5y；
(4) 如果3x=6y，那么x= ·y.
2. 利用等式的性质解下列方程，并检验：
(1) x-5=6； (2) 0.3x=45；(3) 5x+4=0； (4) 2-x=3.
解：(1) 两边加5，得x-5+5=6+5.
化简，得x=11.
检验：将x=11代入方程x-5=6的左边，得11-5=6.
方程的左右两边相等，所以x=11是方程 x-5=6的解.
(2) 两边除以0.3，得0.3x÷0.3=45÷0.3.
化简，得x=150.
检验：将x=150代入方程0.3x=45的左边，得0.3×150=45.
方程的左右两边相等，所以x=150是方程0.3x=45的解.
(3) 两边减4，得5x+4-4=0-4.
化简，得5x=-4.
两边除以5，得= - 于是x= - .
检验：将x= - 代入方程5x+4=0的左边，得5× (- )+4=0.
方程的左右两边相等，所以x= - 是方程5x+4=0的解.
(4) 两边减2，得2- x -2=3-2.
化简，得-x=1.
两边乘-4，得-x×(-4)=1×(-4)，于是x= -4.
检验：将x= -4代入方程2-x=3的左边，得2-[×(-4)]=3.
方程的左右两边相等，所以x= -4是方程2-x=3的解.
课堂检测
1. 下列说法正确的是( )
A. 等式都是方程 B. 方程都是等式
C. 不是方程的就不是等式 D. 未知数的值就是方程的解
2. 下列各式变形正确的是 ( )
A. 由3x-1= 2x+1得3x-2x =1+1 B. 由5+1= 6得5= 6+1
C. 由2(x+1) = 2y+1得x +1= y +1 D. 由2a + 3b = c-6 得2a = c-18b
3. 下列各式变形正确的是 ( )
A. 若ac=bc，则a=b
B. 若 = ，则a=b
C. 若a2=b2，则a=b
D. 若- x=6，则x=-2
4.填空
(1)将等式x - 3=5 的两边都 得到x=8，这是根据等式的性质 ；
(2)将等式x = -1的两边都乘以 或除以 得到x= -2，这是根据等式性质 ；
(3)将等式x ＋ y=0 的两边都 得到x=-y，这是根据等式的性质 ；
(4)将等式xy=1 的两边都 得到y=，这是根据等式的性质 ；
5. 已知关于x的方程mx＋ =6和方程3x-10=5的解相同，求m的值。
解：方程3x-10 =5的解为x =5，
将其代入方程 mx＋ =6，
得到 m＋ =6，
解得m =2.
课程小结

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