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第4章 计数原理
4.2 排列
教案
学习目标
1.理解排列、排列数的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题.
教学重难点
1.教学重点：排列、排列数的概念.
2.教学难点：排列知识解决实际问题.
教学过程
情境引入
教师提出问题1：平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的有向线段共有多少条？
学生思考回答：要解决这个问题，可以分2个步骤完成.
第一步，确定有向线段的起点，在5个字母中任取1个，有5种方法；
第二步，确定有向线段的终点，从余下的4个字母中任取1个，有4种方法.
根据分步乘法计数原理，共有（条）不同的有向线段，如图所示.
由此可写出所有的有向线段：；；；；.
教师提出问题2：从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？
学生思考回答：要解决这个问题，可以分3个步骤完成.
第一步，先选定第一名比赛队员，在4名运动员中任取1名，有4种方法；
第二步，选定第二名比赛队员，从余下的3名运动员中任取1名，有3种方法；
第三步，选定第三名比赛队员，从余下的2名运动员中任取1名，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的排序方法.
若记这4名运动员分别为a，b，c，d，则24种不同的方法如图所示.
由此可写出所有的排序方式：abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
思考：问题1与问题2的共同特点是什么？能将其推广到一般情形吗？
事实上，问题1可以归结为从5个不同的元素中任取2个不同的元素，然后按一定的顺序排成一列. 同样地，问题2可以归结为从4个不同的元素中任取3个不同的元素，然后按一定的顺序排成一列.
新知积累
1.排列
一般地，从n个不同元素中取出m个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
根据排列的定义，一个排列包含两个方面的意义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”. 因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同.
2.排列数
从n个不同元素中取出m个不同的元素，所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
一般的从n个不同元素中取出m个元素的排列数的计算：
假定有排好顺序的m个空位（如图），从n个不同元素中任意取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列. 因此，所有不同填法的种数就是排列数.
填空可分为m步：
第1步，填第1个位置，可以从n个元素中任取一个填上，有n种填法；
第2步，填第2个位置，可以从余下的个元素中任取一个填上，有种填法；
……
第m步，填第m个位置，可以从余下的个元素中任取一个填上，有种填法.
3.排列数公式
根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法. 得到公式，其中，并且，这个公式叫作排列数公式.
特别地，从n个不同元素中取认n个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作n个元素的一个全排列，此时，将右端简记为，叫作n的阶乘，表示正整数1到n的连乘积. 特別地，规定.
根据上面阶乘的定义得
.
这样，排列数公式还可以写成.
例题巩固
例1 计算：（1）； （2）.
解 （1）；
（2）.
例2 春节期间，某班20名同学互发一条问候短信，那么他们发出的短信总数有多少条？
解 发出的短信总数为：（条）.
例3 （1）有5个不同的科研小课题，从中选3个安排高二年级的3个课外兴趣小组参加，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
（2）有5个不同的科研小课题，高二年级的3个课外兴趣小组报名参加，每组限报一个，共有多少种不同的报名方法？
解 （1）从5个不同的课题中选出3个，安排课外兴趣小组来参加，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列.
因此，共有种不同的安排方法.
（2）每个小组都可从5个不同的课题中选报一个，因此第一小组有5个不同的课题可以选择，第二小组也有5个不同的课题可以选择，第三小组仍然有5个不同的课题可以选择.
根据分步乘法计数原理，一共有种不同的报名方法.
例4 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
解 要组成一个没有重复数字的五位数，可以分成以下步骤来完成：
第一步，排个位数，因为要求是偶数，所以只能排2或4，排法有种；
第二步，排万位数，小于50000的五位数，万位数只能是1，3或排个位数时余下的2，4中的一个，排法有种；
在首末两位排定后，第三步排中间3个数字时，排法有种.
根据分步乘法计数原理，所求偶数共有（个）.
例5 用1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字？
（1）个位数字不是5的六位数；
（2）不大于4310的四位偶数.
解 （1）（方法一）十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.
第一类，当个位排0时，有个；
第二类，当个位不排0时，有个.
故符合题意的六位数共有（个）.
（方法二）将数字0，1，2，3，4，5进行排列，共得个六位数，其中5在个位的六位数有个.
故符合题意的六位数共有（个）.
（2）分三种情况，具体如下：
①当千位上排1或3时，共有个.
②当千位上排2时，有个.
③当千位上排4时，形如“”，“”的各有个；
形如“”的有个；
形如“”的只有4310和4302这两个数.
故符合题意的四位偶数共有（个）.
课堂练习
1.2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
答案：B
解析：因为2名教师排在两侧有（种）排法，3名学生排在中间有种排法，所以共有种排法.故选B.
2.（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法有72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有6种
答案：ABC
解析：甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有（种），故A正确.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（种），故B正确.甲、乙不相邻的排法有（种），故C正确.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有（种），故D不正确.选ABC.
3.计算：___________.
答案：
解析：方法一：.
方法二：.
4.某个密室逃脱游戏的一个环节是需要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每个数字都可以是0~9这十个数字中的一个），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5，则该密码可能的情况数为__________.
答案：120
解析：由题意知，前两个数字可以从7，8，9中任取2个排列，有种排列方法，后两个数字可以从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个排列，有种排列方法.由分步乘法计数原理可知，该密码可能的情况数为.
小结作业
小结：本节课学习了排列、排列数的概念及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
4.2 排列
1.排列
2.排列数
3.排列数公式

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