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第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程
（第一课时）
通过建立方程解决较复杂的实际问题，初步掌握解决实际问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。
1.填空：
（1）某学校七、八年级共有学生600人，若七年级有x人，则八年级有_________人.
（2）工厂里共有100名工人分别生产衣服和裤子，若生产衣服的工人有a人，则生产裤子的人有___________人.
(600 – x)
(100 - a)
2.说一说工作效率的计算公式？
作效率=
从前面的学习可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具．本节我们重点研究如何用一元一次方程解决实际问题．
例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。
螺母数量＝螺栓数量×2
这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据。
例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母，
根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程
2 000(22－x)＝2×1 200x
解方程，得
x＝10
进而
22－x＝12
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.
例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。
螺母数量＝螺栓数量×2
2 000 x ＝2×1 200(22－x)
一道应用题中往往含有多个未知量，应恰当选择其中一个设为未知数，其他的未知量可用含有未知数的式子来表示，从而列出方程．一般问什么设什么，如本题，有两个未知数，设其中哪个为 x 都可以，这两种设法之下所列的方程也没有难易区别．
提示：在工程问题中：
工作量=人均效率×人数×时间；
总工作量=各部分工作量之和.
题中的工作总量是多少呢？
例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
一般情况下，当题中的工作总量是未知时，可设工作总量为单位1.
分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人 1 h完成的工作量）为_____，x人先整理 4 h 完成的工作量为_____，增加2人后再整理 8 h 完成的工作量为___________，这两个工作量之和应等于总工作量.
例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
解：设先安排x人整理4h，
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程
+ =1
解方程，得
x=2.
答：应先安排 2人进行整理.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
一元一次方程
实际问题
设未知数,列方程
解方程
一元一次方程的解
（x＝m）
实际问题
的答案
检验
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。
【知识技能类作业】必做题：
1．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划有一部分人先做，然后增加4人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，则下列判断正确的是（ ）
A．这批图书共有3000本
B．具体应先安排7人工作
C．把一个人的工作效率看为1，设安排人先工作，则
D．把总工作量设看为1，设安排人先做，则
C
【知识技能类作业】必做题：
3．现有一工程打算让甲、乙两个工程队完成，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，现由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．问：甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程．设甲、乙两队合做x天完成剩下的工程．
(1)如果把总工作量设为1，则甲队一天完成的工作量为_________，乙队一天完成的工作量为_______，甲队先做10天完成的工作量为_______，甲乙合做完成的工作量为_________（用含x的式子表示）
(2)列方程求甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程．
解：（2）由题意列方程，得，解得．
答：甲、乙两队合做30天完成剩下的工程．
【知识技能类作业】选做题：
4.某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？
解：设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名，
根据题意得，，
解得：，
名，
答：有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿．
制作横式无盖长方体纸盒
活动 如右图， 用3个长方形纸板和2个正方形纸板， 可以制作1个横式无盖长方体纸盒 如右图， 用3个长方形纸板和2个正方形纸板， 可以制作1个横式无盖长方体纸盒．
材料 现有 36张硬纸板，可以制作需要的长方形纸板和正方形纸板． 现有 36张硬纸板，可以制作需要的长方形纸板和正方形纸板．
说明 为了提高原材料的使用率，用每张硬纸板制作3个长方形纸板，或者制作6个正方形纸板．这样利用原材料，可以将制作过程中的损耗降低到忽略不计． 为了提高原材料的使用率，用每张硬纸板制作3个长方形纸板，或者制作6个正方形纸板．这样利用原材料，可以将制作过程中的损耗降低到忽略不计．
问题解决
问题 1 用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套？ 一共可以制作出多少个横式无盖长方体纸盒？
问题 2 若制成的每个横式无盖长方体纸盒的长为18厘米，宽为9厘米，高为9厘米，求每个横式无盖长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？
【综合拓展类作业】
5.某中学七年级数学社团，在活动中用所学的数学知识， 尝试解决问题．
【综合拓展类作业】
解：问题一：设张硬纸板制作长方形纸板，则张硬纸板制作正方形纸板，
由题意得：，
解得：，
则，，
答：用27张硬纸板制作长方形纸板，9张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，一共可以制作出个横式无盖长方体纸盒；
问题二：（平方厘米），
答：每个横式无盖长方体纸盒的表面积是648平方厘米．
一元一次方程解决实际问题的过程
设未知数、列方程
解方程
检验所得结果、确定答案
【知识技能类作业】必做题：
1．七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．一项工程，甲单独完成需要天，每天需要支付工费元；乙单独完成需要天，每天需要支付工费元．若由甲、乙共同参与，在不超过天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
C
【知识技能类作业】必做题：
3．某学校的供暖工程需铺设热力管道6300米，甲工程队负责铺设．甲工程队施工一个星期后发现，每天平均只能铺设200米，按此速度将无法按期完成任务．为能及时供上暖确保师生温暖过冬，甲工程队决定邀请乙工程队来共同铺设剩余的管道，如果乙工程队平均每天能铺设150米，那么乙工程队参与后，还需铺设多少天才能完成这项工程？
解：设乙工程队参与铺设x天才能完成这项工程，则
，
解得：；
答：乙工程队参与铺设14天才能完成这项工程．
【知识技能类作业】选做题：
4.某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板．
(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
(2)若每套太空漫步器的成本为240元，
要达到的利润率，则每套应定价多少元？
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）设人生产支架，则人生产脚踏板，
由题意得：
，
，
答：20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套．
（2）设每套应定价元，由题意可得：
，
解得：，
答：每套应定价288元，可达到的利润率．
【综合拓展类作业】
5.用边长为的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有 19 张硬纸板，裁剪时 x 张用 A 方法，其余用 B 方法．
(1)用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【综合拓展类作业】
解：（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时张用B方法．
∴侧面的个数为：（个），
底面的个数为：（个）；
即：侧面个，底面个；
（2）由题意，得 ，
解得：，
∴盒子的个数为：（个），
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第八课时《5.3 实际问题与一元一次方程（第一课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是学生学习了一元一次方程的解法及用方程解决较简单的实际问题后进行的，主要学习用方程思想解决较复杂的实际问题，提升学生的模型观念和应用意识，是前一部分知识的应用与巩固，也为后继继续学习列方程解应用题做好铺垫。列方程解应用题体现了现实世界中事物的相互联系，学生从这些联系中看问题的同时也为今后学习函数奠定了基础。
学习者分析 通过上节课的学习，大部分学生对有方程解决实际问题的基本思路和步骤已经了解，但部分学生还是存在对题意的不理解，寻找不出实际问题中的等量关系等现象。本节课将引导学生掌握解决应用题的基本方法，把难点分解为寻找未知量，用字母和代数式表示未知量，用等量关系把未知量联系起来，让学生能熟练掌握运用一元一次方程解决实际问题的基本方法。
教学目标 通过建立方程解决较杂的实际问题，初步掌握解决实际问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。
教学重点 表示出题目中不同的量，并分析量之间的相等关系。
教学难点 找出相等关系并列一元一次方程解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 通过建立方程解决较杂的实际问题，初步掌握解决实际问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.填空： （1）某学校七、八年级共有学生600人，若七年级有x人，则八年级有_________人. （2）工厂里共有100名工人分别生产衣服和裤子，若生产衣服的工人有a人，则生产裤子的人有___________人. 答案：(600 – x)，(100 - a) 2.说一说工作效率的计算公式？ 预设：作效率= 导语：从前面的学习可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具．本节我们重点研究如何用一元一次方程解决实际问题．学生活动2： 学生独立思考并完成，然后回答问题活动意图说明： 通过复习题的引入，为本节课探究用一元一次方程解决较复杂的实际问题的学习做好铺垫.环节三：新知讲解教师活动3： 例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓 或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。 即：螺母数量＝螺栓数量×2 指出：这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据。 解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母， 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程 2 000(22－x)＝2×1 200x 解方程，得 x＝10 进而 22－x＝12 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. 追问：如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？ 归纳：一道应用题中往往含有多个未知量，应恰当选择其中一个设为未知数，其他的未知量可用含有未知数的式子来表示，从而列出方程．一般问什么设什么，如本题，有两个未知数，设其中哪个为 x 都可以，这两种设法之下所列的方程也没有难易区别． 例2：整理一批图书，由一个人整理需要 40 h完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 追问：题中的工作总量是多少呢？ 提示：在工程问题中： 工作量=人均效率×人数×时间； 总工作量=各部分工作量之和. 强调：一般情况下，当题中的工作总量是未知时，可设工作总量为单位1. 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人 1 h完成的工作量）为_____，x人先整理 4 h 完成的工作量为__，增加2人后再整理 8 h 完成的工作量为__，这两个工作量之和应等于总工作量. 解：设先安排x人整理4h， 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程 + =1 解方程，得 x=2. 答：应先安排 2人进行整理. 归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。学生活动3： 根据老师提出的问题，认真思考，然后小组讨论交流，班内汇报后，听老师的点评和讲解活动意图说明： 解决实际问题对学生而言理解上有一定难度，通过对例题提出相关的小问题，降低了直接解决问题的难度，同时让学生充分发挥主体作用，在观察、合作探究中解决问题，体会解决实际问题的基本过程和一般步骤，提高学生解决问题的兴趣和信心环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：5.3 实际问题与一元一次方程（第一课时）一、配套问题 二、工程问题 三、列一元一次方程解决实际问题的基本步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划有一部分人先做，然后增加4人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，则下列判断正确的是（ ） A．这批图书共有3000本 B．具体应先安排7人工作 C．把一个人的工作效率看为1，设安排人先工作，则 D．把总工作量设看为1，设安排人先做，则 【答案】C 3．现有一工程打算让甲、乙两个工程队完成，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，现由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合做完成．问：甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程．设甲、乙两队合做x天完成剩下的工程． (1)如果把总工作量设为1，则甲队一天完成的工作量为__________，乙队一天完成的工作量为__________，甲队先做10天完成的工作量为__________，甲乙合做完成的工作量为__________（用含x的式子表示）． (2)列方程求甲、乙两队合做多少天完成剩下的工程． 解：（1），，，． （2）由题意列方程，得， 解得． 答：甲、乙两队合做30天完成剩下的工程． 选做题： 4.某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 解：设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名， 根据题意得，， 解得：， 名， 答：有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿． 【综合拓展类作业】 5.某中学七年级数学社团，在活动中用所学的数学知识， 尝试解决问题． 制作横式无盖长方体纸盒活动如右图， 用3个长方形纸板和2个正方形纸板， 可以制作1个横式无盖长方体纸盒．材料现有 36张硬纸板，可以制作需要的长方形纸板和正方形纸板．说明为了提高原材料的使用率，用每张硬纸板制作3个长方形纸板，或者制作6个正方形纸板．这样利用原材料，可以将制作过程中的损耗降低到忽略不计．问题解决问题 1用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套？ 一共可以制作出多少个横式无盖长方体纸盒？问题 2若制成的每个横式无盖长方体纸盒的长为18厘米，宽为9厘米，高为9厘米，求每个横式无盖长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？
解：问题一：设张硬纸板制作长方形纸板，则张硬纸板制作正方形纸板， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：用27张硬纸板制作长方形纸板，9张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，一共可以制作出个横式无盖长方体纸盒； 问题二：（平方厘米）， 答：每个横式无盖长方体纸盒的表面积是648平方厘米．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2．一项工程，甲单独完成需要天，每天需要支付工费元；乙单独完成需要天，每天需要支付工费元．若由甲、乙共同参与，在不超过天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 3．某学校的供暖工程需铺设热力管道6300米，甲工程队负责铺设．甲工程队施工一个星期后发现，每天平均只能铺设200米，按此速度将无法按期完成任务．为能及时供上暖确保师生温暖过冬，甲工程队决定邀请乙工程队来共同铺设剩余的管道，如果乙工程队平均每天能铺设150米，那么乙工程队参与后，还需铺设多少天才能完成这项工程？ 解：设乙工程队参与铺设x天才能完成这项工程，则 ， 解得：； 答：乙工程队参与铺设14天才能完成这项工程． 选做题： 4.某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)若每套太空漫步器的成本为240元，要达到的利润率，则每套应定价多少元？ 解：（1）设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得： ， ， ， ， 答：20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套． （2）设每套应定价元，由题意可得： ， 解得：， 答：每套应定价288元，可达到的利润率． 【综合拓展类作业】 5.用边长为的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有 19 张硬纸板，裁剪时 x 张用 A 方法，其余用 B 方法． (1)用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 解：（1）∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时张用B方法． ∴侧面的个数为：（个）， 底面的个数为：（个）； 即：侧面个，底面个； （2）由题意，得 ， 解得：， ∴盒子的个数为：（个）， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子
教学反思 配套问题和工程问题中既有劳力调配问题，又有事物调配的问题，并且在现实生活中这类问题的应用较广泛，由于涉及的信息较多，学生在理解这类问题有一定的难度，在教学中通过将实际问题分解成若干个小问题，来帮助学生完成对这类问题理解，从而帮助学生提升模型观念，增强应用意识。
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