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第4章 计数原理
4.1 两个计数原理
教案
学习目标
1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.
2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
教学重难点
1.教学重点：两个计数原理及其意义.
2.教学难点：两个计数原理的区分.
教学过程
新课导入
教师提出问题1：从甲地到乙地，可乘汽车或火车两种交通工具，如果一天内有4趟汽车开往乙地，有3列火车开往乙地，那么一天内从甲地到乙地有多少种不同的乘车选择？
学生思考回答：从甲地到乙地，有汽车和火车两种交通工具，乘汽车有4种选择，乘火车有3种选择，所以一共有种不同的乘车选择.
教师提出问题2：某书架共有三层，第一层放有3本不同的数学书，第二层放有2本不同的语文书，第三层放有2本不同的英语书. 从该书架上任取1本书，有多少利不同的取法？
学生思考回答：从该书架上任取1本书，结果可能是数学书、语文书或英语书. 取到数学书、语文书或英语书分别有3种、2种或2种不同的取法，所以一共有种不同的取法.
学生讨论总结：根据以上两个问题从中归纳出一般的规律.
新知积累
1.分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第n类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有种不同的方法.
我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理.
用分类加法计数原理解决计数问题时，首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准，然后根据这个分类标准进行分类. 分类时还要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分入相应的类；二是不同类的方法必须是互不相同的. 只有满足这两条基本原则才可以使计数不重不漏.
教师提出问题3：从甲地到乙地，需从甲地乘汽车到丙地，再于次日从丙地乘火车到乙地，如果一天内有4趟汽车从甲地开往丙地，有3列火车从丙地开往乙地，那么两天内从甲地到达乙地有多少种不同的乘车选择？
学生思考回答：假定从甲地到丙地的4趟汽车分别为a，b，c，d，从丙地到乙地的三列火车分别为1，2，3，则从甲地到乙地的不同乘车选择为：共有（种）不同的乘车选择.
教师提出问题4：某书架有三层，第一层放有3本不同的数学书，第二层放有2本不同的语文书，第三层放有2本不同的英语书. 从书架的第一、二、三层各取1本书，共有多少种不同的取法？
学生思考回答：记3本不同的数学书分别为，，，2本不同的语文书分别为，，2本不同的英语书分别为，，则从书架的第一、二、三层各取1本书的所有可能结果为：；；. 共有（种）不同的取法，如图.
学生讨论总结：根据以上两个问题从中归纳出一般的规律.
2.分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第n步有种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有种不同的方法.
我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理.
在使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决问题时，一定要分清完成这件事是有n类办法还是有n个步骤. 分类要做到“不重不漏”. 分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数. 分步要做到“步骤完整”——依次完成所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立. 分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理求积，得到总数.
例题巩固
例1 某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目.
（1）当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
（2）如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
解 （1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：
第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；
第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；
第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目。
根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看个不同的节目.
（2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道（共有（）个）正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看个不同的节目.
例2 通信公司在某一段时间内向市场投放一批手机号码，这一批号码（共11位数字）的前七位是统一的，后四位都是0~9之间的一个数字，那么这一号段共有多少个不同的号码？
解 后四位中的每一位都可以从0~9，这10个数字中任选一个，都有10种选法. 根据分步乘法计数原理，可依次确定手机号码的第八、九、十、十一位，那么这一号段共有个不同的号码.
例3 某校在艺术节期间需要举办一场晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）.
（1）如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？
（2）如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？
解 （1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选一主持晚会，选法可分为3类：
第一类，选一名教师主持，有3种选法；
第二类，选一名男同学主持，有4种选法；
第三类，选一名女同学主持，有5种选法.
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.
（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：
第一步，选出一名教师，有3种选法；
第二步，选出一名男同学，有4种选法；
第三步，选出一名女同学，有5种选法.
以上3个步骤依次完成后，事情才算完成.
根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法.
课堂练习
1.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.18种 B.12种 C.9种 D.6种
答案：B
解析：由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球两种放法，剩下3个盒子各放一个球，有（种）放法.因此，共有（种）放法.故选B.
2.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A.4种 B.6种 C.10种 D.16种
答案：B
解析：分2类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种方法（如图）.同理，甲先踢给丙时，满足条件的也有3种方法.由分类加法计数原理可知，共有（种）传递方式.故选B.
3.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢.现让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有( )
A.50种 B.60种 C.80种 D.90种
答案：C
解析：按甲的不同选择分成两种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选择有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法.
综上可知，一共有（种）不同的选法.故选C.
4.现有3名高一学生和5名高二学生，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是__________；若要从高一年级的3名学生和高二年级的5名学生中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是__________.
答案：8；15
解析：根据题意，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，若从高一学生中选，则有3种选法；若从高二学生中选，则有5种选法.由分类加法计数原理知，共有（种）不同的选法.若要从高一年级的3名学生和高二年级的5名学生中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，从高一学生中选出一人，有3种选法，从高二学生中选出一人，有5种选法，则有（种）不同的选法.
小结作业
小结：本节课学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
4.1 两个计数原理
1.分类加法计数原理.
2.分步乘法计数原理.

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