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函数的奇偶性
奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
函数奇偶性的判断：
（1）图象法；
（2）定义法.用定义判断函数奇偶性的步骤是：
①先求定义域，看是否关于原点对称；
②再判断或是否恒成立；
③作出相应结论
若；
若
点拨：常用结论：
(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇非偶函数.
(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
函数的奇偶性的应用主要体现在以下几个方面：
1.求函数值.
例1 已知,且，求.
2.求解析式.
例2 已知是定义在R上的奇函数,且当时,,求
时,的解析式.
注：此类题型的解题步骤如下：
①在哪个区间求解析式，就设在哪个区间里;
②利用的奇偶性把或；
③将中的代入已知解析式中，从而解出.
3.解抽象函数不等式
例3 设在R上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有，求的取值范围.
4.函数的综合问题
例4 已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若[-1,1],时，有成立.
(1)判断在[-1,1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式：；
(3)若对所有的[-1,1]恒成立，求实数的取值范围.
变式训练：
1、已知是R上的奇函数，且时，，求的解析式；
2、已知奇函数有最大值7，试问它有无最小值？若有，求出最小值；
3、已知函数是偶函数，其定义域为（-1,1），且在[0,1）上为增函数，若，试求的取值范围.
4、已知定义域为的函数是奇函数。
（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，
不等式恒成立，求的取值
5.抽象函数的奇偶特性
例5 已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．
变式训练：
设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
求证f（x）是偶函数．
决战巅峰：
1、已知下列四个命题：①若为减函数，则为增函数；②若为增函数，则函数在其定义域内为减函数；③若均为上的增函数，则也是区间上的增函数；④若在上分别是增函数与减函数，且，则也是区间上的增函数；其中正确的命题是 ．
2、函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数，并确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出
3、已知函数对任意实数恒有且当x＞0，
判断的奇偶性；
（2）求在区间[－3,3]上的最大值；
（3）解关于的不等式
家庭作业：
1．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2.函数是 ( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
3、设为定义在上的奇函数，当时，，则( )
(A) 2； (B) 1； (C) ； (D) ．
设是上的奇函数，，当时，，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
若函数是奇函数，则为__________。
6. 已知在R上是奇函数，且当时，；则当时，
的解析式为 .

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